מבחן לדוגמה: משפט דה-מואבר וחזקות - כיתה י"ב 5 יח"ל

חשבו את $z^{12}$ וכתבו אותו בהצגה אלגברית.

פתרו את המשוואה, ומצאו את $z_0$.

הנקודות A, B ו-C מיוצגות במישור גאוס על ידי המספרים $d\cdot z_0$, $di\cdot z_0$ ו-$d\cdot(z_0)^4$ בהתאמה. $d>0$ הוא פרמטר.

נגדיר: $w=\left((z_0)^2-\frac{1}{(z_0)^2}\right)(1+i)$.

מצאו את $|w|$ ואת הארגומנט של $w$.

הוכיחו כי לכל $n$ טבעי המספר $\left(\frac z2\right)^{3n}$ הוא מספר ממשי.

מצאו את כל ערכי $n$ הטבעיים שבעבורם $\left(\frac z2\right)^{3n}=1$.

כתבו את $z_1$ ואת $z_2$ בהצגה קוטבית.

נתונים המספרים $w_1=\left(\frac{z_1}{\sqrt2}\right)^{4n}$ ו-$w_2=\left(\frac{z_2}{\sqrt2}\right)^{4n+2}$, כאשר $n$ מספר טבעי.

הראו כי $\left(\frac{z_1}{\sqrt2}\right)^4=-1$, והסיקו כי $w_1$ הוא מספר ממשי לכל $n$ טבעי.

הראו כי $w_2$ הוא מספר מדומה טהור לכל $n$ טבעי.

מצאו את כל המספרים הטבעיים $m$ שעבורם $z_m$ ממשי, ואת כל המספרים הטבעיים $m$ שעבורם $z_m$ מדומה טהור.

נסמן $w_m=\frac{z_m}{(\sqrt3)^m}$, ו-$S_N=w_1+w_2+\ldots+w_N$.

מצאו את כל הערכים של $N$ שעבורם $S_N=0$.

מצאו את הערך הגדול ביותר של $|S_N|$, ואת כל ה-$N$ שעבורם הוא מתקבל.

הביעו באמצעות $z$ את המספרים שמייצגים את הקודקודים B, C ו-D.

הראו כי המספרים ההופכיים למספרים המייצגים את A, B, C ו-D הם קודקודים של מעוין. קבעו אילו שניים מהם נמצאים על האלכסון הארוך של המעוין החדש, ומצאו את שטחו (הביעו באמצעות $r$).

נתונה המשוואה $w^{n-1}=\bar w$, כאשר $n\ge3$ מספר טבעי ו-$w$ מספר מרוכב השונה מ-0. פתרונות המשוואה מייצגים קודקודים של מצולע. הביעו באמצעות $n$ את שטח המצולע.

נתון: $r=\frac1{\sqrt2}$.

מצאו את כל הערכים של $n$ שבעבורם שטח המצולע מסעיף ג שווה לשטח המעוין מסעיף ב.