שאלות פתוחות: מקומות גאומטריים: אנך אמצעי ומעגל אפולוניוס - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על מקומות גאומטריים במישור גאוס - אנך אמצעי ומעגל אפולוניוס - לכיתה י"ב, 5 יחידות. יש כאן נקודות שמרחקן משתי נקודות שווה, נקודות שמרחקן מנקודה אחת כפול ממרחקן מאחרת, מציאת מספר w כשמקום הנקודות השוות מרחק ממנו ומהראשית הוא ישר נתון, ושאלות עם נקודות מסומנות בשרטוט. רוב השאלות ברמה בינונית, ויש גם קלות וקשות. אפשר לבחור מהן לבוחן או לדף עבודה, וכל שאלה כוללת פתרון מלא וייצוא לוורד.

17 שאלותקלה: 2בינונית: 12קשה: 3

שאלה 1 · מקום גאומטרי של z², שורשי 16 וריבוע מסובבשאלה מלאה · קלה

z=x+iyz=x+iyz=x+iy הוא מספר מרוכב (xxx ו-yyy הם מספרים ממשיים).

א.

(1)

כתבו את z2z^2z2 בהצגה אלגברית.

(2)

הראו כי משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור גאוס המקיימות ∣z2+5∣=∣z2−1∣|z^2+5|=|z^2-1|∣z2+5∣=∣z2−1∣ היא y2−x2=2y^2-x^2=2y2−x2=2.

ב.

פתרו את המשוואה z4=16z^4=16z4=16.

ג.

פתרונות המשוואה שמצאתם בסעיף ב מייצגים את קודקודיו של ריבוע I, החסום במעגל שמרכזו בראשית ורדיוסו 2. המקום הגאומטרי מתת סעיף א(2) חותך את המעגל הזה ברביע הראשון בנקודה A.

מצאו את שיעורי הנקודה A.

ד.

(1)

כתבו את המספר המרוכב המייצג את A בהצגה קוטבית.

(2)

A היא קודקוד של ריבוע II החסום באותו מעגל. מצאו את המספרים המרוכבים המייצגים את כל הקודקודים של ריבוע II.

ה.

נסמן w=r⋅cisαw=r\cdot\text{cis}\alphaw=r⋅cisα, 0<α<90∘0<\alpha<90^\circ0<α<90∘. כופלים את כל המספרים המייצגים את קודקודי ריבוע I במספר www, ומתקבלים קודקודי ריבוע II.

הסבירו מדוע r=1r=1r=1, ומצאו את www.

שאלה 2 · מקומות גאומטריים: אנך אמצעי ומעגל אפולוניוסשאלה קצרה · בינונית

z=x+yiz=x+yiz=x+yi הוא מספר מרוכב (xxx ו-yyy ממשיים) המקיים ∣z−2∣=2∣z+1∣|z-2|=2|z+1|∣z−2∣=2∣z+1∣.

א.

הראו כי המקום הגאומטרי של הנקודות (x,y)(x,y)(x,y) המייצגות את zzz הוא מעגל, ומצאו את מרכזו ואת רדיוסו.

ב.

מצאו את הערך הגדול ביותר של ∣z∣|z|∣z∣, ואת המספר zzz שבו הוא מתקבל.

שאלה 3 · מקומות גאומטריים: אנך אמצעי ומעגל אפולוניוסשאלה קצרה · קשה

www הוא מספר מרוכב. המקום הגאומטרי של כל הנקודות zzz במישור גאוס המקיימות ∣z∣=∣z−w∣|z|=|z-w|∣z∣=∣z−w∣ הוא הישר y=2x+1y=2x+1y=2x+1 שבשרטוט.
-3-2-112-3-2-1123O

מצאו את www.

שאלה 4 · אנך אמצעי במישור גאוס: |z|=|z-(-3+3i)|שאלה קצרה · קלה

ענו על הסעיף הבא:

הביעו באמצעות xxx ו-yyy את משוואת המקום הגיאומטרי של כל הנקודות z=x+iyz=x+iyz=x+iy במישור גאוס המקיימות ∣z∣=∣z−(−3+3i)∣|z|=|z-(-3+3i)|∣z∣=∣z−(−3+3i)∣.

שאלה 5 · מקומות גאומטריים: אנך אמצעי ומעגל אפולוניוסשאלה קצרה · בינונית

בשרטוט שלפניכם מסומנות במישור גאוס הנקודות AAA, BBB ו-MMM המייצגות את המספרים 444, 4i4i4i ו-1+5i1+5i1+5i בהתאמה. z=x+iyz=x+iyz=x+iy הוא מספר מרוכב (xxx ו-yyy ממשיים).
-2246-2246ABM

א.

הביעו באמצעות xxx ו-yyy את משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות zzz המקיימות ∣z−4∣=∣z−4i∣|z-4|=|z-4i|∣z−4∣=∣z−4i∣.

ב.

נתון גם ∣z−(1+5i)∣=R|z-(1+5i)|=R∣z−(1+5i)∣=R, כאשר R>0R>0R>0. מצאו את הערך של RRR שעבורו קיים מספר מרוכב אחד בדיוק המקיים את שתי המשוואות, ומצאו מספר זה.

שאלה 6 · מקום גאומטרי עם פרמטר ומשושים מסובביםשאלה מלאה · קשה

z=x+iyz=x+iyz=x+iy הוא מספר מרוכב (xxx ו-yyy הם מספרים ממשיים), ו-k≠−2k\neq-2k=−2 הוא פרמטר ממשי.

א.

מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור גאוס המקיימות ∣z2−ki∣=∣z2+2i∣|z^2-ki|=|z^2+2i|∣z2−ki∣=∣z2+2i∣. הביעו באמצעות kkk.

ב.

פתרו את המשוואה z6=−64z^6=-64z6=−64. הפתרונות מייצגים את קודקודיו של מצולע I.

ג.

מצאו לאילו ערכי kkk המקום הגאומטרי מסעיף א חותך ברביע הרביעי את המעגל החוסם את מצולע I.

ד.

מצאו את הערך של kkk שעבורו אחת מנקודות החיתוך ברביע הרביעי היא קודקוד של מצולע I. האם גם נקודת החיתוך השנייה ברביע הרביעי היא קודקוד של מצולע I?

ה.

עבור kkk שמצאתם בסעיף ד, נקודת החיתוך ברביע הרביעי שאינה קודקוד של מצולע I היא קודקוד של משושה משוכלל II החסום באותו מעגל.

מצאו את כל המספרים www שהכפל בהם מעביר את קודקודי מצולע I בדיוק על קודקודי מצולע II.

שאלה 7 · מקומות גאומטריים: אנך אמצעי ומעגל אפולוניוסשאלה קצרה · בינונית

במישור גאוס הנקודות AAA ו-BBB מייצגות את המספרים 222 ו-−2i-2i−2i בהתאמה. הנקודה ZZZ מייצגת מספר מרוכב z=x+iyz=x+iyz=x+iy המקיים ∣z−2∣=∣z+2i∣|z-2|=|z+2i|∣z−2∣=∣z+2i∣.

א.

הביעו באמצעות xxx ו-yyy את משוואת המקום הגאומטרי של הנקודה ZZZ.

ב.

נתון כי שטח המשולש ABZABZABZ הוא 444. מצאו את כל הערכים האפשריים של zzz.

שאלה 8 · המקום |z²-ki|=|z²+2i|, פתרונות z⁶=-64 וחיתוך ברביע הרביעי עם המעגל החוסםשאלת ביניים · קשה

z=x+iyz=x+iyz=x+iy הוא מספר מרוכב (xxx ו-yyy הם מספרים ממשיים), ו-k≠−2k\neq-2k=−2 הוא פרמטר ממשי.

א.

מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור גאוס המקיימות ∣z2−ki∣=∣z2+2i∣|z^2-ki|=|z^2+2i|∣z2−ki∣=∣z2+2i∣. הביעו באמצעות kkk.

ב.

פתרו את המשוואה z6=−64z^6=-64z6=−64. הפתרונות מייצגים את קודקודיו של מצולע I.

ג.

מצאו לאילו ערכי kkk המקום הגאומטרי מסעיף א חותך ברביע הרביעי את המעגל החוסם את מצולע I.

שאלה 9 · מקומות גאומטריים: אנך אמצעי ומעגל אפולוניוסשאלה קצרה · בינונית

במישור גאוס, הנקודה zzz נמצאת על המקום הגאומטרי ∣z∣=∣z−(6+8i)∣|z|=|z-(6+8i)|∣z∣=∣z−(6+8i)∣, והנקודה www נמצאת על המקום הגאומטרי ∣w−6i∣=2∣w−3i∣|w-6i|=2|w-3i|∣w−6i∣=2∣w−3i∣.

א.

הראו כי המקום הגאומטרי של www הוא מעגל, ומצאו את מרכזו ואת רדיוסו.

ב.

מצאו את המרחק הקטן ביותר האפשרי בין zzz לבין www.

שאלה 10 · מקומות גאומטריים: אנך אמצעי ומעגל אפולוניוסשאלה קצרה · בינונית

z=x+iyz=x+iyz=x+iy הוא מספר מרוכב (xxx ו-yyy ממשיים) המקיים ∣z−4∣=2∣z−1∣|z-4|=2|z-1|∣z−4∣=2∣z−1∣.

הראו כי המקום הגאומטרי של הנקודות המייצגות את zzz במישור גאוס הוא מעגל, ומצאו את מרכזו ואת רדיוסו.

עוד 5 שאלות על מקומות גאומטריים: אנך אמצעי ומעגל אפולוניוס

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

מקום גאומטרי של z², שורשים מסדר שלישי ומשולש מסובב (שאלה מלאה · בינונית)
$z=x+iy$ הוא מספר מרוכב ( $x$ ו- $y$ הם מספרים ממשיים).
מרוכבים: אנך אמצעי, משוואה ריבועית וריבוע מסובב כשורשים (שאלה מלאה · בינונית)
הביעו באמצעות $x$ ו- $y$ את משוואת המקום הגיאומטרי של כל הנקודות $z=x+iy$ במישור גאוס המקיימות $|z|=|z-(-3+3i)|$ .
מקומות גאומטריים: אנך אמצעי ומעגל אפולוניוס (שאלה קצרה · בינונית)
נתון התנאי $|z+2|=|z-4i|$ , כאשר $z=x+iy$ .
מרוכבים: אנך אמצעי, משוואה ריבועית ומשולש שווה צלעות מסובב כשורשים (שאלה מלאה · בינונית)
הביעו באמצעות $x$ ו- $y$ את משוואת המקום הגיאומטרי של כל הנקודות $z=x+iy$ במישור גאוס המקיימות $|z|=|z-(-1+\sqrt3i)|$ .
מעגל אפולוניוס ואנך אמצעי: הנקודות המשותפות ושטח משולש (שאלת ביניים · בינונית)
$z=x+iy$ הוא מספר מרוכב ( $x$ ו- $y$ ממשיים). במישור גאוס נתונים שני מקומות גאומטריים: I. $|z+6|=2|z|$ II. $|z-2i|=|z-(4+6i)|$

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

מקום גאומטרי של z², שורשי היחידה ומצולע מסובב · בגרות 572 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 3
$z=x+iy$ הוא מספר מרוכב ( $x$ ו- $y$ הם מספרים ממשיים).
מרוכבים: אנך אמצעי, משוואה ריבועית וריבוע מסובב כשורשים · בגרות 572 קיץ 2025 מועד א', שאלה 3
הביעו באמצעות $x$ ו- $y$ את משוואת המקום הגיאומטרי של כל הנקודות $z=x+iy$ במישור גאוס המקיימות $|z|=|z-(2+2i)|$ .