דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

מבחן לדוגמה: שורשי היחידה כקודקודי מצולע משוכלל - כיתה י"ב 5 יח"ל

6 שאלות פתוחות על שורשי היחידה כקודקודי מצולע משוכלל (שורשים ומקומות גאומטריים במישור גאוס), מהקלה לקשה. המבחן מוכן להדפסה כמו שהוא, או לפתיחה במחולל לשינויים.

מבחן במתמטיקה - כיתה י"ב 5 יח"ל
שורשי היחידה כקודקודי מצולע משוכלל
6 שאלות · ענו על כל השאלות · הראו את דרך הפתרון
שם: ______________כיתה: ________תאריך: ________

שאלה 1 · הופכי של מספר מרוכב ומתומן משוכללשאלה מלאה · קלה

נתון המספר המרוכב w=2(cos⁡135∘+isin⁡135∘)w=2(\cos135^\circ+i\sin135^\circ).

א.

מצאו הצגה קוטבית של המספר 1w\frac1w.

ב.

הנקודה AA במישור גאוס מייצגת את המספר ww, והנקודה BB מייצגת את המספר 1w\frac1w. הנקודה OO היא ראשית הצירים.

מצאו את גודל הזווית AOBAOB ואת שטח המשולש AOBAOB.

ג.

נתונות שתי משוואות: I. z4=w4z^4=w^4 II. z4=(w⋅wˉ)2z^4=(w\cdot\bar w)^2. zz הוא מספר מרוכב.

(1)

פתרו את משוואה I.

(2)

פתרו את משוואה II.

נתון מצולע קמור שקודקודיו הם כל הנקודות המייצגות את הפתרונות של שתי המשוואות.

(3)

כמה קודקודים יש למצולע? הסבירו מדוע הוא מצולע משוכלל.

ד.

חשבו את שטח המצולע.

שאלה 2 · מקום גאומטרי של z², שורשי 16 וריבוע מסובבשאלה מלאה · קלה

z=x+iyz=x+iy הוא מספר מרוכב (xx ו-yy הם מספרים ממשיים).

א.
(1)

כתבו את z2z^2 בהצגה אלגברית.

(2)

הראו כי משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור גאוס המקיימות ∣z2+5∣=∣z2−1∣|z^2+5|=|z^2-1| היא y2−x2=2y^2-x^2=2.

ב.

פתרו את המשוואה z4=16z^4=16.

ג.

פתרונות המשוואה שמצאתם בסעיף ב מייצגים את קודקודיו של ריבוע I, החסום במעגל שמרכזו בראשית ורדיוסו 2. המקום הגאומטרי מתת סעיף א(2) חותך את המעגל הזה ברביע הראשון בנקודה A.

מצאו את שיעורי הנקודה A.

ד.
(1)

כתבו את המספר המרוכב המייצג את A בהצגה קוטבית.

(2)

A היא קודקוד של ריבוע II החסום באותו מעגל. מצאו את המספרים המרוכבים המייצגים את כל הקודקודים של ריבוע II.

ה.

נסמן w=r⋅cisαw=r\cdot\text{cis}\alpha, 0<α<90∘0<\alpha<90^\circ. כופלים את כל המספרים המייצגים את קודקודי ריבוע I במספר ww, ומתקבלים קודקודי ריבוע II.

הסבירו מדוע r=1r=1, ומצאו את ww.

שאלה 3 · שורשי היחידה כקודקודי מצולע משוכללשאלה קצרה · בינונית

נסמן ב-ω\omega את הפתרון של המשוואה zn=1z^n=1 (n≥3n\ge3 מספר טבעי) בעל הארגומנט החיובי הקטן ביותר. נתון: ∣1+ω∣=3|1+\omega|=\sqrt{3}.

א.

מצאו את nn.

ב.

חשבו את שטח המצולע המשוכלל שקודקודיו הם כל הפתרונות של המשוואה.

שאלה 4 · שורשי היחידה כקודקודי מצולע משוכללשאלה קצרה · בינונית

נתונה המשוואה w5=4wˉw^5=4\bar w, ww הוא מספר מרוכב השונה מ-0.

א.

מצאו את ∣w∣|w| ואת סכום כל הפתרונות של המשוואה.

ב.

הפתרונות מייצגים קודקודים של מצולע. מצאו את שטחו.

שאלה 5 · איחוד הפתרונות של z⁶=w⁶ ו-z⁶=(ww̄)³: מספר קודקודים, מצולע משוכלל ושטחשאלת ביניים · קשה

נתון המספר המרוכב w=r(cos⁡θ+isin⁡θ)w=r(\cos\theta+i\sin\theta), r>0r>0, 0∘<θ<180∘0^\circ<\theta<180^\circ. נתונות שתי משוואות: I. z6=w6z^6=w^6 II. z6=(w⋅wˉ)3z^6=(w\cdot\bar w)^3. PP הוא המצולע הקמור שקודקודיו הם כל הנקודות המייצגות את הפתרונות של שתי המשוואות. ידוע כי כל קודקודי PP נמצאים על המעגל ∣z∣=r|z|=r.

א.

חקרו: כמה קודקודים יש ל-PP? (התשובה תלויה ב-θ\theta.)

ב.

מצאו את כל ערכי θ\theta שעבורם PP הוא מצולע משוכלל בן 12 צלעות.

ג.

נתון כי ל-PP יש 12 קודקודים, PP הוא מצולע משוכלל, ושטחו 75.

מצאו את כל המספרים ww האפשריים.

שאלה 6 · מספרים מרוכבים: יחס שטחים כפונקציה של r ו-θ ובעיה הפוכהשאלה מלאה · קשה

נתון מספר מרוכב w=r(cos⁡θ+isin⁡θ)w=r(\cos\theta+i\sin\theta), 0∘<θ<90∘0^\circ<\theta<90^\circ, r>0r>0. מצולע I הוא המצולע שקודקודיו מיוצגים על ידי פתרונות המשוואה z4=1r4(cos⁡4θ+isin⁡4θ)z^4=\frac{1}{r^4}(\cos4\theta+i\sin4\theta), ומצולע II הוא המצולע שקודקודיו מיוצגים על ידי המספרים ww, 1w\frac1w, −w-w, −1w-\frac1w.

א.

הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות z=x+iyz=x+iy במישור גאוס המקיימות ∣z−2i∣=z−zˉ2i+2|z-2i|=\frac{z-\bar z}{2i}+2 הוא פרבולה, ומצאו את משוואתה.

ב.

הביעו באמצעות rr ו-θ\theta הצגה קוטבית של הקודקודים של מצולע I ושל מצולע II.

ג.

הביעו באמצעות rr ו-θ\theta את היחס בין שטח מצולע II ובין שטח מצולע I.

ד.

נתון כי הנקודה המייצגת את ww נמצאת על המקום הגאומטרי שמצאתם בסעיף א, וכי היחס בין שטח מצולע II ובין שטח מצולע I הוא 54.

מצאו את ww בהצגה אלגברית, וקבעו אם מצולע II הוא מעוין.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.