שאלות פתוחות: שורשי היחידה כקודקודי מצולע משוכלל - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על שורשי היחידה כקודקודי מצולע משוכלל, לכיתה י"ב, 5 יחידות. יש כאן מצולעים שקודקודיהם הם פתרונות של z⁸=1 ו-z¹²=1, השוואה בין שני מצולעים כאלה, מציאת n לפי אורך האלכסון הארוך, ושורש יחידה ω שבו נתון ערך מוחלט של 1+ω. רוב השאלות ברמה בינונית, ויש גם קלות וקשות. אפשר לבחור מהן לבוחן או למבחן, וכל שאלה מגיעה עם פתרון מלא וייצוא לוורד.

45 שאלותקלה: 8בינונית: 28קשה: 9

שאלה 1 · שורשי היחידה כקודקודי מצולע משוכללשאלה קצרה · קלה

במישור גאוס מציירים שני מצולעים משוכללים: מצולע I שקודקודיו הם כל הפתרונות של z12=1z^{12}=1z12=1, ומצולע II שקודקודיו הם כל הפתרונות של z8=1z^8=1z8=1.

א.

מצאו את כל הקודקודים המשותפים לשני המצולעים, ורשמו אותם בהצגה אלגברית.

ב.

הקודקודים המשותפים הם קודקודים של מרובע. חשבו את שטחו.

שאלה 2 · שורשי היחידה כקודקודי מצולע משוכללשאלה קצרה · בינונית

קודקודיו של מצולע משוכלל במישור גאוס הם כל הפתרונות של המשוואה zn=1z^n=1zn=1, כאשר nnn מספר זוגי, n≥6n\ge6n≥6. ידוע כי האלכסון הארוך ביותר של המצולע ארוך פי 222 מהאלכסון הקצר ביותר שלו.

א.

מצאו את nnn.

ב.

מצאו את אורך הצלע של המצולע.

שאלה 3 · סדרה הנדסית של מספרים מרוכבים: מיון איברים וסכומים חלקייםשאלה מלאה · קשה

נתונה סדרה הנדסית: z1,z2,z3,…z_1, z_2, z_3, \ldotsz1​,z2​,z3​,… שאיבריה הם מספרים מרוכבים ומנתה היא qqq. z1z_1z1​ נמצא ברביע הראשון. נתון: (z1)3=z3(z_1)^3=z_3(z1​)3=z3​, z3‾=−3z1\overline{z_3}=-3z_1z3​​=−3z1​.

א.

הוכיחו כי: q=z1q=z_1q=z1​ או q=−z1q=-z_1q=−z1​.

ב.

מצאו את z1z_1z1​.

בסעיפים ג-ה: q=z1q=z_1q=z1​.

ג.

מצאו את כל המספרים הטבעיים mmm שעבורם zmz_mzm​ ממשי, ואת כל המספרים הטבעיים mmm שעבורם zmz_mzm​ מדומה.

ד.

נסמן wm=zm(3)mw_m=\frac{z_m}{(\sqrt3)^m}wm​=(3​)mzm​​, ו-SN=w1+w2+…+wNS_N=w_1+w_2+\ldots+w_NSN​=w1​+w2​+…+wN​.

מצאו את כל הערכים של NNN שעבורם SN=0S_N=0SN​=0.

ה.

מצאו את הערך הגדול ביותר של ∣SN∣|S_N|∣SN​∣, ואת כל ה-NNN שעבורם הוא מתקבל.

שאלה 4 · שורשי היחידה כקודקודי מצולע משוכללשאלה קצרה · קלה

במישור גאוס מצויר המצולע המשוכלל שקודקודיו הם כל הפתרונות של המשוואה z8=1z^8=1z8=1.
OReIm

א.

רשמו בהצגה קוטבית את כל קודקודי המצולע.

ב.

חשבו את שטח המצולע.

שאלה 5 · שורשי היחידה כקודקודי מצולע משוכללשאלה קצרה · בינונית

נתון המצולע המשוכלל שקודקודיו הם כל הפתרונות של המשוואה z12=1z^{12}=1z12=1.

א.

מצאו את כל קודקודי המצולע שהם גם פתרונות של המשוואה z9=−iz^9=-iz9=−i, ורשמו אותם בהצגה קוטבית.

ב.

חשבו את שטח המשולש שקודקודיו הן הנקודות שמצאתם בסעיף א'.

שאלה 6 · מקום גאומטרי עם פרמטר ומשושים מסובביםשאלה מלאה · קשה

z=x+iyz=x+iyz=x+iy הוא מספר מרוכב (xxx ו-yyy הם מספרים ממשיים), ו-k≠−2k\neq-2k=−2 הוא פרמטר ממשי.

א.

מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור גאוס המקיימות ∣z2−ki∣=∣z2+2i∣|z^2-ki|=|z^2+2i|∣z2−ki∣=∣z2+2i∣. הביעו באמצעות kkk.

ב.

פתרו את המשוואה z6=−64z^6=-64z6=−64. הפתרונות מייצגים את קודקודיו של מצולע I.

ג.

מצאו לאילו ערכי kkk המקום הגאומטרי מסעיף א חותך ברביע הרביעי את המעגל החוסם את מצולע I.

ד.

מצאו את הערך של kkk שעבורו אחת מנקודות החיתוך ברביע הרביעי היא קודקוד של מצולע I. האם גם נקודת החיתוך השנייה ברביע הרביעי היא קודקוד של מצולע I?

ה.

עבור kkk שמצאתם בסעיף ד, נקודת החיתוך ברביע הרביעי שאינה קודקוד של מצולע I היא קודקוד של משושה משוכלל II החסום באותו מעגל.

מצאו את כל המספרים www שהכפל בהם מעביר את קודקודי מצולע I בדיוק על קודקודי מצולע II.

שאלה 7 · סדרה הנדסית של מספרים מרוכבים: צמוד, דה-מואבר וסכוםשאלה מלאה · קלה

נתונה סדרה הנדסית: z1,z2,z3,…z_1, z_2, z_3, \ldotsz1​,z2​,z3​,… שאיבריה הם מספרים מרוכבים ומנתה היא qqq. z1z_1z1​ נמצא ברביע הראשון. נתון: (z1)3=z3(z_1)^3=z_3(z1​)3=z3​, z3‾=−4z1\overline{z_3}=-4z_1z3​​=−4z1​.

א.

הוכיחו כי: q=z1q=z_1q=z1​ או q=−z1q=-z_1q=−z1​.

ב.

(1)

הראו כי ∣z1∣=2|z_1|=2∣z1​∣=2.

(2)

מצאו את z1z_1z1​ בהצגה קוטבית ובהצגה אלגברית.

בסעיפים ג-ד: q=z1q=z_1q=z1​.

ג.

(1)

הראו כי zm=2mcis(45∘m)z_m=2^m\text{cis}(45^\circ m)zm​=2mcis(45∘m).

(2)

קבעו אם z6z_6z6​ ואם z8z_8z8​ ממשיים או מדומים. נמקו.

ד.

הראו כי המספרים z12,z222,…,z828\frac{z_1}{2}, \frac{z_2}{2^2}, \ldots, \frac{z_8}{2^8}2z1​​,22z2​​,…,28z8​​ הם איברים של סדרה הנדסית, ומצאו את סכומם.

שאלה 8 · שורשי היחידה כקודקודי מצולע משוכללשאלה קצרה · בינונית

נסמן ב-ω\omegaω את הפתרון של המשוואה zn=1z^n=1zn=1 (n≥3n\ge3n≥3 מספר טבעי) בעל הארגומנט החיובי הקטן ביותר. נתון: ∣1+ω∣=3|1+\omega|=\sqrt{3}∣1+ω∣=3​.

א.

מצאו את nnn.

ב.

חשבו את שטח המצולע המשוכלל שקודקודיו הם כל הפתרונות של המשוואה.

שאלה 9 · שורשים מסדר 6: מציאת מרכז ההזזה משני פתרונות ידועיםשאלה מלאה · קשה

נתונה משוואה I: w6=−64w^6=-64w6=−64. נתונה משוואה II: (z−c)6=−64(z-c)^6=-64(z−c)6=−64, כאשר ccc הוא מספר מרוכב קבוע ו-zzz מספר מרוכב.

א.

פתרו את משוואה I, ורשמו את הפתרונות בהצגה אלגברית.

ב.

(1)

הסבירו מדוע לכל ccc הפתרונות של משוואה II מייצגים קודקודים של משושה משוכלל, ומצאו את מרכז המשושה ואת אורך צלעו.

(2)

ידוע כי z=0z=0z=0 ו-z=23z=2\sqrt3z=23​ הם פתרונות של משוואה II. מצאו את כל הערכים האפשריים של ccc.

ג.

(1)

הציבו את הערך של ccc שהחלק המדומה שלו חיובי. רשמו בהצגה אלגברית את כל הפתרונות של משוואה II, ומצאו את משוואת המעגל שעליו הם נמצאים.

(2)

הפתרונות של משוואה II שהנקודות המייצגות אותם נמצאות על צירי מישור גאוס הם קודקודים של משולש. מצאו את היחס בין שטח המשושה ובין שטח המשולש.

שאלה 10 · מקום גאומטרי של z², שורשי 16 וריבוע מסובבשאלה מלאה · קלה

z=x+iyz=x+iyz=x+iy הוא מספר מרוכב (xxx ו-yyy הם מספרים ממשיים).

א.

(1)

כתבו את z2z^2z2 בהצגה אלגברית.

(2)

הראו כי משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור גאוס המקיימות ∣z2+5∣=∣z2−1∣|z^2+5|=|z^2-1|∣z2+5∣=∣z2−1∣ היא y2−x2=2y^2-x^2=2y2−x2=2.

ב.

פתרו את המשוואה z4=16z^4=16z4=16.

ג.

פתרונות המשוואה שמצאתם בסעיף ב מייצגים את קודקודיו של ריבוע I, החסום במעגל שמרכזו בראשית ורדיוסו 2. המקום הגאומטרי מתת סעיף א(2) חותך את המעגל הזה ברביע הראשון בנקודה A.

מצאו את שיעורי הנקודה A.

ד.

(1)

כתבו את המספר המרוכב המייצג את A בהצגה קוטבית.

(2)

A היא קודקוד של ריבוע II החסום באותו מעגל. מצאו את המספרים המרוכבים המייצגים את כל הקודקודים של ריבוע II.

ה.

נסמן w=r⋅cisαw=r\cdot\text{cis}\alphaw=r⋅cisα, 0<α<90∘0<\alpha<90^\circ0<α<90∘. כופלים את כל המספרים המייצגים את קודקודי ריבוע I במספר www, ומתקבלים קודקודי ריבוע II.

הסבירו מדוע r=1r=1r=1, ומצאו את www.

עוד 28 שאלות על שורשי היחידה כקודקודי מצולע משוכלל

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

סדרה הנדסית של מספרים מרוכבים: צמוד, איברים ממשיים ומדומים וסכום (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה סדרה הנדסית: $z_1, z_2, z_3, \ldots$ שאיבריה הם מספרים מרוכבים ומנתה היא $q$ . $z_1$ נמצא ברביע השני. נתון: $z_3=-(z_1)^3$ ,…
מעוין, הופכיים ומצולע משוכלל כללי (שאלה מלאה · קשה)
במעוין ABCD הקודקוד A נמצא ברביע הראשון, והקודקוד B נמצא ברביע השני במישור גאוס. אלכסוני המעוין נפגשים בראשית הצירים. המספר המרוכב…
שורשים מסדר 6 והזזה: מעגל, דלתון ויחס שטחים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה משוואה I: $w^6=-64$ , ונתונה משוואה II: $(z-i)^6=-64$ , כאשר $w$ ו- $z$ הם מספרים מרוכבים.
שורשי היחידה כקודקודי מצולע משוכלל (שאלה קצרה · בינונית)
נתון המספר $w=\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i$ .
ריבוע מסובב כשורשים של zⁿ=b: זוויות, n וסימן b (שאלה מלאה · קשה)
נתונה המשוואה $z^2-2iz-2=0$ , ו- $z$ הוא משתנה מרוכב.
מרוכבים: ריבוע במישור גאוס, סיבוב ושורשים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה המשוואה $z^2+(-2+2i)z-4i=0$ , ו- $z$ הוא משתנה מרוכב.
מקום גאומטרי של z², שורשים מסדר שלישי ומשולש מסובב (שאלה מלאה · בינונית)
$z=x+iy$ הוא מספר מרוכב ( $x$ ו- $y$ הם מספרים ממשיים).
שתי משוואות שורשים: מתי המצולע משוכלל (שאלה מלאה · קשה)
נתון המספר המרוכב $w=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ , $r>0$ , $0^\circ<\theta<180^\circ$ . נתונות שתי משוואות: I. $z^6=w^6$ II.…
הופכי של מספר מרוכב ומתומן משוכלל (שאלה מלאה · קלה)
נתון המספר המרוכב $w=2(\cos135^\circ+i\sin135^\circ)$ .
שורשים מסדר 6 והזזה ממשית: מעגל, משושה ודלתון (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה משוואה I: $w^6=64$ , כאשר $w$ הוא מספר מרוכב.
מספרים מרוכבים: יחס שטחים כפונקציה של r ו-θ ובעיה הפוכה (שאלה מלאה · קשה)
נתון מספר מרוכב $w=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ , $0^\circ<\theta<90^\circ$ , $r>0$ . מצולע I הוא המצולע שקודקודיו מיוצגים על ידי פתרונות המשוואה…
מספרים מרוכבים: פרבולה, הופכי, שורשים ויחס שטחים במספרים (שאלה מלאה · קלה)
נתון מספר מרוכב $w=r(\cos45^\circ+i\sin45^\circ)$ , $r>0$ .
שורשי היחידה כקודקודי מצולע משוכלל (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה המשוואה $\left(z+\frac32\right)^6=729$ , כאשר $z$ מספר מרוכב.
מספר הצלעות מיחס בין האלכסון הארוך לקצר (שאלה קצרה · קשה)
קודקודיו של מצולע משוכלל במישור גאוס הם כל הפתרונות של המשוואה $z^n=1$ , כאשר $n$ מספר זוגי, $n\ge6$ . ידוע כי האלכסון הארוך ביותר של המצולע…
מעוין במישור גאוס, מספרים הופכיים ושורשי משוואה (שאלה מלאה · בינונית)
במעוין ABCD הקודקוד A נמצא ברביע הראשון, והקודקוד B נמצא ברביע השני במישור גאוס. אלכסוני המעוין נפגשים בראשית הצירים. המספר המרוכב $z$ מייצג…
איחוד הפתרונות של z⁶=w⁶ ו-z⁶=(ww̄)³: מספר קודקודים, מצולע משוכלל ושטח (שאלת ביניים · קשה)
נתון המספר המרוכב $w=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ , $r>0$ , $0^\circ<\theta<180^\circ$ . נתונות שתי משוואות: I. $z^6=w^6$ II.…
שורשי היחידה כקודקודי מצולע משוכלל (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה המשוואה $w^5=4\bar w$ , $w$ הוא מספר מרוכב השונה מ-0.
מרוכבים: אנך אמצעי, משוואה ריבועית וריבוע מסובב כשורשים (שאלה מלאה · בינונית)
הביעו באמצעות $x$ ו- $y$ את משוואת המקום הגיאומטרי של כל הנקודות $z=x+iy$ במישור גאוס המקיימות $|z|=|z-(-3+3i)|$ .
שורשי היחידה כקודקודי מצולע משוכלל (שאלה קצרה · בינונית)
נתון משולש שווה צלעות שמרכזו בראשית הצירים, ואחד מקודקודיו מיוצג על ידי $z=2i$ .
מרוכבים: אנך אמצעי, משוואה ריבועית ומשולש שווה צלעות מסובב כשורשים (שאלה מלאה · בינונית)
הביעו באמצעות $x$ ו- $y$ את משוואת המקום הגיאומטרי של כל הנקודות $z=x+iy$ במישור גאוס המקיימות $|z|=|z-(-1+\sqrt3i)|$ .
מספר מרוכב והופכי שלו, מצולע משוכלל בן 12 צלעות (שאלה מלאה · בינונית)
נתון המספר המרוכב $w=r(\cos\theta+i\cdot\sin\theta)$ , $r>0$ , $270^\circ<\theta<360^\circ$ .
שורשי היחידה כקודקודי מצולע משוכלל (שאלה קצרה · בינונית)
נתון $w=2\,cis40^\circ$ . נתונות שתי משוואות: I. $z^4=w^4$ II. $z^4=16$ . נתון מצולע קמור שקודקודיו הם כל הנקודות המייצגות את הפתרונות של שתי…
מספר מרוכב ו-i/w, שתי משוואות עם פתרונות משותפים ומתומן לא משוכלל (שאלה מלאה · בינונית)
נתון המספר המרוכב $w=r(\cos\theta+i\cdot\sin\theta)$ , $r>0$ , $45^\circ<\theta<135^\circ$ .
מספרים מרוכבים: מקום גאומטרי פרבולה, שורשים, הופכי ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות $z=x+iy$ במישור גאוס המקיימות $|z-2|=\frac{z+\bar z}{2}+2$ הוא פרבולה, ומצאו את משוואתה.
שורשי היחידה כקודקודי מצולע משוכלל (שאלה קצרה · בינונית)
קודקודי מצולע מיוצגים על ידי פתרונות המשוואה $z^6=64i$ .
מספרים מרוכבים: פרבולה שמוקדה בראשית, שורשים, חזקה והופכי ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות $z=x+iy$ במישור גאוס המקיימות $|z|=\frac{z-\bar z}{2i}+4$ הוא פרבולה, ומצאו את משוואתה.
המשוואה w⁵=w̄: מודול 1 ושורשי היחידה (שאלה קצרה · בינונית)
$w$ הוא מספר מרוכב השונה מ-0.
ריבוע שקודקודיו פתרונות z⁴=16, וסיבוב שנותן z⁸=b (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה המשוואה $z^2+(-2+2i)z-4i=0$ , ו- $z$ הוא משתנה מרוכב. פתרונות המשוואה הם $z=2$ ו- $z=-2i$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

סדרה הנדסית של מספרים מרוכבים: צמוד, איברים ממשיים ומדומים וסכום · בגרות 572 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 3
נתונה סדרה הנדסית: $z_1, z_2, z_3, \ldots$ שאיבריה הם מספרים מרוכבים ומנתה היא $q$ . $z_1$ נמצא ברביע הראשון. נתון: $(z_1)^3=z_3$ , $-2z_1=\overline{z_3}$ .
מקום גאומטרי של z², שורשי היחידה ומצולע מסובב · בגרות 572 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 3
$z=x+iy$ הוא מספר מרוכב ( $x$ ו- $y$ הם מספרים ממשיים).
שורשים מסדר 6, הזזה במישור גאוס, משושה משוכלל ודלתון · בגרות 572 חורף 2023, שאלה 3
נתונה משוואה I: $w^6=-27$ , כאשר $w$ הוא מספר מרוכב.
מעוין במישור גאוס, מספרים הופכיים ושורשי יחידה · בגרות 572 קיץ 2024 מועד א', שאלה 3
במעוין ABCD הקודקוד A נמצא ברביע הראשון, והקודקוד B נמצא ברביע השני במישור גאוס. אלכסוני המעוין נפגשים בראשית הצירים. המספר המרוכב $z$ מייצג את הקודקוד A. נתון:…
מרוכבים: אנך אמצעי, משוואה ריבועית וריבוע מסובב כשורשים · בגרות 572 קיץ 2025 מועד א', שאלה 3
הביעו באמצעות $x$ ו- $y$ את משוואת המקום הגיאומטרי של כל הנקודות $z=x+iy$ במישור גאוס המקיימות $|z|=|z-(2+2i)|$ .
מספר מרוכב והופכי שלו, שתי משוואות ומצולע משוכלל · בגרות 572 חורף 2025, שאלה 3
נתון המספר המרוכב $w=r(\cos\theta+i\cdot\sin\theta)$ , $r>0$ , $90^\circ<\theta<180^\circ$ .
מספרים מרוכבים: מקום גאומטרי פרבולה, שורשים, הופכי ויחס שטחים · בגרות 572 חורף 2026, שאלה 3
הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות $z=x+iy$ במישור גאוס המקיימות $|z-3i|=\frac{z-\bar z}{2i}+3$ הוא פרבולה, ומצאו את משוואתה.