מבחן לדוגמה: מקומות גאומטריים: אנך אמצעי ומעגל אפולוניוס - כיתה י"ב 5 יח"ל

6 שאלות פתוחות על מקומות גאומטריים: אנך אמצעי ומעגל אפולוניוס (שורשים ומקומות גאומטריים במישור גאוס), מהקלה לקשה. המבחן מוכן להדפסה כמו שהוא, או לפתיחה במחולל לשינויים.

מבחן במתמטיקה - כיתה י"ב 5 יח"ל

מקומות גאומטריים: אנך אמצעי ומעגל אפולוניוס

6 שאלות · ענו על כל השאלות · הראו את דרך הפתרון

שם: ______________כיתה: ________תאריך: ________

שאלה 1 · אנך אמצעי במישור גאוס: |z|=|z-(-3+3i)|שאלה קצרה · קלה

ענו על הסעיף הבא:

הביעו באמצעות xxx ו-yyy את משוואת המקום הגיאומטרי של כל הנקודות z=x+iyz=x+iyz=x+iy במישור גאוס המקיימות ∣z∣=∣z−(−3+3i)∣|z|=|z-(-3+3i)|∣z∣=∣z−(−3+3i)∣.

שאלה 2 · מקום גאומטרי של z², שורשי 16 וריבוע מסובבשאלה מלאה · קלה

z=x+iyz=x+iyz=x+iy הוא מספר מרוכב (xxx ו-yyy הם מספרים ממשיים).

א.

(1)

כתבו את z2z^2z2 בהצגה אלגברית.

(2)

הראו כי משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור גאוס המקיימות ∣z2+5∣=∣z2−1∣|z^2+5|=|z^2-1|∣z2+5∣=∣z2−1∣ היא y2−x2=2y^2-x^2=2y2−x2=2.

ב.

פתרו את המשוואה z4=16z^4=16z4=16.

ג.

פתרונות המשוואה שמצאתם בסעיף ב מייצגים את קודקודיו של ריבוע I, החסום במעגל שמרכזו בראשית ורדיוסו 2. המקום הגאומטרי מתת סעיף א(2) חותך את המעגל הזה ברביע הראשון בנקודה A.

מצאו את שיעורי הנקודה A.

ד.

(1)

כתבו את המספר המרוכב המייצג את A בהצגה קוטבית.

(2)

A היא קודקוד של ריבוע II החסום באותו מעגל. מצאו את המספרים המרוכבים המייצגים את כל הקודקודים של ריבוע II.

ה.

נסמן w=r⋅cisαw=r\cdot\text{cis}\alphaw=r⋅cisα, 0<α<90∘0<\alpha<90^\circ0<α<90∘. כופלים את כל המספרים המייצגים את קודקודי ריבוע I במספר www, ומתקבלים קודקודי ריבוע II.

הסבירו מדוע r=1r=1r=1, ומצאו את www.

שאלה 3 · מקומות גאומטריים: אנך אמצעי ומעגל אפולוניוסשאלה קצרה · בינונית

במישור גאוס, הנקודה zzz נמצאת על המקום הגאומטרי ∣z∣=∣z−(6+8i)∣|z|=|z-(6+8i)|∣z∣=∣z−(6+8i)∣, והנקודה www נמצאת על המקום הגאומטרי ∣w−6i∣=2∣w−3i∣|w-6i|=2|w-3i|∣w−6i∣=2∣w−3i∣.

א.

הראו כי המקום הגאומטרי של www הוא מעגל, ומצאו את מרכזו ואת רדיוסו.

ב.

מצאו את המרחק הקטן ביותר האפשרי בין zzz לבין www.

שאלה 4 · מעגל אפולוניוס ואנך אמצעי: הנקודות המשותפות ושטח משולששאלת ביניים · בינונית

z=x+iyz=x+iyz=x+iy הוא מספר מרוכב (xxx ו-yyy ממשיים). במישור גאוס נתונים שני מקומות גאומטריים:
I. ∣z+6∣=2∣z∣|z+6|=2|z|∣z+6∣=2∣z∣
II. ∣z−2i∣=∣z−(4+6i)∣|z-2i|=|z-(4+6i)|∣z−2i∣=∣z−(4+6i)∣

א.

הראו כי המקום הגאומטרי I הוא מעגל, ומצאו את מרכזו ואת רדיוסו.

ב.

הביעו באמצעות xxx ו-yyy את משוואת המקום הגאומטרי II, ותארו אותו במילים.

ג.

מצאו את המספרים המרוכבים המקיימים את שני התנאים I ו-II, וחשבו את שטח המשולש שקודקודיו הם הנקודות המייצגות את המספרים האלה ומרכז המעגל I.

שאלה 5 · מקומות גאומטריים: אנך אמצעי ומעגל אפולוניוסשאלה קצרה · קשה

www הוא מספר מרוכב. המקום הגאומטרי של כל הנקודות zzz במישור גאוס המקיימות ∣z∣=∣z−w∣|z|=|z-w|∣z∣=∣z−w∣ הוא הישר y=2x+1y=2x+1y=2x+1 שבשרטוט.
-3-2-112-3-2-1123O

מצאו את www.

שאלה 6 · המקום |z²-ki|=|z²+2i|, פתרונות z⁶=-64 וחיתוך ברביע הרביעי עם המעגל החוסםשאלת ביניים · קשה

z=x+iyz=x+iyz=x+iy הוא מספר מרוכב (xxx ו-yyy הם מספרים ממשיים), ו-k≠−2k\neq-2k=−2 הוא פרמטר ממשי.

א.

מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור גאוס המקיימות ∣z2−ki∣=∣z2+2i∣|z^2-ki|=|z^2+2i|∣z2−ki∣=∣z2+2i∣. הביעו באמצעות kkk.

ב.

פתרו את המשוואה z6=−64z^6=-64z6=−64. הפתרונות מייצגים את קודקודיו של מצולע I.

ג.

מצאו לאילו ערכי kkk המקום הגאומטרי מסעיף א חותך ברביע הרביעי את המעגל החוסם את מצולע I.

שאלה 1 · אנך אמצעי במישור גאוס: |z|=|z-(-3+3i)|שאלה קצרה · קלה

שאלה 2 · מקום גאומטרי של z², שורשי 16 וריבוע מסובבשאלה מלאה · קלה

שאלה 3 · מקומות גאומטריים: אנך אמצעי ומעגל אפולוניוסשאלה קצרה · בינונית

שאלה 4 · מעגל אפולוניוס ואנך אמצעי: הנקודות המשותפות ושטח משולששאלת ביניים · בינונית

שאלה 5 · מקומות גאומטריים: אנך אמצעי ומעגל אפולוניוסשאלה קצרה · קשה

שאלה 6 · המקום |z²-ki|=|z²+2i|, פתרונות z⁶=-64 וחיתוך ברביע הרביעי עם המעגל החוסםשאלת ביניים · קשה

רוצים להשלים את חוויית הלמידה?

כל האתר במבט אחד