מבחן לדוגמה: בעיות גאומטריות משולבות וטרנספורמציות במישור - כיתה י"ב 5 יח"ל

מצאו את המקום הגאומטרי של הנקודות המייצגות את $w$ במישור גאוס.

מצאו את המספרים המרוכבים $w$ שבהם המקום הגאומטרי שמצאתם חותך את הציר הממשי.

הראו כי $\frac{z}{\bar z}=\cos2\alpha+i\sin2\alpha$.

נתון: $\frac{z}{\bar z}=-i$.

מצאו את $\alpha$.

נתון: $|2iz|+|\bar z|=6\sqrt2$.

מצאו את $R$, וכתבו את $z$ בהצגה אלגברית.

הנקודות B ו-C מתאימות למספרים $\frac{z}{\bar z}$ ו-$\frac{\bar z}{z}$. הנקודה A מתאימה למספר $z+k$, $k$ הוא מספר מדומה טהור. המשולש ABC שווה שוקיים שבסיסו BC.

הסבירו מדוע A נמצאת על הציר הממשי, ומצאו את $k$ ואת שטח המשולש ABC.

הביעו באמצעות $x$ ו-$y$ את משוואת המקום הגאומטרי של הנקודות $z$ המקיימות $|z-4|+|z+4|=10$, וזהו את העקום.

מצאו את כל המספרים המרוכבים $z$ המקיימים את שתי המשוואות.

פתרו את המשוואה, ומצאו את $z_0$.

הנקודות A, B ו-C מיוצגות במישור גאוס על ידי המספרים $d\cdot z_0$, $di\cdot z_0$ ו-$d\cdot(z_0)^4$ בהתאמה. $d>0$ הוא פרמטר.

מצאו את הארגומנטים של שלושת המספרים, והראו כי AC הוא קוטר במעגל שמרכזו בראשית הצירים ורדיוסו $d$.

הראו כי שטח המשולש ABC הוא $d^2$. נתון כי שטח המשולש ABC הוא $2d+8$. מצאו את הערך של $d$.

המשולש ABC הוא משולש שווה שוקיים. קודקודי הבסיס B ו-C מתאימים למספרים: $\frac{z}{\bar z}$ ו-$\frac{\bar z}{z}$. קודקוד הראש A מתאים למספר $z+k$, $k$ הוא מספר מדומה טהור.

הביעו באמצעות $R$ את $k$ ואת המספר שמתאים לנקודה A.

מצאו את $R$ שבעבורו המרובע ABOC הוא מעוין (O היא ראשית הצירים).

נתון כי שטח המשולש ABC הוא $\frac{\sqrt3}{2}$. מצאו את $R$.

מצאו את $z_2$ ואת פתרונות המשוואה.

נתון מספר מרוכב $z=2(\cos\theta+i\cdot\sin\theta)$, $0^\circ\le\theta<360^\circ$, ו-$n\ge2$ מספר טבעי. נתון כי המספרים $z$ ו-$z^n$ נמצאים על ישר אחד שעובר בראשית הצירים.

הביעו באמצעות $n$ את מספר האפשרויות של $z$.

מצאו את הערך הקטן ביותר של $n$ שבעבורו כל פתרונות המשוואה מסעיף א הם בין המספרים $z$ של סעיף ב.

הציבו את הערך של $n$ שמצאתם בסעיף ג. המספרים $z$ של סעיף ב מייצגים את הקודקודים של מצולע קמור במישור גאוס.

חשבו את שטח המצולע.

מכפילים כל אחד מקודקודי המצולע של סעיף ד במספר המרוכב $u=m(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)$, $m>0$, $0^\circ\le\alpha<360^\circ$. מתקבל מצולע ששטחו 108, ואחד מקודקודיו הוא המספר $3\sqrt2+3\sqrt2i$.

מצאו את $m$ ואת כל הערכים האפשריים של $\alpha$.