שאלות פתוחות: שורשים מסדר n של מספר מרוכב - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על שורשים מסדר n של מספר מרוכב, לכיתה י"ב, 5 יחידות. השאלות כוללות פתרון משוואות כמו z³=-64, מציאת n ו-w כששני פתרונות של z^n=w ידועים, משושה משוכלל שקודקודיו הם פתרונות המשוואה ושטחו נתון, ופתרון שהוא מספר מדומה טהור. זה שיעור גדול, עם שאלות ברמה קלה, בינונית וקשה. אפשר להרכיב ממנו מבחן או כמה דפי עבודה, עם פתרון מלא לכל שאלה וייצוא לוורד.

71 שאלותקלה: 14בינונית: 43קשה: 14

שאלה 1 · שורשים מסדר n של מספר מרוכבשאלה קצרה · קלה

נתונה המשוואה z3=−64z^3=-64z3=−64, כאשר zzz מספר מרוכב.

א.

פתרו את המשוואה, ורשמו את הפתרונות בהצגה אלגברית.

ב.

הפתרונות מייצגים במישור גאוס קודקודים של משולש. חשבו את שטח המשולש.

שאלה 2 · שורשים מסדר n של מספר מרוכבשאלה קצרה · בינונית

הקודקודים של משושה משוכלל במישור גאוס מייצגים את כל הפתרונות של המשוואה z6=wz^6=wz6=w, כאשר www הוא מספר מרוכב שאינו אפס. שטח המשושה הוא 12312\sqrt{3}123​.

א.

מצאו את ∣w∣|w|∣w∣.

ב.

ידוע גם כי אחד הפתרונות של המשוואה הוא מספר ממשי שלילי. מצאו את www, ורשמו את כל הפתרונות בהצגה קוטבית.

שאלה 3 · שורשים מסדר n של מספר מרוכבשאלה קצרה · קשה

נתון כי המספרים z1=1+3iz_1=1+\sqrt{3}iz1​=1+3​i ו-z2=−2iz_2=-2iz2​=−2i הם שני פתרונות של המשוואה zn=wz^n=wzn=w, כאשר nnn מספר טבעי ו-www מספר מרוכב.
OReIm

א.

מצאו את הערך הקטן ביותר האפשרי של nnn, ואת www המתאים לו.

ב.

עבור הערך של nnn שמצאתם, רשמו בהצגה אלגברית את כל הפתרונות של המשוואה הנמצאים ברביע השני.

שאלה 4 · מספרים מרוכבים: שורש ריבועי, שני מעגלים וחיתוך עם ישרשאלה מלאה · קלה

נתונה המשוואה: z2=−3+4iz^2=-3+4iz2=−3+4i, zzz הוא מספר מרוכב.

א.

פתרו את המשוואה.

ב.

נסמן את החלקים הממשיים של פתרונות המשוואה ב-a1a_1a1​ וב-a2a_2a2​ כך ש-a1<a2a_1<a_2a1​<a2​.
נתונים שני מקומות גאומטריים:
I. ∣z−ia1∣=1|z-ia_1|=1∣z−ia1​∣=1
II. ∣z−ia2∣=1|z-ia_2|=1∣z−ia2​∣=1

מצאו את המרכז ואת הרדיוס של כל אחד מהמקומות הגאומטריים, וסרטטו את שניהם באותה מערכת צירים.

ג.

מצאו את המספרים המרוכבים שמייצגים את נקודות החיתוך של הישר y=xy=xy=x עם כל אחד מהמקומות הגאומטריים.

ד.

נסמן ב-w1w_1w1​ וב-w2w_2w2​ את שני המספרים שמצאתם בסעיף ג ששונים מ-0.

חשבו את w1⋅w1‾w_1\cdot\overline{w_1}w1​⋅w1​​ ואת w2⋅w2‾w_2\cdot\overline{w_2}w2​⋅w2​​, ופתרו את המשוואה z3=w1⋅w1‾⋅w2⋅w2‾z^3=w_1\cdot\overline{w_1}\cdot w_2\cdot\overline{w_2}z3=w1​⋅w1​​⋅w2​⋅w2​​.

שאלה 5 · שורשים מסדר n של מספר מרוכבשאלה קצרה · בינונית

המספר a+ia+ia+i, כאשר a>0a>0a>0 מספר ממשי, הוא פתרון של המשוואה z3=wz^3=wz3=w (www מספר מרוכב). ידוע כי פתרון אחר של המשוואה הוא מספר מדומה טהור.

א.

מצאו את aaa.

ב.

מצאו את www, ורשמו בהצגה אלגברית את שני הפתרונות האחרים של המשוואה.

שאלה 6 · מספרים מרוכבים: מתי המשולש ישר-זווית ובאיזה רדיוסשאלה מלאה · קשה

נתונה המשוואה: z3=−1z3z^3=-\frac{1}{z^3}z3=−z31​, zzz הוא מספר מרוכב. המספר z0z_0z0​ הוא הפתרון של המשוואה שמיוצג על ידי נקודה ברביע הרביעי במישור גאוס.

א.

מצאו את המספר המרוכב z0z_0z0​.

ב.

הנקודות A, B ו-C מיוצגות במישור גאוס על ידי המספרים d⋅z0d\cdot z_0d⋅z0​, di⋅z0di\cdot z_0di⋅z0​ ו-d⋅(z0)md\cdot(z_0)^md⋅(z0​)m בהתאמה. d>0d>0d>0 הוא פרמטר, ו-mmm הוא מספר טבעי, 1<m<121<m<121<m<12.

מצאו את כל ערכי mmm שעבורם המשולש ABC הוא משולש ישר-זווית.

ג.

נגדיר: w=((z0)2−1(z0)2)(1−i)w=\left((z_0)^2-\frac{1}{(z_0)^2}\right)(1-i)w=((z0​)2−(z0​)21​)(1−i).

מצאו את ∣w∣|w|∣w∣ ואת הארגומנט של www.

ד.

מצאו את כל הערכים של ddd שעבורם המספר הטבעי הקטן ביותר nnn שעבורו wnw^nwn הוא מספר מדומה טהור ונמצא מחוץ למעגל החוסם את המשולש ABC הוא n=6n=6n=6.

שאלה 7 · שורשי היחידה מסדר 6: משולש במישור גאוס וחזקה מדומה טהורהשאלה מלאה · קלה

נתונה המשוואה z6=1z^6=1z6=1, zzz הוא מספר מרוכב. המספר z0z_0z0​ הוא הפתרון של המשוואה שמיוצג על ידי נקודה ברביע הראשון במישור גאוס.

א.

פתרו את המשוואה, ומצאו את z0z_0z0​.

ב.

הנקודות A, B ו-C מיוצגות במישור גאוס על ידי המספרים d⋅z0d\cdot z_0d⋅z0​, di⋅z0di\cdot z_0di⋅z0​ ו-d⋅(z0)4d\cdot(z_0)^4d⋅(z0​)4 בהתאמה. d>0d>0d>0 הוא פרמטר.

(1)

מצאו את הארגומנטים של שלושת המספרים, והראו כי AC הוא קוטר במעגל שמרכזו בראשית הצירים ורדיוסו ddd.

(2)

הראו כי שטח המשולש ABC הוא d2d^2d2. נתון כי שטח המשולש ABC הוא 2d+82d+82d+8. מצאו את הערך של ddd.

ג.

נגדיר: w=((z0)2−1(z0)2)(1+i)w=\left((z_0)^2-\frac{1}{(z_0)^2}\right)(1+i)w=((z0​)2−(z0​)21​)(1+i).

מצאו את ∣w∣|w|∣w∣ ואת הארגומנט של www.

ד.

(1)

מצאו את המספר הטבעי הקטן ביותר nnn שעבורו wnw^nwn הוא מספר מדומה טהור, ואת wnw^nwn עבורו.

(2)

קבעו אם הנקודה המייצגת את המספר שמצאתם בסעיף ד(1) נמצאת בתוך המעגל החוסם את המשולש ABC או מחוצה לו.

שאלה 8 · שורשים מסדר n של מספר מרוכבשאלה קצרה · בינונית

נתונה סדרה הנדסית z1,z2,z3,…z_1,z_2,z_3,\ldotsz1​,z2​,z3​,… שאיבריה מספרים מרוכבים ומנתה qqq. האיבר z1z_1z1​ נמצא ברביע הראשון של מישור גאוס. נתון: z3=(z1)3z_3=\left(z_1\right)^3z3​=(z1​)3 וגם z1⋅z2=−8z_1\cdot z_2=-8z1​⋅z2​=−8.

א.

מצאו את z1z_1z1​ ואת qqq.

ב.

רשמו את z4z_4z4​ בהצגה אלגברית.

שאלה 9 · מקום גאומטרי עם פרמטר ומשושים מסובביםשאלה מלאה · קשה

z=x+iyz=x+iyz=x+iy הוא מספר מרוכב (xxx ו-yyy הם מספרים ממשיים), ו-k≠−2k\neq-2k=−2 הוא פרמטר ממשי.

א.

מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור גאוס המקיימות ∣z2−ki∣=∣z2+2i∣|z^2-ki|=|z^2+2i|∣z2−ki∣=∣z2+2i∣. הביעו באמצעות kkk.

ב.

פתרו את המשוואה z6=−64z^6=-64z6=−64. הפתרונות מייצגים את קודקודיו של מצולע I.

ג.

מצאו לאילו ערכי kkk המקום הגאומטרי מסעיף א חותך ברביע הרביעי את המעגל החוסם את מצולע I.

ד.

מצאו את הערך של kkk שעבורו אחת מנקודות החיתוך ברביע הרביעי היא קודקוד של מצולע I. האם גם נקודת החיתוך השנייה ברביע הרביעי היא קודקוד של מצולע I?

ה.

עבור kkk שמצאתם בסעיף ד, נקודת החיתוך ברביע הרביעי שאינה קודקוד של מצולע I היא קודקוד של משושה משוכלל II החסום באותו מעגל.

מצאו את כל המספרים www שהכפל בהם מעביר את קודקודי מצולע I בדיוק על קודקודי מצולע II.

שאלה 10 · מקום גאומטרי של z², שורשי 16 וריבוע מסובבשאלה מלאה · קלה

z=x+iyz=x+iyz=x+iy הוא מספר מרוכב (xxx ו-yyy הם מספרים ממשיים).

א.

(1)

כתבו את z2z^2z2 בהצגה אלגברית.

(2)

הראו כי משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור גאוס המקיימות ∣z2+5∣=∣z2−1∣|z^2+5|=|z^2-1|∣z2+5∣=∣z2−1∣ היא y2−x2=2y^2-x^2=2y2−x2=2.

ב.

פתרו את המשוואה z4=16z^4=16z4=16.

ג.

פתרונות המשוואה שמצאתם בסעיף ב מייצגים את קודקודיו של ריבוע I, החסום במעגל שמרכזו בראשית ורדיוסו 2. המקום הגאומטרי מתת סעיף א(2) חותך את המעגל הזה ברביע הראשון בנקודה A.

מצאו את שיעורי הנקודה A.

ד.

(1)

כתבו את המספר המרוכב המייצג את A בהצגה קוטבית.

(2)

A היא קודקוד של ריבוע II החסום באותו מעגל. מצאו את המספרים המרוכבים המייצגים את כל הקודקודים של ריבוע II.

ה.

נסמן w=r⋅cisαw=r\cdot\text{cis}\alphaw=r⋅cisα, 0<α<90∘0<\alpha<90^\circ0<α<90∘. כופלים את כל המספרים המייצגים את קודקודי ריבוע I במספר www, ומתקבלים קודקודי ריבוע II.

הסבירו מדוע r=1r=1r=1, ומצאו את www.

עוד 49 שאלות על שורשים מסדר n של מספר מרוכב

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

מספרים מרוכבים: שורש ריבועי, מקומות גאומטריים מעגליים ושורשים מסדר שלישי (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה המשוואה: $(z-i)^2-3-4i=0$ , $z$ הוא מספר מרוכב.
שורשים מסדר 6: מציאת מרכז ההזזה משני פתרונות ידועים (שאלה מלאה · קשה)
נתונה משוואה I: $w^6=-64$ . נתונה משוואה II: $(z-c)^6=-64$ , כאשר $c$ הוא מספר מרוכב קבוע ו- $z$ מספר מרוכב.
שורשים מסדר 6 והזזה: מעגל, דלתון ויחס שטחים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה משוואה I: $w^6=-64$ , ונתונה משוואה II: $(z-i)^6=-64$ , כאשר $w$ ו- $z$ הם מספרים מרוכבים.
שורשים מסדר n של מספר מרוכב (שאלה קצרה · בינונית)
נתון המספר המרוכב $w=\sqrt6-\sqrt2i$ .
שורשים מסדר 6: כל המכנים שמשאירים ארבעה פתרונות וסיבוב (שאלה מלאה · קשה)
נתונה המשוואה $z^6+729i=0$ ( $z$ הוא מספר מרוכב).
שורשים מסדר 6 של מספר שלילי, מלבן ומכפלה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה המשוואה $z^6=-729$ ( $z$ הוא מספר מרוכב).
מספרים מרוכבים: שורשי יחידה מסדר 8, משולש וחזקה מדומה טהורה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה המשוואה: $z^4=\frac{1}{z^4}$ , $z$ הוא מספר מרוכב. נתון גם כי המספר $z_0$ הוא אחד מפתרונות המשוואה וכי הוא מיוצג על ידי נקודה ברביע…
מרוכבים: נקודה על המעגל בכיוון המרכז, סדרה מסתובבת ושטחי משולשים (שאלה מלאה · קשה)
$z=x+yi$ הוא מספר מרוכב ( $x$ ו- $y$ הם מספרים ממשיים).
מרוכבים: מעגל, ארגומנט משותף וסדרה הנדסית - צעד אחר צעד (שאלה מלאה · קלה)
$z=x+yi$ הוא מספר מרוכב ( $x$ ו- $y$ הם מספרים ממשיים).
מקום גאומטרי של z², שורשים מסדר שלישי ומשולש מסובב (שאלה מלאה · בינונית)
$z=x+iy$ הוא מספר מרוכב ( $x$ ו- $y$ הם מספרים ממשיים).
ריבוע מסובב כשורשים של zⁿ=b: זוויות, n וסימן b (שאלה מלאה · קשה)
נתונה המשוואה $z^2-2iz-2=0$ , ו- $z$ הוא משתנה מרוכב.
מספרים מרוכבים: שורשים ומשושה משוכלל (שאלה מלאה · קלה)
נתונים שני מספרים מרוכבים $z_1$ ו- $z_2$ שמכפלתם היא 17. $z_1=-4+i$ .
שורשים מסדר n של מספר מרוכב (שאלה קצרה · בינונית)
פתרונות המשוואה $z^4=-16$ מייצגים את קודקודיו של ריבוע I.
מספרים מרוכבים: תנאי עם חזקה כללית ומצולע בן 12 צלעות (שאלה מלאה · קשה)
נתונים שני מספרים מרוכבים $z_1$ ו- $z_2$ שמכפלתם היא $-21-12i$ . $z_1=3-2i$ . נתונה המשוואה $w^3=z_1+z_2$ , $w$ הוא משתנה מרוכב.
הופכי של מספר מרוכב ומתומן משוכלל (שאלה מלאה · קלה)
נתון המספר המרוכב $w=2(\cos135^\circ+i\sin135^\circ)$ .
שורשים מסדר 6 והזזה ממשית: מעגל, משושה ודלתון (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה משוואה I: $w^6=64$ , כאשר $w$ הוא מספר מרוכב.
שתי משוואות שורשים: מתי המצולע משוכלל (שאלה מלאה · קשה)
נתון המספר המרוכב $w=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ , $r>0$ , $0^\circ<\theta<180^\circ$ . נתונות שתי משוואות: I. $z^6=w^6$ II.…
שורשים מסדר 3, ישר דרך הראשית ושטח מרובע (מודרך) (שאלה מלאה · קלה)
נתונה המשוואה: $z^3=-27$ . $z$ הוא משתנה מרוכב.
שורשים מסדר n של מספר מרוכב (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה המשוואה $w^4=-4$ , ונתונה המשוואה $(z-1)^4=-4$ , כאשר $w$ ו- $z$ מספרים מרוכבים.
שורשים של מספר מדומה, ישר דרך הראשית ופרמטרים במישור גאוס (שאלה מלאה · קשה)
נתונה המשוואה: $z^3=64i$ . $z$ הוא משתנה מרוכב.
שורשים מסדר n של מספר מרוכב (שאלה קצרה · קלה)
נתונה המשוואה: $z^3=27i$ . $z$ הוא משתנה מרוכב.
שורשים מסדר 6, מלבן במישור גאוס וסיבוב: מכפלת הקודקודים (שאלה מלאה · בינונית)
מצאו את פתרונות המשוואה: $z^6+64=0$ ( $z$ הוא מספר מרוכב).
מספרים מרוכבים: שני פרמטרים משני תנאים, חזקות וחקירת חיתוך (שאלה מלאה · קשה)
נתונים שלושה מספרים מרוכבים: $z_1=r\cdot(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)$ ,…
מספרים מרוכבים בהצגה קוטבית: זווית, שורשים רביעיים ושטח משולש (שאלה מלאה · קלה)
נתונים שלושה מספרים מרוכבים: $z_1=r\cdot(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)$ ,…
שורשים מסדר n של מספר מרוכב (שאלה קצרה · בינונית)
$z$ הוא מספר מרוכב.
מספרים מרוכבים: יחס שטחים כפונקציה של r ו-θ ובעיה הפוכה (שאלה מלאה · קשה)
נתון מספר מרוכב $w=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ , $0^\circ<\theta<90^\circ$ , $r>0$ . מצולע I הוא המצולע שקודקודיו מיוצגים על ידי פתרונות המשוואה…
מספרים מרוכבים: פרבולה, הופכי, שורשים ויחס שטחים במספרים (שאלה מלאה · קלה)
נתון מספר מרוכב $w=r(\cos45^\circ+i\sin45^\circ)$ , $r>0$ .
מרוכבים: מעגל, ארגומנט משותף ושורשים מסדר שלישי (שאלה מלאה · בינונית)
$z=x+yi$ הוא מספר מרוכב ( $x$ ו- $y$ הם מספרים ממשיים).
החזקה הקטנה ביותר n כששני פתרונות של zⁿ=w ידועים (שאלה קצרה · קשה)
נתון כי המספרים $z_1=1+\sqrt{3}i$ ו- $z_2=-2i$ הם שני פתרונות של המשוואה $z^n=w$ , כאשר $n$ מספר טבעי ו- $w$ מספר מרוכב.
פתרון המשוואה z³=8 בהצגה קוטבית (שאלה קצרה · קלה)
$z$ הוא מספר מרוכב.
שורשים מסדר n של מספר מרוכב (שאלה קצרה · בינונית)
בסדרה הנדסית של מספרים מרוכבים $z_1,z_2,z_3,\ldots$ נתון: $z_1=1+i$ , $z_4=-2+2i$ .
השמטת שני פתרונות של z⁶=-729i: ערכי w, שטח ומכפלה (שאלת ביניים · קשה)
נתונה המשוואה $z^6+729i=0$ ( $z$ הוא מספר מרוכב).
מרוכבים: אנך אמצעי, משוואה ריבועית וריבוע מסובב כשורשים (שאלה מלאה · בינונית)
הביעו באמצעות $x$ ו- $y$ את משוואת המקום הגיאומטרי של כל הנקודות $z=x+iy$ במישור גאוס המקיימות $|z|=|z-(-3+3i)|$ .
מרוכבים: אנך אמצעי, משוואה ריבועית ומשולש שווה צלעות מסובב כשורשים (שאלה מלאה · בינונית)
הביעו באמצעות $x$ ו- $y$ את משוואת המקום הגיאומטרי של כל הנקודות $z=x+iy$ במישור גאוס המקיימות $|z|=|z-(-1+\sqrt3i)|$ .
מספרים מרוכבים: שורשים ממעלה שלישית ומשושה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונים שני מספרים מרוכבים $z_1$ ו- $z_2$ שמכפלתם היא $19+4i$ . $z_1=3+2i$ .
שורשים מסדר n של מספר מרוכב (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה המשוואה $w^4=-8+8\sqrt3i$ , $w$ הוא משתנה מרוכב.
מספרים מרוכבים: חילוק, שורשים מסדר 4, ישר דרך הראשית ושטח מצולע (שאלה מלאה · בינונית)
נתונים שני מספרים מרוכבים $z_1$ ו- $z_2$ , שהמנה שלהם היא $\frac{z_1}{z_2}=-3-2i$ . $z_1=-5+i$ .
מספר מרוכב והופכי שלו, מצולע משוכלל בן 12 צלעות (שאלה מלאה · בינונית)
נתון המספר המרוכב $w=r(\cos\theta+i\cdot\sin\theta)$ , $r>0$ , $270^\circ<\theta<360^\circ$ .
מספר מרוכב ו-i/w, שתי משוואות עם פתרונות משותפים ומתומן לא משוכלל (שאלה מלאה · בינונית)
נתון המספר המרוכב $w=r(\cos\theta+i\cdot\sin\theta)$ , $r>0$ , $45^\circ<\theta<135^\circ$ .
שורשים מסדר 4, נקודות על ישר דרך הראשית ושטח מרובע במישור גאוס (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה המשוואה: $z^4=-81$ . $z$ הוא משתנה מרוכב.
שורשים שלישיים של 2-2i, נקודות על ישר דרך הראשית, שטח מרובע ומשוואה עם צמוד והופכי (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה המשוואה: $z^3=2-2i$ . $z$ הוא משתנה מרוכב.
מספרים מרוכבים בהצגה קוטבית: פרמטרים, שורשים שלישיים ושטח דלתון (שאלה מלאה · בינונית)
נתונים שלושה מספרים מרוכבים: $z_1=r\cdot(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)$ ,…
שורשים מסדר n של מספר מרוכב (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה המשוואה $z^3=2\cdot(1+i)^2\cdot\left(\sqrt3+i\right)$ . $z$ הוא משתנה מרוכב.
מספרים מרוכבים בהצגה קוטבית: פרמטרים, שורשים מסדר 6 ושטח מרובע במישור גאוס (שאלה מלאה · בינונית)
נתונים שלושה מספרים מרוכבים: $z_1=r\cdot(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)$ , $z_2=\frac2r\cdot(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)$ ,…
מספרים מרוכבים: מקום גאומטרי פרבולה, שורשים, הופכי ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות $z=x+iy$ במישור גאוס המקיימות $|z-2|=\frac{z+\bar z}{2}+2$ הוא פרבולה, ומצאו את משוואתה.
שורשים מסדר n של מספר מרוכב (שאלה קצרה · בינונית)
נתון מספר מרוכב $w=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ , $0^\circ<\theta<90^\circ$ , $r>0$ . קודקודי משולש מיוצגים על ידי פתרונות המשוואה…
מספרים מרוכבים: פרבולה שמוקדה בראשית, שורשים, חזקה והופכי ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות $z=x+iy$ במישור גאוס המקיימות $|z|=\frac{z-\bar z}{2i}+4$ הוא פרבולה, ומצאו את משוואתה.
מספר מחילוק, ושורשים שלישיים של סכום מרוכב (שאלה קצרה · בינונית)
נתונים שני מספרים מרוכבים $z_1$ ו- $z_2$ שמכפלתם היא $-21-12i$ . $z_1=3-2i$ . נתונה המשוואה $w^3=z_1+z_2$ , $w$ הוא משתנה מרוכב.
פתרונות z⁴=-81, ונקודות על ישר דרך הראשית (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה המשוואה: $z^4=-81$ . $z$ הוא משתנה מרוכב.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

מספרים מרוכבים: שורש ריבועי, מקומות גאומטריים מעגליים ושורשים מסדר שלישי · בגרות 572 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 3
נתונה המשוואה: $(z+i)^2-2-2\sqrt{3}i=0$ , $z$ הוא מספר מרוכב.
מספרים מרוכבים: שורשי יחידה, משולש במישור גאוס וחזקה מדומה טהורה · בגרות 572 קיץ 2023 מועד א', שאלה 3
נתונה המשוואה: $z^3=\frac{1}{z^3}$ , $z$ הוא מספר מרוכב. נתון גם כי המספר $z_0$ הוא אחד מפתרונות המשוואה וכי הוא מיוצג על ידי נקודה ברביע הרביעי במישור גאוס.
מקום גאומטרי של z², שורשי היחידה ומצולע מסובב · בגרות 572 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 3
$z=x+iy$ הוא מספר מרוכב ( $x$ ו- $y$ הם מספרים ממשיים).
שורשים מסדר 6, הזזה במישור גאוס, משושה משוכלל ודלתון · בגרות 572 חורף 2023, שאלה 3
נתונה משוואה I: $w^6=-27$ , כאשר $w$ הוא מספר מרוכב.
שורשים מסדר 6, מלבן במישור גאוס וסיבוב: מכפלת הקודקודים · בגרות 572 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 3
מצאו את פתרונות המשוואה: $z^6+729i=0$ ( $z$ הוא מספר מרוכב).
מרוכבים: מעגל במישור גאוס, ארגומנט משותף וסדרה הנדסית מרוכבת · בגרות 572 חורף 2024, שאלה 3
$z=x+yi$ הוא מספר מרוכב ( $x$ ו- $y$ הם מספרים ממשיים).
מרוכבים: אנך אמצעי, משוואה ריבועית וריבוע מסובב כשורשים · בגרות 572 קיץ 2025 מועד א', שאלה 3
הביעו באמצעות $x$ ו- $y$ את משוואת המקום הגיאומטרי של כל הנקודות $z=x+iy$ במישור גאוס המקיימות $|z|=|z-(2+2i)|$ .
מספרים מרוכבים: שורשים, תנאי על ישר דרך הראשית ושטח מצולע · בגרות 572 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 3
נתונים שני מספרים מרוכבים $z_1$ ו- $z_2$ שמכפלתם היא $-19+4i$ . $z_1=2+3i$ .
מספר מרוכב והופכי שלו, שתי משוואות ומצולע משוכלל · בגרות 572 חורף 2025, שאלה 3
נתון המספר המרוכב $w=r(\cos\theta+i\cdot\sin\theta)$ , $r>0$ , $90^\circ<\theta<180^\circ$ .
שורשים מסדר 3, נקודות על ישר דרך הראשית, שטח מרובע ומשוואה עם צמוד והופכי · בגרות 572 קיץ 2026 מועד א', שאלה 3
נתונה המשוואה: $z^3=-64$ . $z$ הוא משתנה מרוכב.
מספרים מרוכבים בהצגה קוטבית: מציאת פרמטרים, שורשים ושטח מרובע במישור גאוס · בגרות 572 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 3
נתונים שלושה מספרים מרוכבים: $z_1=r\cdot(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)$ , $z_2=\frac1r\cdot\big(\cos(\alpha+90^\circ)+i\cdot\sin(\alpha+90^\circ)\big)$ ,…
מספרים מרוכבים: מקום גאומטרי פרבולה, שורשים, הופכי ויחס שטחים · בגרות 572 חורף 2026, שאלה 3
הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות $z=x+iy$ במישור גאוס המקיימות $|z-3i|=\frac{z-\bar z}{2i}+3$ הוא פרבולה, ומצאו את משוואתה.