דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

שאלות פתוחות: בעיות גאומטריות משולבות וטרנספורמציות במישור - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על בעיות גאומטריות משולבות וטרנספורמציות במישור גאוס, לכיתה י"ב, 5 יחידות. השאלות כוללות את התמונה של מעגל תחת העתקה כמו w=(1+i)z או w=i כפול הצמוד של z, משולש שקודקודיו הם פתרונות של z³=8i, שורשים ריבועיים של -7+24i כקודקודים של צורה, ופתרונות של z⁶=1. רוב השאלות ברמה בינונית, ויש גם קלות וקשות. אלה שאלות מסכמות טובות למבחן או לדף חזרה, עם פתרון מלא לכל שאלה וייצוא לוורד.

50 שאלותקלה: 10בינונית: 30קשה: 10

שאלה 1 · בעיות גאומטריות משולבות וטרנספורמציות במישורשאלה קצרה · קלה

המספר המרוכב zz נמצא על המעגל ∣z−2∣=2|z-2|=2 שבשרטוט. לכל zz כזה מגדירים w=(1+i)zw=(1+i)z.

O
א.

מצאו את המקום הגאומטרי של הנקודות המייצגות את ww במישור גאוס.

ב.

מצאו את המספרים המרוכבים ww שבהם המקום הגאומטרי שמצאתם חותך את הציר הממשי.

שאלה 2 · בעיות גאומטריות משולבות וטרנספורמציות במישורשאלה קצרה · בינונית

נתון המספר המרוכב w=−7+24iw=-7+24i. z1z_1 ו-z2z_2 הם שני השורשים הריבועיים של ww, כאשר z1z_1 נמצא ברביע הראשון של מישור גאוס. הנקודות AA ו-BB מייצגות את z1z_1 ואת z2z_2 בהתאמה.

א.

מצאו את z1z_1 ואת z2z_2.

ב.

הנקודה CC מייצגת מספר מרוכב uu. נתון כי המשולש ABCABC ישר-זווית ושווה-שוקיים, ו-ABAB הוא היתר. מצאו את כל הערכים האפשריים של uu.

שאלה 3 · בעיות גאומטריות משולבות וטרנספורמציות במישורשאלה קצרה · קשה

הפתרונות של המשוואה z3=8iz^3=8i מייצגים במישור גאוס את קודקודי המשולש TT.

א.

פתרו את המשוואה, ורשמו את הפתרונות בהצגה אלגברית.

ב.

משקפים את המשולש TT ביחס לציר הממשי ומקבלים את המשולש T′T'. חשבו את שטח החלק המשותף למשולשים TT ו-T′T'.

שאלה 4 · המנה של מספר מרוכב בצמוד שלו ומשולש שווה שוקייםשאלה מלאה · קלה

המספר: z=R(cos⁡α+i⋅sin⁡α)z=R(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha), R>0R>0, נמצא במישור גאוס ברביע השני.

א.

הראו כי zzˉ=cos⁡2α+isin⁡2α\frac{z}{\bar z}=\cos2\alpha+i\sin2\alpha.

ב.

נתון: zzˉ=−i\frac{z}{\bar z}=-i.

מצאו את α\alpha.

ג.

נתון: ∣2iz∣+∣zˉ∣=62|2iz|+|\bar z|=6\sqrt2.

מצאו את RR, וכתבו את zz בהצגה אלגברית.

ד.

הנקודות B ו-C מתאימות למספרים zzˉ\frac{z}{\bar z} ו-zˉz\frac{\bar z}{z}. הנקודה A מתאימה למספר z+kz+k, kk הוא מספר מדומה טהור. המשולש ABC שווה שוקיים שבסיסו BC.

הסבירו מדוע A נמצאת על הציר הממשי, ומצאו את kk ואת שטח המשולש ABC.

שאלה 5 · בעיות גאומטריות משולבות וטרנספורמציות במישורשאלה קצרה · בינונית

המספר המרוכב zz נע על המעגל ∣z∣=1|z|=1 במישור גאוס. לכל zz כזה מגדירים w=(1+3i)z+2w=\left(1+\sqrt{3}i\right)z+2.

א.

מצאו את המקום הגאומטרי של הנקודות המייצגות את ww.

ב.

מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של ∣w−2i∣|w-2i|.

שאלה 6 · קודקוד הראש כפונקציה של המודול: מעוין ושטח נתוןשאלה מלאה · קשה

המספר: z=R(cos⁡α+i⋅sin⁡α)z=R(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha), R>0R>0, נמצא במישור גאוס ברביע השני.

א.

נתון: zzˉ=−12−32i\frac{z}{\bar z}=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i.

מצאו את α\alpha.

ב.

המשולש ABC הוא משולש שווה שוקיים. קודקודי הבסיס B ו-C מתאימים למספרים: zzˉ\frac{z}{\bar z} ו-zˉz\frac{\bar z}{z}. קודקוד הראש A מתאים למספר z+kz+k, kk הוא מספר מדומה טהור.

הביעו באמצעות RR את kk ואת המספר שמתאים לנקודה A.

ג.

מצאו את RR שבעבורו המרובע ABOC הוא מעוין (O היא ראשית הצירים).

ד.

נתון כי שטח המשולש ABC הוא 32\frac{\sqrt3}{2}. מצאו את RR.

שאלה 7 · שורשי היחידה מסדר 6: משולש במישור גאוס וחזקה מדומה טהורהשאלה מלאה · קלה

נתונה המשוואה z6=1z^6=1, zz הוא מספר מרוכב. המספר z0z_0 הוא הפתרון של המשוואה שמיוצג על ידי נקודה ברביע הראשון במישור גאוס.

א.

פתרו את המשוואה, ומצאו את z0z_0.

ב.

הנקודות A, B ו-C מיוצגות במישור גאוס על ידי המספרים d⋅z0d\cdot z_0, di⋅z0di\cdot z_0 ו-d⋅(z0)4d\cdot(z_0)^4 בהתאמה. d>0d>0 הוא פרמטר.

(1)

מצאו את הארגומנטים של שלושת המספרים, והראו כי AC הוא קוטר במעגל שמרכזו בראשית הצירים ורדיוסו dd.

(2)

הראו כי שטח המשולש ABC הוא d2d^2. נתון כי שטח המשולש ABC הוא 2d+82d+8. מצאו את הערך של dd.

ג.

נגדיר: w=((z0)2−1(z0)2)(1+i)w=\left((z_0)^2-\frac{1}{(z_0)^2}\right)(1+i).

מצאו את ∣w∣|w| ואת הארגומנט של ww.

ד.
(1)

מצאו את המספר הטבעי הקטן ביותר nn שעבורו wnw^n הוא מספר מדומה טהור, ואת wnw^n עבורו.

(2)

קבעו אם הנקודה המייצגת את המספר שמצאתם בסעיף ד(1) נמצאת בתוך המעגל החוסם את המשולש ABC או מחוצה לו.

שאלה 8 · בעיות גאומטריות משולבות וטרנספורמציות במישורשאלה קצרה · בינונית

על כל נקודה zz של המעגל ∣z−(3+i)∣=2|z-(3+i)|=2 במישור גאוס מפעילים את הטרנספורמציה w=izˉw=i\bar{z}.

א.

הראו כי המקום הגאומטרי של הנקודות ww הוא מעגל, ומצאו את מרכזו ואת רדיוסו.

ב.

האם קיימות נקודות zz על המעגל הנתון שעבורן w=zw=z? אם כן - מצאו את כולן. אם לא - נמקו.

שאלה 9 · מספרים מרוכבים: מתי המשולש ישר-זווית ובאיזה רדיוסשאלה מלאה · קשה

נתונה המשוואה: z3=−1z3z^3=-\frac{1}{z^3}, zz הוא מספר מרוכב. המספר z0z_0 הוא הפתרון של המשוואה שמיוצג על ידי נקודה ברביע הרביעי במישור גאוס.

א.

מצאו את המספר המרוכב z0z_0.

ב.

הנקודות A, B ו-C מיוצגות במישור גאוס על ידי המספרים d⋅z0d\cdot z_0, di⋅z0di\cdot z_0 ו-d⋅(z0)md\cdot(z_0)^m בהתאמה. d>0d>0 הוא פרמטר, ו-mm הוא מספר טבעי, 1<m<121<m<12.

מצאו את כל ערכי mm שעבורם המשולש ABC הוא משולש ישר-זווית.

ג.

נגדיר: w=((z0)2−1(z0)2)(1−i)w=\left((z_0)^2-\frac{1}{(z_0)^2}\right)(1-i).

מצאו את ∣w∣|w| ואת הארגומנט של ww.

ד.

מצאו את כל הערכים של dd שעבורם המספר הטבעי הקטן ביותר nn שעבורו wnw^n הוא מספר מדומה טהור ונמצא מחוץ למעגל החוסם את המשולש ABC הוא n=6n=6.

שאלה 10 · מעוין במישור גאוס: קודקודים, הופכיים ומשוואהשאלה מלאה · קלה

במעוין ABCD הקודקוד A נמצא ברביע הראשון, והקודקוד B נמצא ברביע השני במישור גאוס. אלכסוני המעוין נפגשים בראשית הצירים. המספר המרוכב zz מייצג את הקודקוד A. נתון: BD=2ACBD=2AC.

ABCDxy
א.

אלכסוני מעוין מאונכים זה לזה וחוצים זה את זה.

הביעו באמצעות zz את המספרים שמייצגים את הקודקודים B, C ו-D.

ב.

נתון: z=2(cos⁡30∘+isin⁡30∘)z=2(\cos30^\circ+i\sin30^\circ).

(1)

כתבו בהצגה קוטבית את המספרים שמייצגים את הקודקודים B, C ו-D.

(2)

כתבו בהצגה קוטבית את המספרים ההופכיים למספרים המייצגים את A, B, C ו-D.

(3)

ארבעת המספרים שמצאתם בתת-סעיף ב(2) מייצגים קודקודים של מרובע. מצאו את שטח המרובע.

ג.

נתונה המשוואה: w5=wˉw^5=\bar w, ww הוא מספר מרוכב השונה מ-0. הראו כי ∣w∣=1|w|=1, ומצאו את כל הפתרונות של המשוואה.

עוד 32 שאלות על בעיות גאומטריות משולבות וטרנספורמציות במישור

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

  1. בעיות גאומטריות משולבות וטרנספורמציות במישור (שאלה קצרה · בינונית)

    z=x+iyz=x+iy הוא מספר מרוכב (xx ו-yy ממשיים). נתונות שתי המשוואות: ∣z−4∣+∣z+4∣=10|z-4|+|z+4|=10 ו-∣z∣=4|z|=4.

  2. מעוין, הופכיים ומצולע משוכלל כללי (שאלה מלאה · קשה)

    במעוין ABCD הקודקוד A נמצא ברביע הראשון, והקודקוד B נמצא ברביע השני במישור גאוס. אלכסוני המעוין נפגשים בראשית הצירים. המספר המרוכב…

  3. שורשים מסדר 6 של מספר שלילי, מלבן ומכפלה (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה המשוואה z6=−729z^6=-729 (zz הוא מספר מרוכב).

  4. מספר מרוכב ברביע הרביעי: ארגומנט מהמנה בצמוד, מודול, דה-מואבר ודלתון במישור גאוס (שאלה מלאה · בינונית)

    המספר: z=R(cos⁡α+i⋅sin⁡α)z=R(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha) נמצא במישור גאוס ברביע הרביעי.

  5. שורשים מסדר 6: כל המכנים שמשאירים ארבעה פתרונות וסיבוב (שאלה מלאה · קשה)

    נתונה המשוואה z6+729i=0z^6+729i=0 (zz הוא מספר מרוכב).

  6. מספרים מרוכבים: שורשים ומשושה משוכלל (שאלה מלאה · קלה)

    נתונים שני מספרים מרוכבים z1z_1 ו-z2z_2 שמכפלתם היא 17. z1=−4+iz_1=-4+i.

  7. בעיות גאומטריות משולבות וטרנספורמציות במישור (שאלה קצרה · בינונית)

    המשולש ABC הוא משולש שווה שוקיים. קודקודי הבסיס B ו-C מתאימים למספרים −2+2i-2+2i ו-−2−2i-2-2i. קודקוד הראש A מתאים למספר −5+3i+k-5+3i+k, kk הוא מספר…

  8. מספרים מרוכבים: תנאי עם חזקה כללית ומצולע בן 12 צלעות (שאלה מלאה · קשה)

    נתונים שני מספרים מרוכבים z1z_1 ו-z2z_2 שמכפלתם היא −21−12i-21-12i. z1=3−2iz_1=3-2i. נתונה המשוואה w3=z1+z2w^3=z_1+z_2, ww הוא משתנה מרוכב.

  9. שורשים מסדר 3, ישר דרך הראשית ושטח מרובע (מודרך) (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה המשוואה: z3=−27z^3=-27. zz הוא משתנה מרוכב.

  10. מספרים מרוכבים: שורשי יחידה מסדר 8, משולש וחזקה מדומה טהורה (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה המשוואה: z4=1z4z^4=\frac{1}{z^4}, zz הוא מספר מרוכב. נתון גם כי המספר z0z_0 הוא אחד מפתרונות המשוואה וכי הוא מיוצג על ידי נקודה ברביע…

  11. שורשים של מספר מדומה, ישר דרך הראשית ופרמטרים במישור גאוס (שאלה מלאה · קשה)

    נתונה המשוואה: z3=64iz^3=64i. zz הוא משתנה מרוכב.

  12. מספרים מרוכבים בהצגה קוטבית: זווית, שורשים רביעיים ושטח משולש (שאלה מלאה · קלה)

    נתונים שלושה מספרים מרוכבים: z1=r⋅(cos⁡α+i⋅sin⁡α)z_1=r\cdot(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha),…

  13. בעיות גאומטריות משולבות וטרנספורמציות במישור (שאלה קצרה · בינונית)

    נתון המספר u=cis(−20∘)u=\text{cis}(-20^\circ). הנקודות A, B ו-C מיוצגות במישור גאוס על ידי המספרים d⋅ud\cdot u, d⋅i⋅ud\cdot i\cdot u ו-d⋅u10d\cdot u^{10}…

  14. מספרים מרוכבים: יחס שטחים כפונקציה של r ו-θ ובעיה הפוכה (שאלה מלאה · קשה)

    נתון מספר מרוכב w=r(cos⁡θ+isin⁡θ)w=r(\cos\theta+i\sin\theta), 0∘<θ<90∘0^\circ<\theta<90^\circ, r>0r>0. מצולע I הוא המצולע שקודקודיו מיוצגים על ידי פתרונות המשוואה…

  15. מספרים מרוכבים: פרבולה, הופכי, שורשים ויחס שטחים במספרים (שאלה מלאה · קלה)

    נתון מספר מרוכב w=r(cos⁡45∘+isin⁡45∘)w=r(\cos45^\circ+i\sin45^\circ), r>0r>0.

  16. מעוין במישור גאוס, מספרים הופכיים ושורשי משוואה (שאלה מלאה · בינונית)

    במעוין ABCD הקודקוד A נמצא ברביע הראשון, והקודקוד B נמצא ברביע השני במישור גאוס. אלכסוני המעוין נפגשים בראשית הצירים. המספר המרוכב zz מייצג…

  17. משולש ושיקופו בציר הממשי: שטח החלק המשותף (שאלה קצרה · קשה)

    הפתרונות של המשוואה z3=8iz^3=8i הם z1=3+iz_1=\sqrt{3}+i, z2=−3+iz_2=-\sqrt{3}+i ו-z3=−2iz_3=-2i, והם מייצגים במישור גאוס את קודקודי המשולש TT.

  18. משוואה עם |z-2| ו-Re z כפרבולה (שאלה קצרה · קלה)

    הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות z=x+iyz=x+iy במישור גאוס המקיימות ∣z−2∣=z+zˉ2+2|z-2|=\frac{z+\bar z}{2}+2 הוא פרבולה, ומצאו את משוואתה.

  19. שורשים מסדר 6, מלבן במישור גאוס וסיבוב: מכפלת הקודקודים (שאלה מלאה · בינונית)

    מצאו את פתרונות המשוואה: z6+64=0z^6+64=0 (zz הוא מספר מרוכב).

  20. משולש שווה שוקיים מ-z/z̄, z̄/z ו-z+k: מעוין ושטח (שאלת ביניים · קשה)

    המספר: z=R(cos⁡α+i⋅sin⁡α)z=R(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha), R>0R>0, נמצא במישור גאוס ברביע השני. נתון: zzˉ=−12−32i\frac{z}{\bar z}=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i, ולכן…

  21. מספרים מרוכבים: שורשים ממעלה שלישית ומשושה (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונים שני מספרים מרוכבים z1z_1 ו-z2z_2 שמכפלתם היא 19+4i19+4i. z1=3+2iz_1=3+2i.

  22. בעיות גאומטריות משולבות וטרנספורמציות במישור (שאלה קצרה · בינונית)

    נתון מספר מרוכב z=3(cos⁡θ+i⋅sin⁡θ)z=3(\cos\theta+i\cdot\sin\theta), 0∘≤θ<360∘0^\circ\le\theta<360^\circ. נתון כי המספרים zz ו-z4z^4 נמצאים על ישר אחד שעובר בראשית…

  23. מספרים מרוכבים: חילוק, שורשים מסדר 4, ישר דרך הראשית ושטח מצולע (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונים שני מספרים מרוכבים z1z_1 ו-z2z_2, שהמנה שלהם היא z1z2=−3−2i\frac{z_1}{z_2}=-3-2i. z1=−5+iz_1=-5+i.

  24. שורשים מסדר 4, נקודות על ישר דרך הראשית ושטח מרובע במישור גאוס (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה המשוואה: z4=−81z^4=-81. zz הוא משתנה מרוכב.

  25. שורשים שלישיים של 2-2i, נקודות על ישר דרך הראשית, שטח מרובע ומשוואה עם צמוד והופכי (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה המשוואה: z3=2−2iz^3=2-2i. zz הוא משתנה מרוכב.

  26. מספרים מרוכבים בהצגה קוטבית: פרמטרים, שורשים שלישיים ושטח דלתון (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונים שלושה מספרים מרוכבים: z1=r⋅(cos⁡α+i⋅sin⁡α)z_1=r\cdot(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha),…

  27. בעיות גאומטריות משולבות וטרנספורמציות במישור (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונה המשוואה z4=−64z^4=-64. zz הוא משתנה מרוכב.

  28. מספרים מרוכבים בהצגה קוטבית: פרמטרים, שורשים מסדר 6 ושטח מרובע במישור גאוס (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונים שלושה מספרים מרוכבים: z1=r⋅(cos⁡α+i⋅sin⁡α)z_1=r\cdot(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha), z2=2r⋅(cos⁡α+i⋅sin⁡α)z_2=\frac2r\cdot(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha),…

  29. מספרים מרוכבים: מקום גאומטרי פרבולה, שורשים, הופכי ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)

    הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות z=x+iyz=x+iy במישור גאוס המקיימות ∣z−2∣=z+zˉ2+2|z-2|=\frac{z+\bar z}{2}+2 הוא פרבולה, ומצאו את משוואתה.

  30. בעיות גאומטריות משולבות וטרנספורמציות במישור (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונה המשוואה ∣z−4∣=z+zˉ2+4|z-4|=\frac{z+\bar z}{2}+4, כאשר z=x+iyz=x+iy הוא משתנה מרוכב.

  31. מספרים מרוכבים: פרבולה שמוקדה בראשית, שורשים, חזקה והופכי ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)

    הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות z=x+iyz=x+iy במישור גאוס המקיימות ∣z∣=z−zˉ2i+4|z|=\frac{z-\bar z}{2i}+4 הוא פרבולה, ומצאו את משוואתה.

  32. שורש יחידה, כפל ב-i וחזקה: קוטר במעגל ושטח משולש (שאלת ביניים · בינונית)

    נתונה המשוואה z6=1z^6=1, zz הוא מספר מרוכב. המספר z0z_0 הוא הפתרון של המשוואה שמיוצג על ידי נקודה ברביע הראשון במישור גאוס.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.