מבחן לדוגמה: שורשים מסדר n של מספר מרוכב - כיתה י"ב 5 יח"ל

פתרו את המשוואה, ורשמו את הפתרונות בהצגה אלגברית.

הפתרונות מייצגים במישור גאוס קודקודים של משולש. חשבו את שטח המשולש.

הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות $z=x+iy$ במישור גאוס המקיימות $|z-i|=\frac{z-\bar z}{2i}+1$ הוא הפרבולה $x^2=4y$.

הנקודה המייצגת את $w$ נמצאת על הפרבולה $x^2=4y$. מצאו את $r$, וכתבו את $w$ בהצגה אלגברית.

מצולע II הוא המצולע שקודקודיו מיוצגים על ידי המספרים $w$, $-w$, $\frac1w$, $-\frac1w$. כתבו את ארבעת המספרים בהצגה קוטבית ובהצגה אלגברית.

הראו כי מצולע II הוא מעוין, ומצאו את שטחו.

מצולע I הוא המצולע שקודקודיו מיוצגים על ידי פתרונות המשוואה $z^4=-\frac{1}{1024}$. מצאו את הפתרונות בהצגה קוטבית, ואת היחס בין שטח מצולע II ובין שטח מצולע I.

מצאו את $a$.

מצאו את $w$, ורשמו בהצגה אלגברית את שני הפתרונות האחרים של המשוואה.

הביעו באמצעות $x$ ו-$y$ את משוואת המקום הגיאומטרי של כל הנקודות $z=x+iy$ במישור גאוס המקיימות $|z|=|z-(-1+\sqrt3i)|$.

$z$ הוא משתנה מרוכב. נתונה המשוואה $z^2+(1-\sqrt3i)z-2-2\sqrt3i=0$. A ו-B הן נקודות המיוצגות על ידי שני פתרונות המשוואה.

הראו כי הנקודות A ו-B נמצאות על המקום הגיאומטרי שמצאתם בסעיף א.

הנקודה C נמצאת על המעגל $|z|=2$, כך שהמשולש ABC הוא משולש שווה צלעות. סובבו את המשולש ABC סביב ראשית הצירים נגד כיוון השעון בזווית $\alpha$ ($0^\circ<\alpha<120^\circ$). כל שש הנקודות (הנקודות A, B, C ושלוש הנקודות שהתקבלו אחרי הסיבוב) מיוצגות על ידי פתרונות של המשוואה $z^n=b$ שבה $n$ הוא מספר טבעי ו-$b$ הוא מספר ממשי.

מצאו את כל המספרים המרוכבים $w$ שעבורם למשוואה $\frac{z^6+729i}{z^2-w}=0$ יש בדיוק ארבעה פתרונות.

לכל אחד מערכי $w$, ארבעת הפתרונות מייצגים קודקודים של מרובע במישור גאוס.

מצאו את שטח המרובע בעבור כל אחד מערכי $w$.

בעבור כל אחד מערכי $w$, מצאו את מכפלת ארבעת המספרים המייצגים את קודקודי המרובע.

מצאו את כל המספרים המרוכבים $w$ שעבורם למשוואה $\frac{z^6+729i}{z^2-w}=0$ יש בדיוק ארבעה פתרונות.

לכל אחד מערכי $w$, ארבעת הפתרונות מייצגים קודקודים של מרובע במישור גאוס.

מצאו את שטח המרובע בעבור כל אחד מערכי $w$.

בעבור כל אחד מערכי $w$, מצאו את מכפלת ארבעת המספרים המייצגים את קודקודי המרובע.

מסובבים את המרובע (סביב הראשית) בזווית $\alpha$ נגד כיוון השעון, $0^\circ<\alpha<90^\circ$.

מצאו את כל הזוגות של $w$ ו-$\alpha$ שעבורם מכפלת המספרים המייצגים את קודקודי המרובע לאחר הסיבוב היא 81.