שאלות פתוחות: המשמעות הגאומטרית של הכפל: סיבוב ומתיחה - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על המשמעות הגאומטרית של כפל מספרים מרוכבים - סיבוב ומתיחה - לכיתה י"ב, 5 יחידות. השאלות כוללות סיבוב נקודה סביב הראשית או סביב נקודה אחרת, משולש שכל קודקודיו מוכפלים באותו מספר, השלמת משולש שווה צלעות במישור גאוס, ומספר מהצורה (a+i)² שמסובב בזווית נתונה. רוב השאלות ברמה בינונית, ויש גם קלות וקשות. אפשר לבחור מהן למבחן או לדף עבודה, עם פתרון מלא וייצוא לוורד.

43 שאלותקלה: 9בינונית: 25קשה: 9

שאלה 1 · כפל וחילוק בהצגה קוטביתשאלה קצרה · קלה

במישור גאוס הנקודה AAA מייצגת את המספר z=2+2iz=2+2iz=2+2i, והנקודה BBB מייצגת את המספר w=z⋅(cos⁡60∘+isin⁡60∘)w=z\cdot(\cos 60^\circ+i\sin 60^\circ)w=z⋅(cos60∘+isin60∘). OOO היא ראשית הצירים.

א.

הוכיחו כי המשולש OABOABOAB שווה-צלעות.

ב.

כתבו את www בהצגה אלגברית, וחשבו את שטח המשולש OABOABOAB.

שאלה 2 · המשמעות הגאומטרית של הכפל: סיבוב ומתיחהשאלה קצרה · בינונית

במישור גאוס שבשרטוט נתון משולש שקודקודיו מייצגים את המספרים 111, 3+i3+i3+i ו-2+3i2+3i2+3i. כופלים כל אחד משלושת המספרים במספר w=1−3iw=1-\sqrt{3}iw=1−3​i, ומקבלים משולש חדש.
OReIm

א.

כתבו את www בהצגה קוטבית, ותארו מה עושה הכפל ב-www לכל נקודה במישור גאוס.

ב.

חשבו את שטח המשולש החדש.

שאלה 3 · המשמעות הגאומטרית של הכפל: סיבוב ומתיחהשאלה קצרה · קשה

נתון המספר המרוכב w=2cis⁡60∘w=2\operatorname{cis}60^\circw=2cis60∘, ומספר מרוכב כלשהו z≠0z\neq 0z=0. במישור גאוס הנקודות AAA, BBB ו-CCC מייצגות את המספרים zzz, wzwzwz ו-w2zw^2zw2z בהתאמה.

מצאו את היחס BCAB\frac{BC}{AB}ABBC​ ואת גודל הזווית ∠ABC\angle ABC∠ABC, והראו כי הם אינם תלויים ב-zzz.

שאלה 4 · המשמעות הגאומטרית של הכפל: סיבוב ומתיחהשאלה קצרה · קלה

במישור גאוס הנקודה AAA מייצגת את המספר z=3+iz=3+iz=3+i, והנקודה PPP מייצגת את המספר p=1+ip=1+ip=1+i (ראו שרטוט). מסובבים את הנקודה AAA סביב הנקודה PPP בזווית של 90∘90^\circ90∘ נגד כיוון השעון, ומקבלים את הנקודה A′A'A′.
OAPReIm

מצאו את המספר המרוכב שמייצגת הנקודה A′A'A′.

שאלה 5 · המשמעות הגאומטרית של הכפל: סיבוב ומתיחהשאלה קצרה · בינונית

נתון המספר המרוכב w=(a+i)2w=(a+i)^2w=(a+i)2, כאשר aaa הוא מספר ממשי. ידוע כי הכפל ב-www מסובב כל נקודה במישור גאוס סביב הראשית בזווית של 120∘120^\circ120∘ נגד כיוון השעון (ובנוסף משנה את מרחקה מהראשית).

א.

מצאו את aaa.

ב.

פי כמה גדל המרחק מהראשית של נקודה שכופלים אותה ב-www?

שאלה 6 · ריבוע במישור גאוס וסיבוב בזווית פרמטרית: מתי יש מרובע ומה סוגושאלה מלאה · קשה

נתונה המשוואה: z2+zzˉ=3z−zˉ+12+8iz^2+z\bar z=3z-\bar z+12+8iz2+zzˉ=3z−zˉ+12+8i, zzz הוא מספר מרוכב. z1z_1z1​ הוא הפתרון של המשוואה המיוצג על ידי נקודה ברביע הראשון של מישור גאוס. חוסמים במעגל שמרכזו בראשית הצירים ועובר דרך z1z_1z1​ ריבוע שאחד מקודקודיו מיוצג על ידי z1z_1z1​.

א.

מצאו את z1z_1z1​ ואת שאר קודקודי הריבוע.

ב.

מכפילים ב-r1(cos⁡α+isin⁡α)r_1(\cos\alpha+i\sin\alpha)r1​(cosα+isinα) כל אחד מן המספרים המייצגים את שני קודקודי הריבוע שנמצאים ברביעים הראשון והשלישי, ומכפילים ב-r2(cos⁡(α+β)+isin⁡(α+β))r_2(\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta))r2​(cos(α+β)+isin(α+β)) כל אחד מן המספרים המייצגים את שני הקודקודים שנמצאים ברביעים השני והרביעי. r1r_1r1​ ו-r2r_2r2​ חיוביים, 0∘<β<180∘0^\circ<\beta<180^\circ0∘<β<180∘.

(1)

עבור איזה ערך של β\betaβ ארבע הנקודות שהתקבלו אינן יוצרות מרובע? נמקו.

(2)

עבור שאר ערכי β\betaβ, קבעו מהו סוג המרובע שהתקבל, ובאיזה תנאי הוא מלבן. האם הוא יכול להיות מעוין? נמקו.

ג.

נתון: r1⋅r2=2r_1\cdot r_2=2r1​⋅r2​=2, ושטח המרובע שהתקבל שווה לשטח הריבוע.

מצאו את β\betaβ (שתי אפשרויות).

שאלה 7 · המשמעות הגאומטרית של הכפל: סיבוב ומתיחהשאלה קצרה · קלה

במישור גאוס הנקודות OOO (ראשית הצירים), AAA ו-BBB הן קודקודים של משולש שווה-צלעות, והן מסודרות בסדר זה נגד כיוון השעון. הנקודה AAA מייצגת את המספר z1=2+23iz_1=2+2\sqrt{3}iz1​=2+23​i.

א.

מצאו את המספר המרוכב z2z_2z2​ שמייצגת הנקודה BBB.

ב.

חשבו את שטח המשולש OABOABOAB.

שאלה 8 · משוואה במרוכבים, ריבוע חסום וסיבוב בזוויות שונותשאלה מלאה · בינונית

נתונה המשוואה: z2+zzˉ=z−2zˉ+3−2iz^2+z\bar z=z-2\bar z+3-2iz2+zzˉ=z−2zˉ+3−2i, zzz הוא מספר מרוכב. z1z_1z1​ הוא אחד הפתרונות של המשוואה, והוא מייצג נקודה הנמצאת במישור גאוס ברביע הראשון, על מעגל שמרכזו בראשית הצירים.

א.

מצאו את משוואת המעגל.

ב.

חוסמים במעגל ריבוע שאחד מקודקודיו מיוצג על ידי המספר z1z_1z1​.

חשבו את שטח הריבוע.

ג.

מצאו את השיעורים של שאר קודקודי הריבוע.

ד.

מכפילים ב-r1⋅(cos⁡(α)+isin⁡(α))r_1\cdot(\cos(\alpha)+i\sin(\alpha))r1​⋅(cos(α)+isin(α)) כל אחד מן המספרים המייצגים את שני קודקודי הריבוע שנמצאים ברביעים הראשון והשלישי, ומכפילים ב-r2⋅(cos⁡(α+30∘)+isin⁡(α+30∘))r_2\cdot(\cos(\alpha+30^\circ)+i\sin(\alpha+30^\circ))r2​⋅(cos(α+30∘)+isin(α+30∘)) כל אחד מן המספרים המייצגים את שני קודקודי הריבוע שנמצאים ברביעים השני והרביעי. הנקודות במישור גאוס המייצגות את התוצאות שהתקבלו לאחר ההכפלה יוצרות מרובע קמור חדש במישור גאוס. נתון: r1≠r2r_1\neq r_2r1​=r2​, r1r_1r1​ ו-r2r_2r2​ חיוביים.

מהו סוג המרובע שהתקבל? נמקו את התשובה.

ה.

נתון כי שטח המרובע שהתקבל גדול פי 3 משטח הריבוע בסעיף ב.

חשבו את r1⋅r2r_1\cdot r_2r1​⋅r2​.

שאלה 9 · מקום גאומטרי עם פרמטר ומשושים מסובביםשאלה מלאה · קשה

z=x+iyz=x+iyz=x+iy הוא מספר מרוכב (xxx ו-yyy הם מספרים ממשיים), ו-k≠−2k\neq-2k=−2 הוא פרמטר ממשי.

א.

מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור גאוס המקיימות ∣z2−ki∣=∣z2+2i∣|z^2-ki|=|z^2+2i|∣z2−ki∣=∣z2+2i∣. הביעו באמצעות kkk.

ב.

פתרו את המשוואה z6=−64z^6=-64z6=−64. הפתרונות מייצגים את קודקודיו של מצולע I.

ג.

מצאו לאילו ערכי kkk המקום הגאומטרי מסעיף א חותך ברביע הרביעי את המעגל החוסם את מצולע I.

ד.

מצאו את הערך של kkk שעבורו אחת מנקודות החיתוך ברביע הרביעי היא קודקוד של מצולע I. האם גם נקודת החיתוך השנייה ברביע הרביעי היא קודקוד של מצולע I?

ה.

עבור kkk שמצאתם בסעיף ד, נקודת החיתוך ברביע הרביעי שאינה קודקוד של מצולע I היא קודקוד של משושה משוכלל II החסום באותו מעגל.

מצאו את כל המספרים www שהכפל בהם מעביר את קודקודי מצולע I בדיוק על קודקודי מצולע II.

שאלה 10 · ריבוע במישור גאוס: סיבוב, מתיחה וזיהוי מרובעשאלה מלאה · קלה

נתון המספר המרוכב z1=52−iz_1=\frac{5}{2-i}z1​=2−i5​.

א.

הציגו את z1z_1z1​ בצורה x+iyx+iyx+iy, ומצאו את משוואת המעגל שמרכזו בראשית הצירים ועובר בנקודה המייצגת את z1z_1z1​.

ב.

הנקודה המייצגת את z1z_1z1​ היא קודקוד של ריבוע החסום במעגל.

מצאו את שאר קודקודי הריבוע, וחשבו את שטחו.

ג.

מכפילים כל אחד מארבעת המספרים המייצגים את קודקודי הריבוע ב-w=2(cos⁡30∘+isin⁡30∘)w=2(\cos30^\circ+i\sin30^\circ)w=2(cos30∘+isin30∘).

מהו סוג המרובע שקודקודיו מיוצגים על ידי ארבע התוצאות? חשבו את שטחו.

ד.

עכשיו מכפילים ב-3 רק את שני המספרים z1z_1z1​ ו-−z1-z_1−z1​, ואת שני הקודקודים האחרים של הריבוע מסעיף ב משאירים כמו שהם.

מהו סוג המרובע שהתקבל? נמקו, וחשבו את שטחו.

עוד 26 שאלות על המשמעות הגאומטרית של הכפל: סיבוב ומתיחה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

המשמעות הגאומטרית של הכפל: סיבוב ומתיחה (שאלה קצרה · בינונית)
הנקודה המייצגת את המספר $3+2i$ היא קודקוד של ריבוע שמרכזו בראשית הצירים.
מעוין, הופכיים ומצולע משוכלל כללי (שאלה מלאה · קשה)
במעוין ABCD הקודקוד A נמצא ברביע הראשון, והקודקוד B נמצא ברביע השני במישור גאוס. אלכסוני המעוין נפגשים בראשית הצירים. המספר המרוכב…
מקום גאומטרי של z², שורשי 16 וריבוע מסובב (שאלה מלאה · קלה)
$z=x+iy$ הוא מספר מרוכב ( $x$ ו- $y$ הם מספרים ממשיים).
מקום גאומטרי של z², שורשים מסדר שלישי ומשולש מסובב (שאלה מלאה · בינונית)
$z=x+iy$ הוא מספר מרוכב ( $x$ ו- $y$ הם מספרים ממשיים).
שורשים מסדר 6: כל המכנים שמשאירים ארבעה פתרונות וסיבוב (שאלה מלאה · קשה)
נתונה המשוואה $z^6+729i=0$ ( $z$ הוא מספר מרוכב).
מעוין במישור גאוס: קודקודים, הופכיים ומשוואה (שאלה מלאה · קלה)
במעוין ABCD הקודקוד A נמצא ברביע הראשון, והקודקוד B נמצא ברביע השני במישור גאוס. אלכסוני המעוין נפגשים בראשית הצירים. המספר המרוכב $z$ מייצג…
מעוין במישור גאוס, מספרים הופכיים ושורשי משוואה (שאלה מלאה · בינונית)
במעוין ABCD הקודקוד A נמצא ברביע הראשון, והקודקוד B נמצא ברביע השני במישור גאוס. אלכסוני המעוין נפגשים בראשית הצירים. המספר המרוכב $z$ מייצג…
מרוכבים: נקודה על המעגל בכיוון המרכז, סדרה מסתובבת ושטחי משולשים (שאלה מלאה · קשה)
$z=x+yi$ הוא מספר מרוכב ( $x$ ו- $y$ הם מספרים ממשיים).
שורשים מסדר 6 של מספר שלילי, מלבן ומכפלה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה המשוואה $z^6=-729$ ( $z$ הוא מספר מרוכב).
המשמעות הגאומטרית של הכפל: סיבוב ומתיחה (שאלה קצרה · בינונית)
המשולש OAB הוא ישר-זווית ב-O, כאשר O ראשית הצירים במישור גאוס. הקודקוד A נמצא ברביע הראשון והקודקוד B נמצא ברביע השני. המספר $z$ מייצג את A,…
ריבוע מסובב כשורשים של zⁿ=b: זוויות, n וסימן b (שאלה מלאה · קשה)
נתונה המשוואה $z^2-2iz-2=0$ , ו- $z$ הוא משתנה מרוכב.
מרוכבים: ריבוע במישור גאוס, סיבוב ושורשים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה המשוואה $z^2+(-2+2i)z-4i=0$ , ו- $z$ הוא משתנה מרוכב.
שורשים מסדר 6, מלבן במישור גאוס וסיבוב: מכפלת הקודקודים (שאלה מלאה · בינונית)
מצאו את פתרונות המשוואה: $z^6+64=0$ ( $z$ הוא מספר מרוכב).
מספרים מרוכבים: תנאי עם חזקה כללית ומצולע בן 12 צלעות (שאלה מלאה · קשה)
נתונים שני מספרים מרוכבים $z_1$ ו- $z_2$ שמכפלתם היא $-21-12i$ . $z_1=3-2i$ . נתונה המשוואה $w^3=z_1+z_2$ , $w$ הוא משתנה מרוכב.
מספרים מרוכבים: שורשים ומשושה משוכלל (שאלה מלאה · קלה)
נתונים שני מספרים מרוכבים $z_1$ ו- $z_2$ שמכפלתם היא 17. $z_1=-4+i$ .
המשמעות הגאומטרית של הכפל: סיבוב ומתיחה (שאלה קצרה · בינונית)
המספרים $2cis10^\circ$ , $2cis130^\circ$ , $2cis250^\circ$ מייצגים קודקודים של משולש במישור גאוס. מסובבים את המשולש סביב הראשית בזווית…
מעוין במישור גאוס: סיבוב, מתיחה והמספרים ההופכיים (שאלת ביניים · קשה)
במעוין ABCD הקודקוד A נמצא ברביע הראשון, והקודקוד B נמצא ברביע השני במישור גאוס. אלכסוני המעוין נפגשים בראשית הצירים. המספר המרוכב $z$ מייצג…
מרוכבים: אנך אמצעי, משוואה ריבועית וריבוע מסובב כשורשים (שאלה מלאה · בינונית)
הביעו באמצעות $x$ ו- $y$ את משוואת המקום הגיאומטרי של כל הנקודות $z=x+iy$ במישור גאוס המקיימות $|z|=|z-(-3+3i)|$ .
מרוכבים: אנך אמצעי, משוואה ריבועית ומשולש שווה צלעות מסובב כשורשים (שאלה מלאה · בינונית)
הביעו באמצעות $x$ ו- $y$ את משוואת המקום הגיאומטרי של כל הנקודות $z=x+iy$ במישור גאוס המקיימות $|z|=|z-(-1+\sqrt3i)|$ .
מספרים מרוכבים: שורשים ממעלה שלישית ומשושה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונים שני מספרים מרוכבים $z_1$ ו- $z_2$ שמכפלתם היא $19+4i$ . $z_1=3+2i$ .
המשמעות הגאומטרית של הכפל: סיבוב ומתיחה (שאלה קצרה · בינונית)
הנקודות המייצגות את המספרים $2$ , $2i$ ו- $-2$ הן קודקודים של משולש במישור גאוס. מכפילים כל אחד מהמספרים ב- $1+\sqrt3i$ , ומתקבל משולש חדש.
מספרים מרוכבים: חילוק, שורשים מסדר 4, ישר דרך הראשית ושטח מצולע (שאלה מלאה · בינונית)
נתונים שני מספרים מרוכבים $z_1$ ו- $z_2$ , שהמנה שלהם היא $\frac{z_1}{z_2}=-3-2i$ . $z_1=-5+i$ .
מספרים מרוכבים: מקום גאומטרי פרבולה, שורשים, הופכי ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות $z=x+iy$ במישור גאוס המקיימות $|z-2|=\frac{z+\bar z}{2}+2$ הוא פרבולה, ומצאו את משוואתה.
מספרים מרוכבים: פרבולה שמוקדה בראשית, שורשים, חזקה והופכי ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות $z=x+iy$ במישור גאוס המקיימות $|z|=\frac{z-\bar z}{2i}+4$ הוא פרבולה, ומצאו את משוואתה.
הכפל שמעביר ריבוע על ריבוע אחר החסום באותו מעגל (שאלה קצרה · בינונית)
במישור גאוס ריבוע I הוא הריבוע שקודקודיו מיוצגים על ידי המספרים $2$ , $2i$ , $-2$ , $-2i$ , וריבוע II הוא הריבוע שקודקודיו מיוצגים על ידי…
סיבוב ומתיחה של ריבוע החסום במעגל (שאלת ביניים · בינונית)
נתון המספר המרוכב $z_1=2+i$ . המעגל שמרכזו בראשית הצירים ועובר בנקודה המייצגת את $z_1$ הוא $x^2+y^2=5$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

משוואה במספרים מרוכבים, ריבוע חסום וסיבוב קודקודים · בגרות 572 קיץ 2022 מועד א', שאלה 3
נתונה המשוואה: $z^2+z\bar z=z+2\bar z+9+7i$ , $z$ הוא מספר מרוכב. $z_1$ הוא אחד הפתרונות של המשוואה, והוא מייצג נקודה הנמצאת במישור גאוס ברביע הראשון, על מעגל…
מקום גאומטרי של z², שורשי היחידה ומצולע מסובב · בגרות 572 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 3
$z=x+iy$ הוא מספר מרוכב ( $x$ ו- $y$ הם מספרים ממשיים).
מעוין במישור גאוס, מספרים הופכיים ושורשי יחידה · בגרות 572 קיץ 2024 מועד א', שאלה 3
במעוין ABCD הקודקוד A נמצא ברביע הראשון, והקודקוד B נמצא ברביע השני במישור גאוס. אלכסוני המעוין נפגשים בראשית הצירים. המספר המרוכב $z$ מייצג את הקודקוד A. נתון:…
שורשים מסדר 6, מלבן במישור גאוס וסיבוב: מכפלת הקודקודים · בגרות 572 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 3
מצאו את פתרונות המשוואה: $z^6+729i=0$ ( $z$ הוא מספר מרוכב).
מרוכבים: אנך אמצעי, משוואה ריבועית וריבוע מסובב כשורשים · בגרות 572 קיץ 2025 מועד א', שאלה 3
הביעו באמצעות $x$ ו- $y$ את משוואת המקום הגיאומטרי של כל הנקודות $z=x+iy$ במישור גאוס המקיימות $|z|=|z-(2+2i)|$ .
מספרים מרוכבים: שורשים, תנאי על ישר דרך הראשית ושטח מצולע · בגרות 572 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 3
נתונים שני מספרים מרוכבים $z_1$ ו- $z_2$ שמכפלתם היא $-19+4i$ . $z_1=2+3i$ .
מספרים מרוכבים: מקום גאומטרי פרבולה, שורשים, הופכי ויחס שטחים · בגרות 572 חורף 2026, שאלה 3
הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות $z=x+iy$ במישור גאוס המקיימות $|z-3i|=\frac{z-\bar z}{2i}+3$ הוא פרבולה, ומצאו את משוואתה.