מבחן לדוגמה: מכפלה סקלרית: הגדרה ותכונות - כיתה י"ב 5 יח"ל

הביעו באמצעות $t$ את $\underline{c}\cdot\underline{a}$ ואת $|\underline{c}|^2$.

הביעו באמצעות $\underline v$ ו-$\underline w$ את הווקטור $\overrightarrow{BF}$ ואת הווקטור $\overrightarrow{BC}$.

הסבירו מדוע $EF$ הוא קטע אמצעים במשולש $BCD$, והביעו באמצעות $\underline u$ ו-$\underline v$ את הווקטור $\overrightarrow{DC}$.

הקטע $SE$ הוא גובה הפירמידה. נתון: $|\underline u|=6$.

הסבירו מדוע $\underline u\cdot(\underline w-\underline u)=0$, ומצאו את הערך של $\underline u\cdot\underline w$.

נתון: $EB=5$.

הזווית בין המקצוע $SB$ ובין הבסיס היא הזווית $SBE$. חשבו את גודלה.

נתון: מישור הבסיס מקביל לציר $z$, $E(1,2,0)$, $B(5,5,0)$.

הראו כי הווקטור $(3,-4,0)$ מאונך למישור הבסיס, ומצאו את משוואת המישור.

הביעו באמצעות $t$ את $\underline{c}\cdot\underline{a}$ ואת $|\underline{c}|^2$.

מצאו את כל ערכי $t$ שעבורם הזווית בין $\underline{c}$ ל-$\underline{a}$ היא $30^\circ$.

הביעו את הווקטורים $\overrightarrow{EB}$ ו-$\overrightarrow{ED}$ באמצעות $\underline u$, $\underline v$, $\underline w$ ו-$k$.

מצאו את כל הערכים של $k$ שעבורם $\overrightarrow{EB}$ מאונך ל-$\overrightarrow{ED}$. עבור אחד מהם הניצבות נובעת ישירות מכך שהבסיס מלבן - איזה, ומדוע?

עבור $k=0.5$ (כלומר כאשר $E$ היא אמצע המקצוע $SC$), קבעו אם הזווית $BED$ חדה, ישרה או קהה. נמקו.

הביעו את $\overrightarrow{EB}$ ו-$\overrightarrow{ED}$ באמצעות $\underline u$, $\underline v$ ו-$\underline w$.

הנקודה $M$ מקיימת: $\overrightarrow{CM}=-\frac49\underline u-\frac19\underline v+\frac13\underline w$.

הביעו את $\overrightarrow{EM}$ באמצעות $\underline u$, $\underline v$ ו-$\underline w$.

נתון: $\overrightarrow{EM}=a\cdot\overrightarrow{EB}+b\cdot\overrightarrow{ED}$. $a$ ו-$b$ הם פרמטרים.

נתון כי $|\underline w|=4$ והווקטור $\overrightarrow{CM}$ מאונך למישור $BDE$.

מצאו את הערך של $|\underline u|$ ואת הערך של $|\underline v|$.

חשבו את המרחק בין הנקודה $C$ ובין המישור $BDE$.

הביעו את $\overrightarrow{EA}$ ואת $\overrightarrow{EB}$ באמצעות $\underline{u}$, $\underline{v}$ ו-$t$.

הביעו באמצעות $t$ את המכפלה הסקלרית $\overrightarrow{EA}\cdot\overrightarrow{EB}$.

הוכיחו כי לכל מיקום של הנקודה $E$ על הצלע $DC$ הזווית $AEB$ חדה.