דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

שאלות פתוחות: מכפלה סקלרית: הגדרה ותכונות - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על מכפלה סקלרית - הגדרה ותכונות - לכיתה י"ב, 5 יחידות. יש כאן חישוב מכפלה סקלרית כשנתונים אורכים וזווית, מכפלות בין וקטורים בקובייה, בתיבה ובפירמידה שבסיסה ריבוע, ונקודה שנעה על אלכסון ריבוע לפי פרמטר. רוב השאלות ברמה קלה ובינונית, ויש גם כמה קשות. אפשר לבנות מהן בוחן פתיחה למכפלה הסקלרית או דף עבודה, וכל שאלה מגיעה עם פתרון מלא וייצוא לוורד.

84 שאלותקלה: 45בינונית: 35קשה: 4

שאלה 1 · וקטורים בקובייה במערכת צירים: אלכסון, מפגש תיכונים וישר חיתוךשאלה מלאה · קלה

בסרטוט שלפניכם מתוארת הקובייה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline v, AA′→=w‾\overrightarrow{AA'}=\underline w.

ABCDA'B'C'D'
א.
(1)

הביעו את הווקטורים CA′→\overrightarrow{CA'}, DB→\overrightarrow{DB} ו-DC′→\overrightarrow{DC'} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w.

(2)

הוכיחו כי CA′CA' מאונך ל-DBDB ול-DC′DC', והסיקו כי האלכסון CA′CA' מאונך למישור BC′DBC'D.

ב.

נקודה E היא מפגש התיכונים במשולש BC′DBC'D. ידוע כי הווקטור מנקודה כלשהי אל מפגש התיכונים הוא ממוצע הווקטורים אל שלושת הקודקודים: CE→=13(CB→+CC′→+CD→)\overrightarrow{CE}=\frac13\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CC'}+\overrightarrow{CD}\right).

הראו כי CE→=13CA′→\overrightarrow{CE}=\frac13\overrightarrow{CA'}, והסיקו כי הנקודות C, E ו-A′A' נמצאות על ישר אחד.

ג.

נתון: D(0,0,0)D(0,0,0), A(4,0,0)A(4,0,0), C(0,4,0)C(0,4,0). שיעור ה-zz של הנקודה C′C' הוא חיובי.

מצאו את שיעורי הנקודות B ו-C′C'.

ד.

ℓ\ell הוא ישר החיתוך בין המישור BC′DBC'D ובין המישור BCC′B′BCC'B'.

הסבירו מדוע הנקודות B ו-C′C' נמצאות על ℓ\ell, ומצאו הצגה פרמטרית של הישר ℓ\ell.

ה.

מצאו הצגה פרמטרית של המישור המכיל את הישר ℓ\ell ואינו חותך את ציר ה-yy.

שאלה 2 · מכפלה סקלרית: הגדרה ותכונותשאלה קצרה · בינונית

נתונים שני וקטורים u‾\underline{u} ו-v‾\underline{v} המקיימים ∣u‾∣=3|\underline{u}|=3, ∣v‾∣=4|\underline{v}|=4, והזווית ביניהם היא 60∘60^\circ (ראו סרטוט). מגדירים w‾1=u‾+tv‾\underline{w}_1=\underline{u}+t\underline{v} ו-w‾2=u‾−v‾\underline{w}_2=\underline{u}-\underline{v}, כאשר tt פרמטר ממשי.

uv

מצאו את הערך של tt שעבורו הווקטורים w‾1\underline{w}_1 ו-w‾2\underline{w}_2 מאונכים זה לזה.

שאלה 3 · מכפלה סקלרית: הגדרה ותכונותשאלה קצרה · קשה

ABCDABCD הוא ריבוע שאורך צלעו 44 (ראו סרטוט). הנקודה PP נעה על האלכסון ACAC, כך ש-AP→=t⋅AC→\overrightarrow{AP}=t\cdot\overrightarrow{AC} כאשר 0≤t≤10\le t\le1.

ABCDP

מצאו את הערך הקטן ביותר של המכפלה הסקלרית PA→⋅PB→\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}, ואת מיקום הנקודה PP שעבורו הוא מתקבל.

שאלה 4 · פירמידה ריבועית: הבעת וקטורים, גובה ומישור הבסיסשאלה מלאה · קלה

בסרטוט שלפניכם פירמידה SABCDSABCD שבסיסה ABCDABCD הוא ריבוע. הנקודה EE היא מפגש אלכסוני הבסיס, והנקודה FF היא אמצע המקצוע BCBC.

DCBAESF

נסמן: SE→=u‾\overrightarrow{SE}=\underline u, SF→=v‾\overrightarrow{SF}=\underline v, SB→=w‾\overrightarrow{SB}=\underline w.

א.

הביעו באמצעות v‾\underline v ו-w‾\underline w את הווקטור BF→\overrightarrow{BF} ואת הווקטור BC→\overrightarrow{BC}.

ב.

הסבירו מדוע EFEF הוא קטע אמצעים במשולש BCDBCD, והביעו באמצעות u‾\underline u ו-v‾\underline v את הווקטור DC→\overrightarrow{DC}.

ג.

הקטע SESE הוא גובה הפירמידה. נתון: ∣u‾∣=6|\underline u|=6.

הסבירו מדוע u‾⋅(w‾−u‾)=0\underline u\cdot(\underline w-\underline u)=0, ומצאו את הערך של u‾⋅w‾\underline u\cdot\underline w.

ד.

נתון: EB=5EB=5.

הזווית בין המקצוע SBSB ובין הבסיס היא הזווית SBESBE. חשבו את גודלה.

ה.

נתון: מישור הבסיס מקביל לציר zz, E(1,2,0)E(1,2,0), B(5,5,0)B(5,5,0).

הראו כי הווקטור (3,−4,0)(3,-4,0) מאונך למישור הבסיס, ומצאו את משוואת המישור.

שאלה 5 · מכפלה סקלרית: הגדרה ותכונותשאלה קצרה · בינונית

במקבילית ABCDABCD נתון AB=5AB=5 ו-AD=3AD=3. נסמן AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline{v}.

א.

הביעו את AC→⋅BD→\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD} באמצעות u‾\underline{u} ו-v‾\underline{v}, וחשבו את ערכה. האם הערך תלוי בזווית BADBAD? נמקו.

ב.

נתון כי אורך האלכסון ACAC הוא 77. מצאו את אורך האלכסון BDBD.

שאלה 6 · פירמידה ריבועית: אורכים מתוך מכפלות סקלריות, זווית פאה וקודקוד מהנורמלשאלה מלאה · קשה

בסרטוט שלפניכם פירמידה ישרה SABCDSABCD שבסיסה ABCDABCD הוא ריבוע: הקטע SESE הוא גובה הפירמידה, ו-EE היא מפגש אלכסוני הבסיס. הנקודה FF היא אמצע המקצוע BCBC.

DCBAESF

נסמן: SE→=u‾\overrightarrow{SE}=\underline u, SF→=v‾\overrightarrow{SF}=\underline v, SB→=w‾\overrightarrow{SB}=\underline w.

א.

הביעו את SA→\overrightarrow{SA} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w.

ב.

נתון: u‾⋅w‾=36\underline u\cdot\underline w=36, v‾⋅w‾=45\underline v\cdot\underline w=45.

מצאו את ∣u‾∣|\underline u| ואת ∣v‾∣|\underline v|.

ג.

מצאו את אורך צלע הבסיס ואת הזווית שבין הפאה SBCSBC ובין הבסיס.

ד.

נתון: מישור הבסיס הוא x+2y+2z=5x+2y+2z=5, E(1,0,2)E(1,0,2), ושיעור ה-zz של SS חיובי.

מצאו את שיעורי הקודקוד SS.

שאלה 7 · וקטורים בתיבה: נקודה במישור ומרחק ממישור (עם אורכים נתונים)שאלה מלאה · קלה

בסרטוט שלפניכם תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline v, AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline w. הנקודה EE היא אמצע המקצוע DD′DD'.

AA'DD'BB'CC'E
א.

הביעו את EA→\overrightarrow{EA} ו-EC→\overrightarrow{EC} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w.

ב.

הנקודה MM מקיימת: DM→=49u‾−19v‾+29w‾\overrightarrow{DM}=\frac49\underline u-\frac19\underline v+\frac29\underline w.

הביעו את EM→\overrightarrow{EM} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w.

ג.
(1)

הראו כי EM→=19EA→+49EC→\overrightarrow{EM}=\frac19\overrightarrow{EA}+\frac49\overrightarrow{EC}.

(2)

האם הנקודה MM נמצאת במישור AECAEC? נמקו את תשובתכם.

ד.

נתון: ∣u‾∣=2|\underline u|=2, ∣v‾∣=4|\underline v|=4, ∣w‾∣=4|\underline w|=4.

הראו כי DM→\overrightarrow{DM} מאונך ל-EA→\overrightarrow{EA} ול-EC→\overrightarrow{EC}, והסיקו כי DM→\overrightarrow{DM} מאונך למישור AECAEC.

ה.

חשבו את המרחק בין הנקודה DD ובין המישור AECAEC.

שאלה 8 · מכפלה סקלרית: הגדרה ותכונותשאלה קצרה · בינונית

נתונים שני וקטורי יחידה a‾\underline{a} ו-b‾\underline{b} (∣a‾∣=∣b‾∣=1|\underline{a}|=|\underline{b}|=1) שהזווית ביניהם היא 60∘60^\circ. לכל מספר ממשי tt מגדירים c‾=a‾+tb‾\underline{c}=\underline{a}+t\underline{b}.

א.

הביעו באמצעות tt את c‾⋅a‾\underline{c}\cdot\underline{a} ואת ∣c‾∣2|\underline{c}|^2.

ב.

מצאו את כל ערכי tt שעבורם הזווית בין c‾\underline{c} ל-a‾\underline{a} היא 30∘30^\circ.

שאלה 9 · וקטורים בתיבה: מציאת עקב האנך, מרחק ושיקוף במישורשאלה מלאה · קשה

בסרטוט שלפניכם תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'. נסמן: AD→=u‾\overrightarrow{AD}=\underline u, AB→=v‾\overrightarrow{AB}=\underline v, AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline w. נתון: ∣u‾∣=1|\underline u|=1, ∣v‾∣=2|\underline v|=2, ∣w‾∣=2|\underline w|=2. הנקודה EE היא אמצע המקצוע BB′BB'. MM היא הנקודה במישור AECAEC שעבורה BM→\overrightarrow{BM} מאונך למישור AECAEC.

AA'DD'BB'CC'E
א.

הביעו את EA→\overrightarrow{EA} ו-EC→\overrightarrow{EC} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w.

ב.

הביעו את BM→\overrightarrow{BM} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w.

ג.

חשבו את המרחק בין הנקודה BB ובין המישור AECAEC.

ד.

הנקודה NN היא השיקוף של הנקודה BB ביחס למישור AECAEC. הביעו את AN→\overrightarrow{AN} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w, וקבעו אם NN נמצאת בתוך התיבה. נמקו.

שאלה 10 · פיתוח מכפלה סקלרית של צירוף וקטוריםשאלה קצרה · קלה

נתונים שני וקטורי יחידה a‾\underline{a} ו-b‾\underline{b} (∣a‾∣=∣b‾∣=1|\underline{a}|=|\underline{b}|=1) שהזווית ביניהם היא 60∘60^\circ. לכל מספר ממשי tt מגדירים c‾=a‾+tb‾\underline{c}=\underline{a}+t\underline{b}.

הביעו באמצעות tt את c‾⋅a‾\underline{c}\cdot\underline{a} ואת ∣c‾∣2|\underline{c}|^2.

עוד 9 שאלות על מכפלה סקלרית: הגדרה ותכונות

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

  1. מנסרה ישרה שבסיסה מעוין: וקטור מאונך למישור, גובה, נפח ושיעורי נקודה (שאלה מלאה · בינונית)

    בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', שבסיסה הוא מעוין ABCDABCD. נקודה FF נמצאת על המישור ACD′ACD' כך ש:…

  2. סימן המכפלה הסקלרית וזווית חדה במקבילית (שאלת ביניים · קשה)

    במקבילית ABCDABCD נתון: AB=4AB=4, AD=3AD=3, ∠BAD=60∘\angle BAD=60^\circ. הנקודה EE נמצאת על הצלע DCDC כך…

  3. וקטורים בקובייה: האלכסון BD' והמשולש ACB' (שאלה מלאה · בינונית)

    בסרטוט שלפניכם מתוארת הקובייה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline v,…

  4. פירמידה ריבועית: הבעת וקטורים, מכפלה סקלרית, זווית עם הבסיס ומישור הבסיס (שאלה מלאה · בינונית)

    בסרטוט שלפניכם פירמידה SABCDSABCD שבסיסה ABCDABCD הוא ריבוע. הנקודה EE היא מפגש אלכסוני הבסיס, והנקודה FF היא אמצע המקצוע ADAD. נסמן:…

  5. פירמידה שבסיסה מקבילית: וקטורים, ניצבות ומישור המקביל למקצוע (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא מקבילית. SA הוא גובה הפירמידה. הנקודה N היא אמצע המקצוע SC. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u},…

  6. מנסרה שבסיסה מקבילית: וקטורים, ניצבות ומישור המקביל לאלכסון פאה (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה מנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' שבסיסה ABCDABCD הוא מקבילית. הנקודה KK היא אמצע הצלע BCBC. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u},…

  7. וקטורים בתיבה: נקודה במישור אלכסוני, אנך ומרחק (שאלה מלאה · בינונית)

    בסרטוט שלפניכם תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline v, AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline w. הנקודה EE נמצאת על…

  8. וקטורים בפירמידה: נקודה במישור, אנך למישור ומרחק הקודקוד מהמישור (שאלה מלאה · בינונית)

    בסרטוט שלפניכם פירמידה SABCDSABCD שבסיסה ABCDABCD הוא מלבן. המקצוע SASA מאונך למישור הבסיס. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u,…

  9. מכפלה סקלרית בפירמידה: ניצבות וסוג זווית (שאלת ביניים · בינונית)

    נתונה פירמידה SABCDSABCD שבסיסה ABCDABCD הוא מלבן. המקצוע SASA מאונך לבסיס הפירמידה. הנקודה EE נמצאת על המקצוע SCSC ומקיימת…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (60)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.