דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

מבחן לדוגמה: המשמעות הגאומטרית של הכפל: סיבוב ומתיחה - כיתה י"ב 5 יח"ל

6 שאלות פתוחות על המשמעות הגאומטרית של הכפל: סיבוב ומתיחה (הצגה קוטבית ומשפט דה-מואבר), מהקלה לקשה. המבחן מוכן להדפסה כמו שהוא, או לפתיחה במחולל לשינויים.

מבחן במתמטיקה - כיתה י"ב 5 יח"ל
המשמעות הגאומטרית של הכפל: סיבוב ומתיחה
6 שאלות · ענו על כל השאלות · הראו את דרך הפתרון
שם: ______________כיתה: ________תאריך: ________

שאלה 1 · המשמעות הגאומטרית של הכפל: סיבוב ומתיחהשאלה קצרה · קלה

במישור גאוס הנקודה AA מייצגת את המספר z=3+iz=3+i, והנקודה PP מייצגת את המספר p=1+ip=1+i (ראו שרטוט). מסובבים את הנקודה AA סביב הנקודה PP בזווית של 90∘90^\circ נגד כיוון השעון, ומקבלים את הנקודה A′A'.

OAPReIm

מצאו את המספר המרוכב שמייצגת הנקודה A′A'.

שאלה 2 · שורשים מסדר 6 של מספר שלילי, מלבן ומכפלהשאלה מלאה · קלה

נתונה המשוואה z6=−729z^6=-729 (zz הוא מספר מרוכב).

א.

כתבו את −729-729 בהצגה קוטבית, ומצאו את ששת הפתרונות של המשוואה.

ב.

מצאו את הפתרונות של המשוואה שהם מספרים מדומים טהורים, והראו שהם הפתרונות של המשוואה z2=−9z^2=-9.

ג.

ארבעת הפתרונות האחרים של המשוואה מייצגים קודקודים של מלבן במישור גאוס.

מצאו את שטח המלבן.

ד.

חשבו את מכפלת ארבעת המספרים המייצגים את קודקודי המלבן.

ה.

מסובבים את המלבן סביב הראשית בזווית 45∘45^\circ נגד כיוון השעון. כל קודקוד מוכפל ב-cis45∘cis45^\circ.

מצאו את מכפלת ארבעת המספרים המייצגים את קודקודי המלבן לאחר הסיבוב.

שאלה 3 · המשמעות הגאומטרית של הכפל: סיבוב ומתיחהשאלה קצרה · בינונית

המשולש OAB הוא ישר-זווית ב-O, כאשר O ראשית הצירים במישור גאוס. הקודקוד A נמצא ברביע הראשון והקודקוד B נמצא ברביע השני. המספר zz מייצג את A, והמספר ww מייצג את B. נתון: OB=3⋅OAOB=3\cdot OA.

א.

הביעו את ww באמצעות zz.

ב.

נתון: w=−6+3iw=-6+3i. מצאו את zz.

שאלה 4 · מספרים מרוכבים: שורשים ממעלה שלישית ומשושהשאלה מלאה · בינונית

נתונים שני מספרים מרוכבים z1z_1 ו-z2z_2 שמכפלתם היא 19+4i19+4i. z1=3+2iz_1=3+2i.

א.

מצאו את המספר z2z_2.

ב.

נתונה המשוואה w3=z1+z2w^3=z_1+z_2, ww הוא משתנה מרוכב.

מצאו את פתרונות המשוואה.

ג.

נתון מספר מרוכב z=2(cos⁡θ+i⋅sin⁡θ)z=2(\cos\theta+i\cdot\sin\theta), 0∘≤θ≤90∘0^\circ\le\theta\le90^\circ. נתון כי המספרים zz ו-z7z^7 נמצאים על ישר אחד שעובר בראשית הצירים.

מצאו את ארבע האפשרויות של המספר zz.

ד.

פתרונות המשוואה שמצאתם בסעיף ב וארבעת המספרים שמצאתם בסעיף ג, מייצגים את כל הקודקודים של מצולע קמור במישור גאוס.

(1)

סרטטו את המצולע במערכת צירים.

(2)

חשבו את השטח של המצולע.

ה.

נתון מספר מרוכב: 3(cos⁡α+i⋅sin⁡α)\sqrt3(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha), 0∘≤α<360∘0^\circ\le\alpha<360^\circ. מכפילים כל אחד מן המספרים המייצגים את קודקודי המצולע במספר מרוכב זה, כך שנוצר מצולע חדש.

מצאו פי כמה גדול שטח המצולע החדש משטח המצולע שמצאתם בסעיף ד.

שאלה 5 · המשמעות הגאומטרית של הכפל: סיבוב ומתיחהשאלה קצרה · קשה

נתון המספר המרוכב w=2cis⁡60∘w=2\operatorname{cis}60^\circ, ומספר מרוכב כלשהו z≠0z\neq 0. במישור גאוס הנקודות AA, BB ו-CC מייצגות את המספרים zz, wzwz ו-w2zw^2z בהתאמה.

מצאו את היחס BCAB\frac{BC}{AB} ואת גודל הזווית ∠ABC\angle ABC, והראו כי הם אינם תלויים ב-zz.

שאלה 6 · מעוין במישור גאוס: סיבוב, מתיחה והמספרים ההופכייםשאלת ביניים · קשה

במעוין ABCD הקודקוד A נמצא ברביע הראשון, והקודקוד B נמצא ברביע השני במישור גאוס. אלכסוני המעוין נפגשים בראשית הצירים. המספר המרוכב zz מייצג את הקודקוד A. נתון: AC=2BDAC=2BD.

ABCDxy
א.

הביעו באמצעות zz את המספרים שמייצגים את הקודקודים B, C ו-D.

נסמן: z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z=r(\cos\theta+i\sin\theta). ענו על הסעיפים ב-ג. הביעו את תשובותיכם באמצעות rr ו-θ\theta אם יש צורך.

ב.

כתבו הצגה קוטבית של ארבעת המספרים ההופכיים (1z,…)\left(\frac1z,\ldots\right) למספרים המייצגים את קודקודי המעוין.

ג.

ארבעת המספרים שמצאתם בסעיף ב מייצגים קודקודים של מרובע. מצאו את שטח המרובע שנוצר על ידי קודקודים אלה.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.