שאלות פתוחות: מקומות גאומטריים: מעגל - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על מקומות גאומטריים שהם מעגל במישור גאוס, לכיתה י"ב, 5 יחידות. השאלות כוללות שני מעגלים שאחד מהם תלוי בפרמטר ומצבם ההדדי, מעגל מישר שחותך אותו, משוואה עם z וצמודו שמתארת מעגל, ומקום הנקודות של מספר שמוגדר כמנה של שני ביטויים עם z או עם פרמטר t. רוב השאלות ברמה בינונית, ויש גם קלות וקשות. מתאים לבוחן, למבחן או לדף עבודה, עם פתרון מלא לכל שאלה וייצוא לוורד.

34 שאלותקלה: 5בינונית: 22קשה: 7

שאלה 1 · מספרים צמודים וחזקות בדה-מואבר: שלבים מודרכיםשאלה מלאה · קלה

נתונים שני מספרים מרוכבים: z1=(a−3)+(a−1)iz_1=(a-3)+(a-1)iz1​=(a−3)+(a−1)i, z2=(1−a)+(3−2a)iz_2=(1-a)+(3-2a)iz2​=(1−a)+(3−2a)i. aaa הוא פרמטר ממשי.

א.

מצאו את הערך של aaa שבעבורו z1z_1z1​ ו-z2z_2z2​ צמודים זה לזה.

ב.

כתבו את z1z_1z1​ ואת z2z_2z2​ בהצגה קוטבית.

ג.

הציבו a=2a=2a=2. נתונים המספרים w1=(z12)4nw_1=\left(\frac{z_1}{\sqrt2}\right)^{4n}w1​=(2​z1​​)4n ו-w2=(z22)4n+2w_2=\left(\frac{z_2}{\sqrt2}\right)^{4n+2}w2​=(2​z2​​)4n+2, כאשר nnn מספר טבעי.

(1)

הראו כי (z12)4=−1\left(\frac{z_1}{\sqrt2}\right)^4=-1(2​z1​​)4=−1, והסיקו כי w1w_1w1​ הוא מספר ממשי לכל nnn טבעי.

(2)

הראו כי w2w_2w2​ הוא מספר מדומה טהור לכל nnn טבעי.

ד.

מצאו את ppp ואת mmm הממשיים שבעבורם המשוואה ∣z−p∣=m|z-p|=m∣z−p∣=m מתארת מעגל שעליו נמצאים w1w_1w1​ ו-w2w_2w2​ לכל nnn טבעי.

שאלה 2 · מקומות גאומטריים: מעגלשאלה קצרה · בינונית

במישור גאוס נתונים המעגל ∣z∣=1|z|=1∣z∣=1 והמעגל ∣z−(3+4i)∣=k|z-(3+4i)|=k∣z−(3+4i)∣=k, כאשר k>0k>0k>0 פרמטר.

א.

מצאו את כל ערכי kkk שעבורם לשני המעגלים יש נקודה משותפת אחת בדיוק.

ב.

מצאו את כל ערכי kkk שעבורם המעגלים נחתכים בשתי נקודות שונות.

שאלה 3 · מקומות גאומטריים: מעגלשאלה קצרה · קשה

z=x+yiz=x+yiz=x+yi הוא מספר מרוכב (xxx ו-yyy ממשיים, z≠4z\ne4z=4). מגדירים w=z+4z−4w=\dfrac{z+4}{z-4}w=z−4z+4​.

ידוע כי www הוא מספר מדומה טהור השונה מאפס. מצאו את המקום הגאומטרי של הנקודות במישור גאוס המייצגות את zzz.

שאלה 4 · מספרים מרוכבים: שורש ריבועי, שני מעגלים וחיתוך עם ישרשאלה מלאה · קלה

נתונה המשוואה: z2=−3+4iz^2=-3+4iz2=−3+4i, zzz הוא מספר מרוכב.

א.

פתרו את המשוואה.

ב.

נסמן את החלקים הממשיים של פתרונות המשוואה ב-a1a_1a1​ וב-a2a_2a2​ כך ש-a1<a2a_1<a_2a1​<a2​.
נתונים שני מקומות גאומטריים:
I. ∣z−ia1∣=1|z-ia_1|=1∣z−ia1​∣=1
II. ∣z−ia2∣=1|z-ia_2|=1∣z−ia2​∣=1

מצאו את המרכז ואת הרדיוס של כל אחד מהמקומות הגאומטריים, וסרטטו את שניהם באותה מערכת צירים.

ג.

מצאו את המספרים המרוכבים שמייצגים את נקודות החיתוך של הישר y=xy=xy=x עם כל אחד מהמקומות הגאומטריים.

ד.

נסמן ב-w1w_1w1​ וב-w2w_2w2​ את שני המספרים שמצאתם בסעיף ג ששונים מ-0.

חשבו את w1⋅w1‾w_1\cdot\overline{w_1}w1​⋅w1​​ ואת w2⋅w2‾w_2\cdot\overline{w_2}w2​⋅w2​​, ופתרו את המשוואה z3=w1⋅w1‾⋅w2⋅w2‾z^3=w_1\cdot\overline{w_1}\cdot w_2\cdot\overline{w_2}z3=w1​⋅w1​​⋅w2​⋅w2​​.

שאלה 5 · מקומות גאומטריים: מעגלשאלה קצרה · בינונית

z=x+iyz=x+iyz=x+iy הוא מספר מרוכב (xxx ו-yyy ממשיים). נתונה המשוואה zzˉ−4 Re(z)+6 Im(z)+k=0z\bar{z}-4\,\text{Re}(z)+6\,\text{Im}(z)+k=0zzˉ−4Re(z)+6Im(z)+k=0, כאשר kkk פרמטר ממשי.

א.

מצאו את כל ערכי kkk שעבורם המקום הגאומטרי של הנקודות zzz המקיימות את המשוואה הוא מעגל, ומצאו את מרכז המעגל.

ב.

מצאו את הערך של kkk שעבורו המעגל משיק לציר הממשי.

שאלה 6 · מקומות גאומטריים: מעגלשאלה קצרה · קשה

לכל מספר ממשי ttt מגדירים את המספר המרוכב z=1+ti1−tiz=\dfrac{1+ti}{1-ti}z=1−ti1+ti​.

א.

הראו כי לכל ttt ממשי הנקודה המייצגת את zzz במישור גאוס נמצאת על מעגל היחידה.

ב.

האם כל נקודה על מעגל היחידה מתקבלת כ-zzz עבור ערך כלשהו של ttt? אם כן - נמקו. אם לא - מצאו את כל הנקודות על מעגל היחידה שאינן מתקבלות, ונמקו.

שאלה 7 · שורשים מסדר 6 והזזה: מעגל, דלתון ויחס שטחיםשאלה מלאה · קלה

נתונה משוואה I: w6=−64w^6=-64w6=−64, ונתונה משוואה II: (z−i)6=−64(z-i)^6=-64(z−i)6=−64, כאשר www ו-zzz הם מספרים מרוכבים.

א.

פתרו את משוואה I, ורשמו את הפתרונות בהצגה אלגברית.

ב.

(1)

הראו כי אם www הוא פתרון של משוואה I, אז z=w+iz=w+iz=w+i הוא פתרון של משוואה II. רשמו בהצגה אלגברית את כל הפתרונות של משוואה II.

(2)

הנקודות המייצגות את פתרונות משוואה II נמצאות על מעגל שמרכזו בנקודה המייצגת את iii. מצאו את הרדיוס שלו ואת משוואתו.

ג.

(1)

שני הפתרונות הממשיים ושני הפתרונות המדומים של משוואה II מייצגים קודקודים של מרובע. הראו כי המרובע הוא דלתון.

(2)

מצאו את היחס בין שטח המשושה שקודקודיו הם כל הפתרונות של משוואה II ובין שטח הדלתון.

שאלה 8 · מקומות גאומטריים: מעגלשאלה קצרה · בינונית

במישור גאוס נתון המעגל ∣z−(1+i)∣=2|z-(1+i)|=\sqrt{2}∣z−(1+i)∣=2​, ונתון הישר שמשוואתו Re(z)+Im(z)=c\text{Re}(z)+\text{Im}(z)=cRe(z)+Im(z)=c, כאשר ccc פרמטר ממשי.

א.

מצאו את כל ערכי ccc שעבורם הישר חותך את המעגל בשתי נקודות שונות.

ב.

עבור כל אחד מערכי ccc שבהם הישר משיק למעגל, מצאו את נקודת ההשקה ורשמו אותה כמספר מרוכב.

שאלה 9 · שורשים מסדר 6: מציאת מרכז ההזזה משני פתרונות ידועיםשאלה מלאה · קשה

נתונה משוואה I: w6=−64w^6=-64w6=−64. נתונה משוואה II: (z−c)6=−64(z-c)^6=-64(z−c)6=−64, כאשר ccc הוא מספר מרוכב קבוע ו-zzz מספר מרוכב.

א.

פתרו את משוואה I, ורשמו את הפתרונות בהצגה אלגברית.

ב.

(1)

הסבירו מדוע לכל ccc הפתרונות של משוואה II מייצגים קודקודים של משושה משוכלל, ומצאו את מרכז המשושה ואת אורך צלעו.

(2)

ידוע כי z=0z=0z=0 ו-z=23z=2\sqrt3z=23​ הם פתרונות של משוואה II. מצאו את כל הערכים האפשריים של ccc.

ג.

(1)

הציבו את הערך של ccc שהחלק המדומה שלו חיובי. רשמו בהצגה אלגברית את כל הפתרונות של משוואה II, ומצאו את משוואת המעגל שעליו הם נמצאים.

(2)

הפתרונות של משוואה II שהנקודות המייצגות אותם נמצאות על צירי מישור גאוס הם קודקודים של משולש. מצאו את היחס בין שטח המשושה ובין שטח המשולש.

שאלה 10 · מרוכבים: מעגל, ארגומנט משותף וסדרה הנדסית - צעד אחר צעדשאלה מלאה · קלה

z=x+yiz=x+yiz=x+yi הוא מספר מרוכב (xxx ו-yyy הם מספרים ממשיים).

א.

הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות (x,y)(x,y)(x,y) במישור גאוס המקיימות ∣zˉ−4+3i∣=5|\bar z-4+3i|=5∣zˉ−4+3i∣=5 הוא מעגל, ומצאו את מרכזו ואת רדיוסו.

ב.

הנקודה MMM היא מרכז המעגל, והנקודה AAA מיוצגת על ידי zAz_AzA​. נתון: למספרים zAz_AzA​ ו-zMz_MzM​ יש אותו ארגומנט, ו-∣zA∣=2∣zM∣|z_A|=2|z_M|∣zA​∣=2∣zM​∣.

הסבירו מדוע zA=2zMz_A=2z_MzA​=2zM​, ומצאו את שיעורי הנקודה AAA.

ג.

נתונה סדרה הנדסית: z1,z2,z3,…z_1,z_2,z_3,\ldotsz1​,z2​,z3​,…. האיבר הראשון בסדרה מייצג את הנקודה MMM, והאיבר השלישי מייצג את הנקודה AAA.

מצאו את מנת הסדרה (שתי אפשרויות).

ד.

הראו כי zk⋅zˉk=25⋅2k−1z_k\cdot\bar z_k=25\cdot2^{k-1}zk​⋅zˉk​=25⋅2k−1, וחשבו את הסכום: z1⋅zˉ1+z2⋅zˉ2+…+z8⋅zˉ8z_1\cdot\bar z_1+z_2\cdot\bar z_2+\ldots+z_8\cdot\bar z_8z1​⋅zˉ1​+z2​⋅zˉ2​+…+z8​⋅zˉ8​.

עוד 18 שאלות על מקומות גאומטריים: מעגל

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

מקומות גאומטריים: מעגל (שאלה קצרה · בינונית)
$z=x+iy$ הוא מספר מרוכב ( $x$ ו- $y$ ממשיים). נתון כי $z$ מקיים את המשוואה: $z\bar{z}-(2-3i)z-(2+3i)\bar{z}-12=0$ .
מרוכבים: נקודה על המעגל בכיוון המרכז, סדרה מסתובבת ושטחי משולשים (שאלה מלאה · קשה)
$z=x+yi$ הוא מספר מרוכב ( $x$ ו- $y$ הם מספרים ממשיים).
משוואה עם z ו-z̄ כמעגל: מרכז ורדיוס (שאלה קצרה · קלה)
$z=x+iy$ הוא מספר מרוכב ( $x$ ו- $y$ ממשיים). נתון כי $z$ מקיים את המשוואה: $z\bar{z}-(2-3i)z-(2+3i)\bar{z}-12=0$ .
מספרים צמודים, חזקות בדה-מואבר ומעגל במישור גאוס (שאלה מלאה · בינונית)
נתונים שני מספרים מרוכבים: $z_1=(a^2-2a+1)\sqrt3+(a^2-3)i$ $z_2=(3a-5)\sqrt3+(1-a)i$ $a$ הוא פרמטר ממשי.
שתי משוואות שורשים: מתי המצולע משוכלל (שאלה מלאה · קשה)
נתון המספר המרוכב $w=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ , $r>0$ , $0^\circ<\theta<180^\circ$ . נתונות שתי משוואות: I. $z^6=w^6$ II.…
מקומות גאומטריים: מעגל (שאלה קצרה · בינונית)
המשוואה $|z-p|=m$ , כאשר $p$ ו- $m$ ממשיים, מתארת מעגל במישור גאוס שעליו נמצאים המספרים $4$ ו- $2i$ .
מספרים מרוכבים: שני פרמטרים משני תנאים, חזקות וחקירת חיתוך (שאלה מלאה · קשה)
נתונים שלושה מספרים מרוכבים: $z_1=r\cdot(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)$ ,…
מספרים מרוכבים: שורש ריבועי, מקומות גאומטריים מעגליים ושורשים מסדר שלישי (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה המשוואה: $(z-i)^2-3-4i=0$ , $z$ הוא מספר מרוכב.
מעגל מתוך משוואת ערך מוחלט, נקודה באותו ארגומנט ומנת סדרה הנדסית (שאלת ביניים · קשה)
$z=x+yi$ הוא מספר מרוכב ( $x$ ו- $y$ הם מספרים ממשיים).
מקומות גאומטריים: מעגל (שאלה קצרה · בינונית)
במישור גאוס נתון המקום הגאומטרי של כל המספרים המרוכבים $z$ המקיימים $|z+3|=3$ .
שורשים מסדר 6 והזזה ממשית: מעגל, משושה ודלתון (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה משוואה I: $w^6=64$ , כאשר $w$ הוא מספר מרוכב.
מרוכבים: מעגל, ארגומנט משותף ושורשים מסדר שלישי (שאלה מלאה · בינונית)
$z=x+yi$ הוא מספר מרוכב ( $x$ ו- $y$ הם מספרים ממשיים).
מקומות גאומטריים: מעגל (שאלה קצרה · בינונית)
$z=x+yi$ הוא מספר מרוכב. נתונה המשוואה: $|\bar z+3-4i|^2+|-6+8i|=|35i|$ .
מספר מרוכב והופכי שלו, מצולע משוכלל בן 12 צלעות (שאלה מלאה · בינונית)
נתון המספר המרוכב $w=r(\cos\theta+i\cdot\sin\theta)$ , $r>0$ , $270^\circ<\theta<360^\circ$ .
מספר מרוכב ו-i/w, שתי משוואות עם פתרונות משותפים ומתומן לא משוכלל (שאלה מלאה · בינונית)
נתון המספר המרוכב $w=r(\cos\theta+i\cdot\sin\theta)$ , $r>0$ , $45^\circ<\theta<135^\circ$ .
מספרים מרוכבים בהצגה קוטבית: פרמטרים, שורשים שלישיים ושטח דלתון (שאלה מלאה · בינונית)
נתונים שלושה מספרים מרוכבים: $z_1=r\cdot(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)$ ,…
מספרים מרוכבים בהצגה קוטבית: פרמטרים, שורשים מסדר 6 ושטח מרובע במישור גאוס (שאלה מלאה · בינונית)
נתונים שלושה מספרים מרוכבים: $z_1=r\cdot(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)$ , $z_2=\frac2r\cdot(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)$ ,…
שני מעגלים |z-ia|=1, חיתוך עם y=x ופתרון z³ (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה המשוואה: $z^2=-3+4i$ , $z$ הוא מספר מרוכב. פתרונות המשוואה הם $z=1+2i$ ו- $z=-1-2i$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

מספרים צמודים, חזקות בדה-מואבר ומעגל במישור גאוס · בגרות 572 חורף 2022, שאלה 3
נתונים שני מספרים מרוכבים: $z_1=(2a^2+5a+4)+(2a^2+3a+2)i$ $z_2=(a^2+8a+8)+(2-a^2+2a)i$ $a$ הוא פרמטר ממשי.
מספרים מרוכבים: שורש ריבועי, מקומות גאומטריים מעגליים ושורשים מסדר שלישי · בגרות 572 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 3
נתונה המשוואה: $(z+i)^2-2-2\sqrt{3}i=0$ , $z$ הוא מספר מרוכב.
שורשים מסדר 6, הזזה במישור גאוס, משושה משוכלל ודלתון · בגרות 572 חורף 2023, שאלה 3
נתונה משוואה I: $w^6=-27$ , כאשר $w$ הוא מספר מרוכב.
מרוכבים: מעגל במישור גאוס, ארגומנט משותף וסדרה הנדסית מרוכבת · בגרות 572 חורף 2024, שאלה 3
$z=x+yi$ הוא מספר מרוכב ( $x$ ו- $y$ הם מספרים ממשיים).
מספר מרוכב והופכי שלו, שתי משוואות ומצולע משוכלל · בגרות 572 חורף 2025, שאלה 3
נתון המספר המרוכב $w=r(\cos\theta+i\cdot\sin\theta)$ , $r>0$ , $90^\circ<\theta<180^\circ$ .
מספרים מרוכבים בהצגה קוטבית: מציאת פרמטרים, שורשים ושטח מרובע במישור גאוס · בגרות 572 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 3
נתונים שלושה מספרים מרוכבים: $z_1=r\cdot(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)$ , $z_2=\frac1r\cdot\big(\cos(\alpha+90^\circ)+i\cdot\sin(\alpha+90^\circ)\big)$ ,…