שאלות פתוחות: משפט דה-מואבר וחזקות - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על משפט דה-מואבר וחזקות של מספרים מרוכבים, לכיתה י"ב, 5 יחידות. יש כאן חישוב חזקות גבוהות של 1-i ו-1+i, מספר עם פרמטר שחזקתו השלישית שווה למינוס 1, משוואה שבה z³ שווה למינוס ההופכי של z³, פתרונות של z⁶=1, וסדרה הנדסית של מספרים מרוכבים. רוב השאלות ברמה בינונית, ויש גם קלות וקשות. מתאים לבוחן או למבחן, וכל שאלה כוללת פתרון מלא וייצוא לוורד.

44 שאלותקלה: 8בינונית: 28קשה: 8

שאלה 1 · משפט דה-מואבר וחזקותשאלה קצרה · קלה

נתון המספר המרוכב z=1−iz=1-iz=1−i (ראו שרטוט).
OReImz

חשבו את z12z^{12}z12 וכתבו אותו בהצגה אלגברית.

שאלה 2 · משפט דה-מואבר וחזקותשאלה קצרה · בינונית

נתון המספר המרוכב z=a+iz=a+iz=a+i, כאשר a>0a>0a>0 הוא מספר ממשי.

מצאו את כל הערכים של aaa שעבורם z6z^6z6 הוא מספר מדומה טהור.

שאלה 3 · מספרים מרוכבים: מתי המשולש ישר-זווית ובאיזה רדיוסשאלה מלאה · קשה

נתונה המשוואה: z3=−1z3z^3=-\frac{1}{z^3}z3=−z31​, zzz הוא מספר מרוכב. המספר z0z_0z0​ הוא הפתרון של המשוואה שמיוצג על ידי נקודה ברביע הרביעי במישור גאוס.

א.

מצאו את המספר המרוכב z0z_0z0​.

ב.

הנקודות A, B ו-C מיוצגות במישור גאוס על ידי המספרים d⋅z0d\cdot z_0d⋅z0​, di⋅z0di\cdot z_0di⋅z0​ ו-d⋅(z0)md\cdot(z_0)^md⋅(z0​)m בהתאמה. d>0d>0d>0 הוא פרמטר, ו-mmm הוא מספר טבעי, 1<m<121<m<121<m<12.

מצאו את כל ערכי mmm שעבורם המשולש ABC הוא משולש ישר-זווית.

ג.

נגדיר: w=((z0)2−1(z0)2)(1−i)w=\left((z_0)^2-\frac{1}{(z_0)^2}\right)(1-i)w=((z0​)2−(z0​)21​)(1−i).

מצאו את ∣w∣|w|∣w∣ ואת הארגומנט של www.

ד.

מצאו את כל הערכים של ddd שעבורם המספר הטבעי הקטן ביותר nnn שעבורו wnw^nwn הוא מספר מדומה טהור ונמצא מחוץ למעגל החוסם את המשולש ABC הוא n=6n=6n=6.

שאלה 4 · מספרים צמודים וחזקות בדה-מואבר: שלבים מודרכיםשאלה מלאה · קלה

נתונים שני מספרים מרוכבים: z1=(a−3)+(a−1)iz_1=(a-3)+(a-1)iz1​=(a−3)+(a−1)i, z2=(1−a)+(3−2a)iz_2=(1-a)+(3-2a)iz2​=(1−a)+(3−2a)i. aaa הוא פרמטר ממשי.

א.

מצאו את הערך של aaa שבעבורו z1z_1z1​ ו-z2z_2z2​ צמודים זה לזה.

ב.

כתבו את z1z_1z1​ ואת z2z_2z2​ בהצגה קוטבית.

ג.

הציבו a=2a=2a=2. נתונים המספרים w1=(z12)4nw_1=\left(\frac{z_1}{\sqrt2}\right)^{4n}w1​=(2​z1​​)4n ו-w2=(z22)4n+2w_2=\left(\frac{z_2}{\sqrt2}\right)^{4n+2}w2​=(2​z2​​)4n+2, כאשר nnn מספר טבעי.

(1)

הראו כי (z12)4=−1\left(\frac{z_1}{\sqrt2}\right)^4=-1(2​z1​​)4=−1, והסיקו כי w1w_1w1​ הוא מספר ממשי לכל nnn טבעי.

(2)

הראו כי w2w_2w2​ הוא מספר מדומה טהור לכל nnn טבעי.

ד.

מצאו את ppp ואת mmm הממשיים שבעבורם המשוואה ∣z−p∣=m|z-p|=m∣z−p∣=m מתארת מעגל שעליו נמצאים w1w_1w1​ ו-w2w_2w2​ לכל nnn טבעי.

שאלה 5 · משפט דה-מואבר וחזקותשאלה קצרה · בינונית

נתון המספר המרוכב z=1+iz=1+iz=1+i.

א.

מצאו את כל המספרים הטבעיים nnn בתחום 1≤n≤201\le n\le 201≤n≤20 שעבורם znz^nzn הוא מספר ממשי חיובי.

ב.

חשבו את znz^nzn עבור כל אחד מהערכים שמצאתם.

שאלה 6 · סדרה הנדסית של מספרים מרוכבים: מיון איברים וסכומים חלקייםשאלה מלאה · קשה

נתונה סדרה הנדסית: z1,z2,z3,…z_1, z_2, z_3, \ldotsz1​,z2​,z3​,… שאיבריה הם מספרים מרוכבים ומנתה היא qqq. z1z_1z1​ נמצא ברביע הראשון. נתון: (z1)3=z3(z_1)^3=z_3(z1​)3=z3​, z3‾=−3z1\overline{z_3}=-3z_1z3​​=−3z1​.

א.

הוכיחו כי: q=z1q=z_1q=z1​ או q=−z1q=-z_1q=−z1​.

ב.

מצאו את z1z_1z1​.

בסעיפים ג-ה: q=z1q=z_1q=z1​.

ג.

מצאו את כל המספרים הטבעיים mmm שעבורם zmz_mzm​ ממשי, ואת כל המספרים הטבעיים mmm שעבורם zmz_mzm​ מדומה.

ד.

נסמן wm=zm(3)mw_m=\frac{z_m}{(\sqrt3)^m}wm​=(3​)mzm​​, ו-SN=w1+w2+…+wNS_N=w_1+w_2+\ldots+w_NSN​=w1​+w2​+…+wN​.

מצאו את כל הערכים של NNN שעבורם SN=0S_N=0SN​=0.

ה.

מצאו את הערך הגדול ביותר של ∣SN∣|S_N|∣SN​∣, ואת כל ה-NNN שעבורם הוא מתקבל.

שאלה 7 · שורשי היחידה מסדר 6: משולש במישור גאוס וחזקה מדומה טהורהשאלה מלאה · קלה

נתונה המשוואה z6=1z^6=1z6=1, zzz הוא מספר מרוכב. המספר z0z_0z0​ הוא הפתרון של המשוואה שמיוצג על ידי נקודה ברביע הראשון במישור גאוס.

א.

פתרו את המשוואה, ומצאו את z0z_0z0​.

ב.

הנקודות A, B ו-C מיוצגות במישור גאוס על ידי המספרים d⋅z0d\cdot z_0d⋅z0​, di⋅z0di\cdot z_0di⋅z0​ ו-d⋅(z0)4d\cdot(z_0)^4d⋅(z0​)4 בהתאמה. d>0d>0d>0 הוא פרמטר.

(1)

מצאו את הארגומנטים של שלושת המספרים, והראו כי AC הוא קוטר במעגל שמרכזו בראשית הצירים ורדיוסו ddd.

(2)

הראו כי שטח המשולש ABC הוא d2d^2d2. נתון כי שטח המשולש ABC הוא 2d+82d+82d+8. מצאו את הערך של ddd.

ג.

נגדיר: w=((z0)2−1(z0)2)(1+i)w=\left((z_0)^2-\frac{1}{(z_0)^2}\right)(1+i)w=((z0​)2−(z0​)21​)(1+i).

מצאו את ∣w∣|w|∣w∣ ואת הארגומנט של www.

ד.

(1)

מצאו את המספר הטבעי הקטן ביותר nnn שעבורו wnw^nwn הוא מספר מדומה טהור, ואת wnw^nwn עבורו.

(2)

קבעו אם הנקודה המייצגת את המספר שמצאתם בסעיף ד(1) נמצאת בתוך המעגל החוסם את המשולש ABC או מחוצה לו.

שאלה 8 · משפט דה-מואבר וחזקותשאלה קצרה · בינונית

נתון המספר המרוכב z=a+ia−iz=\frac{a+i}{a-i}z=a−ia+i​, כאשר a>0a>0a>0 הוא מספר ממשי. ידוע כי z3=−1z^3=-1z3=−1.

א.

מצאו את aaa.

ב.

חשבו את z10z^{10}z10 בהצגה אלגברית.

שאלה 9 · מעוין, הופכיים ומצולע משוכלל כללישאלה מלאה · קשה

במעוין ABCD הקודקוד A נמצא ברביע הראשון, והקודקוד B נמצא ברביע השני במישור גאוס. אלכסוני המעוין נפגשים בראשית הצירים. המספר המרוכב z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z=r(\cos\theta+i\sin\theta)z=r(cosθ+isinθ) מייצג את הקודקוד A. נתון: BD=2ACBD=2ACBD=2AC.
ABCDxy

א.

הביעו באמצעות zzz את המספרים שמייצגים את הקודקודים B, C ו-D.

ב.

הראו כי המספרים ההופכיים למספרים המייצגים את A, B, C ו-D הם קודקודים של מעוין. קבעו אילו שניים מהם נמצאים על האלכסון הארוך של המעוין החדש, ומצאו את שטחו (הביעו באמצעות rrr).

ג.

נתונה המשוואה wn−1=wˉw^{n-1}=\bar wwn−1=wˉ, כאשר n≥3n\ge3n≥3 מספר טבעי ו-www מספר מרוכב השונה מ-0. פתרונות המשוואה מייצגים קודקודים של מצולע. הביעו באמצעות nnn את שטח המצולע.

ד.

נתון: r=12r=\frac1{\sqrt2}r=2​1​.

מצאו את כל הערכים של nnn שבעבורם שטח המצולע מסעיף ג שווה לשטח המעוין מסעיף ב.

שאלה 10 · סדרה הנדסית של מספרים מרוכבים: צמוד, דה-מואבר וסכוםשאלה מלאה · קלה

נתונה סדרה הנדסית: z1,z2,z3,…z_1, z_2, z_3, \ldotsz1​,z2​,z3​,… שאיבריה הם מספרים מרוכבים ומנתה היא qqq. z1z_1z1​ נמצא ברביע הראשון. נתון: (z1)3=z3(z_1)^3=z_3(z1​)3=z3​, z3‾=−4z1\overline{z_3}=-4z_1z3​​=−4z1​.

א.

הוכיחו כי: q=z1q=z_1q=z1​ או q=−z1q=-z_1q=−z1​.

ב.

(1)

הראו כי ∣z1∣=2|z_1|=2∣z1​∣=2.

(2)

מצאו את z1z_1z1​ בהצגה קוטבית ובהצגה אלגברית.

בסעיפים ג-ד: q=z1q=z_1q=z1​.

ג.

(1)

הראו כי zm=2mcis(45∘m)z_m=2^m\text{cis}(45^\circ m)zm​=2mcis(45∘m).

(2)

קבעו אם z6z_6z6​ ואם z8z_8z8​ ממשיים או מדומים. נמקו.

ד.

הראו כי המספרים z12,z222,…,z828\frac{z_1}{2}, \frac{z_2}{2^2}, \ldots, \frac{z_8}{2^8}2z1​​,22z2​​,…,28z8​​ הם איברים של סדרה הנדסית, ומצאו את סכומם.

עוד 26 שאלות על משפט דה-מואבר וחזקות

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

מספר מרוכב ברביע הרביעי: ארגומנט מהמנה בצמוד, מודול, דה-מואבר ודלתון במישור גאוס (שאלה מלאה · בינונית)
המספר: $z=R(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)$ נמצא במישור גאוס ברביע הרביעי.
ריבוע מסובב כשורשים של zⁿ=b: זוויות, n וסימן b (שאלה מלאה · קשה)
נתונה המשוואה $z^2-2iz-2=0$ , ו- $z$ הוא משתנה מרוכב.
מעוין במישור גאוס: קודקודים, הופכיים ומשוואה (שאלה מלאה · קלה)
במעוין ABCD הקודקוד A נמצא ברביע הראשון, והקודקוד B נמצא ברביע השני במישור גאוס. אלכסוני המעוין נפגשים בראשית הצירים. המספר המרוכב $z$ מייצג…
משפט דה-מואבר וחזקות (שאלה קצרה · בינונית)
נתון המספר $z=1-\sqrt3i$ .
מספרים מרוכבים: תנאי עם חזקה כללית ומצולע בן 12 צלעות (שאלה מלאה · קשה)
נתונים שני מספרים מרוכבים $z_1$ ו- $z_2$ שמכפלתם היא $-21-12i$ . $z_1=3-2i$ . נתונה המשוואה $w^3=z_1+z_2$ , $w$ הוא משתנה מרוכב.
מרוכבים: ריבוע במישור גאוס, סיבוב ושורשים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה המשוואה $z^2+(-2+2i)z-4i=0$ , ו- $z$ הוא משתנה מרוכב.
מספרים צמודים, חזקות בדה-מואבר ומעגל במישור גאוס (שאלה מלאה · בינונית)
נתונים שני מספרים מרוכבים: $z_1=(a^2-2a+1)\sqrt3+(a^2-3)i$ $z_2=(3a-5)\sqrt3+(1-a)i$ $a$ הוא פרמטר ממשי.
מספרים מרוכבים: שני פרמטרים משני תנאים, חזקות וחקירת חיתוך (שאלה מלאה · קשה)
נתונים שלושה מספרים מרוכבים: $z_1=r\cdot(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)$ ,…
מספרים מרוכבים: שורשים ומשושה משוכלל (שאלה מלאה · קלה)
נתונים שני מספרים מרוכבים $z_1$ ו- $z_2$ שמכפלתם היא 17. $z_1=-4+i$ .
משפט דה-מואבר וחזקות (שאלה קצרה · בינונית)
נתון המספר $z=1-\sqrt3i$ .
מספר וחזקתו על ישר אחד דרך הראשית (שאלה קצרה · קשה)
במישור גאוס $O$ היא ראשית הצירים.
מספרים מרוכבים בהצגה קוטבית: זווית, שורשים רביעיים ושטח משולש (שאלה מלאה · קלה)
נתונים שלושה מספרים מרוכבים: $z_1=r\cdot(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)$ ,…
מספרים מרוכבים: שורשי יחידה מסדר 8, משולש וחזקה מדומה טהורה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה המשוואה: $z^4=\frac{1}{z^4}$ , $z$ הוא מספר מרוכב. נתון גם כי המספר $z_0$ הוא אחד מפתרונות המשוואה וכי הוא מיוצג על ידי נקודה ברביע…
סדרה הנדסית של חזקות: ממשי, מדומה וסכומים (שאלת ביניים · קשה)
נתונה סדרה הנדסית: $z_1, z_2, z_3, \ldots$ שאיבריה הם מספרים מרוכבים ומנתה היא $q$ . נתון: $z_1=\sqrt3\text{cis}45^\circ$ .
משפט דה-מואבר וחזקות (שאלה קצרה · בינונית)
נתון המספר המרוכב $w=\sqrt3-i$ .
סדרה הנדסית של מספרים מרוכבים: צמוד, איברים ממשיים ומדומים וסכום (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה סדרה הנדסית: $z_1, z_2, z_3, \ldots$ שאיבריה הם מספרים מרוכבים ומנתה היא $q$ . $z_1$ נמצא ברביע השני. נתון: $z_3=-(z_1)^3$ ,…
משפט דה-מואבר וחזקות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה סדרה הנדסית שאיבריה מספרים מרוכבים. האיבר הראשון שלה הוא $z_1=\sqrt3+i$ , וגם המנה שלה היא $q=\sqrt3+i$ .
מעוין במישור גאוס, מספרים הופכיים ושורשי משוואה (שאלה מלאה · בינונית)
במעוין ABCD הקודקוד A נמצא ברביע הראשון, והקודקוד B נמצא ברביע השני במישור גאוס. אלכסוני המעוין נפגשים בראשית הצירים. המספר המרוכב $z$ מייצג…
מרוכבים: אנך אמצעי, משוואה ריבועית וריבוע מסובב כשורשים (שאלה מלאה · בינונית)
הביעו באמצעות $x$ ו- $y$ את משוואת המקום הגיאומטרי של כל הנקודות $z=x+iy$ במישור גאוס המקיימות $|z|=|z-(-3+3i)|$ .
מרוכבים: אנך אמצעי, משוואה ריבועית ומשולש שווה צלעות מסובב כשורשים (שאלה מלאה · בינונית)
הביעו באמצעות $x$ ו- $y$ את משוואת המקום הגיאומטרי של כל הנקודות $z=x+iy$ במישור גאוס המקיימות $|z|=|z-(-1+\sqrt3i)|$ .
מספרים מרוכבים: שורשים ממעלה שלישית ומשושה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונים שני מספרים מרוכבים $z_1$ ו- $z_2$ שמכפלתם היא $19+4i$ . $z_1=3+2i$ .
מספרים מרוכבים: חילוק, שורשים מסדר 4, ישר דרך הראשית ושטח מצולע (שאלה מלאה · בינונית)
נתונים שני מספרים מרוכבים $z_1$ ו- $z_2$ , שהמנה שלהם היא $\frac{z_1}{z_2}=-3-2i$ . $z_1=-5+i$ .
מספרים מרוכבים בהצגה קוטבית: פרמטרים, שורשים שלישיים ושטח דלתון (שאלה מלאה · בינונית)
נתונים שלושה מספרים מרוכבים: $z_1=r\cdot(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)$ ,…
מספרים מרוכבים בהצגה קוטבית: פרמטרים, שורשים מסדר 6 ושטח מרובע במישור גאוס (שאלה מלאה · בינונית)
נתונים שלושה מספרים מרוכבים: $z_1=r\cdot(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)$ , $z_2=\frac2r\cdot(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)$ ,…
חזקה מדומה טהורה מחוץ למעגל (שאלה קצרה · בינונית)
נתון המספר המרוכב $w=\sqrt3-i$ .
חזקות של מספרים צמודים: ממשי או מדומה לכל n (שאלת ביניים · בינונית)
נתונים המספרים המרוכבים $z_1=-1+i$ ו- $z_2=-1-i$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

מספר מרוכב ברביע השלישי: ארגומנט מהמנה בצמוד, מודול, דה-מואבר ודלתון במישור גאוס · בגרות 572 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 3
המספר: $z=R(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)$ נמצא במישור גאוס ברביע השלישי.
מספרים צמודים, חזקות בדה-מואבר ומעגל במישור גאוס · בגרות 572 חורף 2022, שאלה 3
נתונים שני מספרים מרוכבים: $z_1=(2a^2+5a+4)+(2a^2+3a+2)i$ $z_2=(a^2+8a+8)+(2-a^2+2a)i$ $a$ הוא פרמטר ממשי.
מספרים מרוכבים: שורשי יחידה, משולש במישור גאוס וחזקה מדומה טהורה · בגרות 572 קיץ 2023 מועד א', שאלה 3
נתונה המשוואה: $z^3=\frac{1}{z^3}$ , $z$ הוא מספר מרוכב. נתון גם כי המספר $z_0$ הוא אחד מפתרונות המשוואה וכי הוא מיוצג על ידי נקודה ברביע הרביעי במישור גאוס.
סדרה הנדסית של מספרים מרוכבים: צמוד, איברים ממשיים ומדומים וסכום · בגרות 572 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 3
נתונה סדרה הנדסית: $z_1, z_2, z_3, \ldots$ שאיבריה הם מספרים מרוכבים ומנתה היא $q$ . $z_1$ נמצא ברביע הראשון. נתון: $(z_1)^3=z_3$ , $-2z_1=\overline{z_3}$ .
מעוין במישור גאוס, מספרים הופכיים ושורשי יחידה · בגרות 572 קיץ 2024 מועד א', שאלה 3
במעוין ABCD הקודקוד A נמצא ברביע הראשון, והקודקוד B נמצא ברביע השני במישור גאוס. אלכסוני המעוין נפגשים בראשית הצירים. המספר המרוכב $z$ מייצג את הקודקוד A. נתון:…
מרוכבים: אנך אמצעי, משוואה ריבועית וריבוע מסובב כשורשים · בגרות 572 קיץ 2025 מועד א', שאלה 3
הביעו באמצעות $x$ ו- $y$ את משוואת המקום הגיאומטרי של כל הנקודות $z=x+iy$ במישור גאוס המקיימות $|z|=|z-(2+2i)|$ .
מספרים מרוכבים: שורשים, תנאי על ישר דרך הראשית ושטח מצולע · בגרות 572 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 3
נתונים שני מספרים מרוכבים $z_1$ ו- $z_2$ שמכפלתם היא $-19+4i$ . $z_1=2+3i$ .
מספרים מרוכבים בהצגה קוטבית: מציאת פרמטרים, שורשים ושטח מרובע במישור גאוס · בגרות 572 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 3
נתונים שלושה מספרים מרוכבים: $z_1=r\cdot(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)$ , $z_2=\frac1r\cdot\big(\cos(\alpha+90^\circ)+i\cdot\sin(\alpha+90^\circ)\big)$ ,…