מבחן לדוגמה: מקומות גאומטריים: מעגל - כיתה י"ב 5 יח"ל

מבחן במתמטיקה - כיתה י"ב 5 יח"ל

מקומות גאומטריים: מעגל

6 שאלות · ענו על כל השאלות · הראו את דרך הפתרון

שם: ______________כיתה: ________תאריך: ________

שאלה 1 · משוואה עם z ו-z̄ כמעגל: מרכז ורדיוסשאלה קצרה · קלה

z=x+iyz=x+iyz=x+iy הוא מספר מרוכב (xxx ו-yyy ממשיים). נתון כי zzz מקיים את המשוואה: zzˉ−(2−3i)z−(2+3i)zˉ−12=0z\bar{z}-(2-3i)z-(2+3i)\bar{z}-12=0zzˉ−(2−3i)z−(2+3i)zˉ−12=0.

הראו כי המקום הגאומטרי של הנקודות המייצגות את zzz במישור גאוס הוא מעגל, ומצאו את מרכזו ואת רדיוסו.

שאלה 2 · מספרים מרוכבים: שורש ריבועי, שני מעגלים וחיתוך עם ישרשאלה מלאה · קלה

נתונה המשוואה: z2=−3+4iz^2=-3+4iz2=−3+4i, zzz הוא מספר מרוכב.

א.

פתרו את המשוואה.

ב.

נסמן את החלקים הממשיים של פתרונות המשוואה ב-a1a_1a1​ וב-a2a_2a2​ כך ש-a1<a2a_1<a_2a1​<a2​.
נתונים שני מקומות גאומטריים:
I. ∣z−ia1∣=1|z-ia_1|=1∣z−ia1​∣=1
II. ∣z−ia2∣=1|z-ia_2|=1∣z−ia2​∣=1

מצאו את המרכז ואת הרדיוס של כל אחד מהמקומות הגאומטריים, וסרטטו את שניהם באותה מערכת צירים.

ג.

מצאו את המספרים המרוכבים שמייצגים את נקודות החיתוך של הישר y=xy=xy=x עם כל אחד מהמקומות הגאומטריים.

ד.

נסמן ב-w1w_1w1​ וב-w2w_2w2​ את שני המספרים שמצאתם בסעיף ג ששונים מ-0.

חשבו את w1⋅w1‾w_1\cdot\overline{w_1}w1​⋅w1​​ ואת w2⋅w2‾w_2\cdot\overline{w_2}w2​⋅w2​​, ופתרו את המשוואה z3=w1⋅w1‾⋅w2⋅w2‾z^3=w_1\cdot\overline{w_1}\cdot w_2\cdot\overline{w_2}z3=w1​⋅w1​​⋅w2​⋅w2​​.

שאלה 3 · מספרים מרוכבים בהצגה קוטבית: פרמטרים, שורשים שלישיים ושטח דלתוןשאלה מלאה · בינונית

נתונים שלושה מספרים מרוכבים: z1=r⋅(cos⁡α+i⋅sin⁡α)z_1=r\cdot(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)z1​=r⋅(cosα+i⋅sinα), z2=1r⋅(cos⁡(α+90∘)+i⋅sin⁡(α+90∘))z_2=\frac1r\cdot\big(\cos(\alpha+90^\circ)+i\cdot\sin(\alpha+90^\circ)\big)z2​=r1​⋅(cos(α+90∘)+i⋅sin(α+90∘)), w=z1⋅z2+z1z2w=z_1\cdot z_2+\frac{z_1}{z_2}w=z1​⋅z2​+z2​z1​​. r>0r>0r>0, 90∘<α<180∘90^\circ<\alpha<180^\circ90∘<α<180∘.

א.

הנקודה A מייצגת את המספר www במישור גאוס. נתון כי שיעור ה-xxx של הנקודה A הוא 111.

מצאו את הערך של α\alphaα.

ב.

נתון כי הנקודה A נמצאת על הישר y=−1y=-1y=−1.

מצאו את הערך של rrr.

ג.

נתונה המשוואה z3=4⋅(z1⋅w)2z^3=4\cdot(z_1\cdot w)^2z3=4⋅(z1​⋅w)2. zzz הוא משתנה מרוכב.

מצאו את שלושת הפתרונות של המשוואה.

ד.

הנקודה O היא ראשית הצירים. כל אחת מן הנקודות B ו-C מייצגת פתרון אחד מבין הפתרונות שמצאתם בסעיף ג. הנקודה B נמצאת ברביע הראשון והנקודה C נמצאת ברביע הרביעי. המקום הגאומטרי של כל הנקודות z=x+i⋅yz=x+i\cdot yz=x+i⋅y במישור גאוס המקיימות ∣z∣=b|z|=b∣z∣=b חותך את החלק החיובי של ציר ה-xxx בנקודה K. bbb הוא מספר ממשי חיובי. נתון כי שטח המרובע CKBO הוא 333\sqrt333​.

מצאו את הערך של bbb.

שאלה 4 · שורשים מסדר 6 והזזה ממשית: מעגל, משושה ודלתוןשאלה מלאה · בינונית

נתונה משוואה I: w6=64w^6=64w6=64, כאשר www הוא מספר מרוכב.

א.

פתרו את משוואה I.

ב.

נתונה משוואה II: (z−1)6=64(z-1)^6=64(z−1)6=64, כאשר zzz הוא מספר מרוכב.

(1)

היעזרו בפתרונות של משוואה I ורשמו בהצגה אלגברית את הפתרונות של משוואה II.

(2)

הסבירו מדוע הנקודות במישור גאוס, המייצגות את הפתרונות של משוואה II, נמצאות על מעגל – ומצאו את משוואתו.

(3)

הוכיחו כי כל הפתרונות של משוואה II מייצגים קודקודים של משושה משוכלל במישור גאוס.

ג.

נתון: שני הפתרונות המדומים ושני הפתרונות הממשיים של משוואה II מייצגים קודקודים של מרובע במישור גאוס.

(1)

מהו סוג המרובע שהתקבל? נמקו את תשובתכם.

(2)

מצאו את היחס בין שטח המשושה ובין שטח המרובע.

שאלה 5 · מקומות גאומטריים: מעגלשאלה קצרה · קשה

לכל מספר ממשי ttt מגדירים את המספר המרוכב z=1+ti1−tiz=\dfrac{1+ti}{1-ti}z=1−ti1+ti​.

א.

הראו כי לכל ttt ממשי הנקודה המייצגת את zzz במישור גאוס נמצאת על מעגל היחידה.

ב.

האם כל נקודה על מעגל היחידה מתקבלת כ-zzz עבור ערך כלשהו של ttt? אם כן - נמקו. אם לא - מצאו את כל הנקודות על מעגל היחידה שאינן מתקבלות, ונמקו.

שאלה 6 · מעגל מתוך משוואת ערך מוחלט, נקודה באותו ארגומנט ומנת סדרה הנדסיתשאלת ביניים · קשה

z=x+yiz=x+yiz=x+yi הוא מספר מרוכב (xxx ו-yyy הם מספרים ממשיים).

א.

הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות (x,y)(x,y)(x,y) במישור גאוס המקיימות: ∣−8−zˉ−6i∣2−∣3i∣=∣5−12i∣|-8-\bar z-6i|^2-|3i|=|5-12i|∣−8−zˉ−6i∣2−∣3i∣=∣5−12i∣ הוא מעגל.

ב.

הנקודה MMM היא מרכז המעגל המתואר בסעיף א. המספרים המרוכבים zAz_AzA​ ו-zMz_MzM​ מייצגים את הנקודות AAA ו-MMM, בהתאמה. נתון: למספרים zAz_AzA​ ו-zMz_MzM​ יש אותו ארגומנט (זווית), 2∣zA∣=∣zM∣2|z_A|=|z_M|2∣zA​∣=∣zM​∣.

מצאו את שיעורי הנקודה AAA.

ג.

נתונה סדרה הנדסית: z1,z2,z3,…z_1,z_2,z_3,\ldotsz1​,z2​,z3​,…. האיבר הראשון בסדרה מייצג את הנקודה AAA, והאיבר הרביעי בסדרה מייצג את הנקודה MMM.

מצאו את מנת הסדרה (כל האפשרויות).

שאלה 1 · משוואה עם z ו-z̄ כמעגל: מרכז ורדיוסשאלה קצרה · קלה

שאלה 2 · מספרים מרוכבים: שורש ריבועי, שני מעגלים וחיתוך עם ישרשאלה מלאה · קלה

שאלה 3 · מספרים מרוכבים בהצגה קוטבית: פרמטרים, שורשים שלישיים ושטח דלתוןשאלה מלאה · בינונית

שאלה 4 · שורשים מסדר 6 והזזה ממשית: מעגל, משושה ודלתוןשאלה מלאה · בינונית

שאלה 5 · מקומות גאומטריים: מעגלשאלה קצרה · קשה

שאלה 6 · מעגל מתוך משוואת ערך מוחלט, נקודה באותו ארגומנט ומנת סדרה הנדסיתשאלת ביניים · קשה

רוצים להשלים את חוויית הלמידה?

כל האתר במבט אחד