מבחן לדוגמה: ניצבות והוכחת משפטים בעזרת מכפלה סקלרית - כיתה י"ב 5 יח"ל

חשבו את $\vec{a}\cdot\vec{b}$.

מצאו את הזווית בין $\vec{a}$ ל-$\vec{b}$.

נקודה E היא מפגש התיכונים במשולש $BC'D$. ידוע כי הווקטור מנקודה כלשהי אל מפגש התיכונים הוא ממוצע הווקטורים אל שלושת הקודקודים: $\overrightarrow{CE}=\frac13\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CC'}+\overrightarrow{CD}\right)$.

הראו כי $\overrightarrow{CE}=\frac13\overrightarrow{CA'}$, והסיקו כי הנקודות C, E ו-$A'$ נמצאות על ישר אחד.

נתון: $D(0,0,0)$, $A(4,0,0)$, $C(0,4,0)$. שיעור ה-$z$ של הנקודה $C'$ הוא חיובי.

מצאו את שיעורי הנקודות B ו-$C'$.

$\ell$ הוא ישר החיתוך בין המישור $BC'D$ ובין המישור $BCC'B'$.

הסבירו מדוע הנקודות B ו-$C'$ נמצאות על $\ell$, ומצאו הצגה פרמטרית של הישר $\ell$.

מצאו הצגה פרמטרית של המישור המכיל את הישר $\ell$ ואינו חותך את ציר ה-$y$.

הביעו באמצעות $\underline{u}$, $\underline{v}$ ו-$\underline{w}$ את הווקטור $\overrightarrow{DN}$.

נתון כי $\overrightarrow{DN}$ מאונך ל-$\overrightarrow{BC}$. הוכיחו כי $|\underline{u}|=|\underline{v}|$, כלומר המשולש ABC שווה שוקיים.

קבעו מהו סוג המשולש $ABC$. נמקו את תשובתכם.

נתון: הקטע $SE$ הוא גובה בפירמידה והאורך שלו הוא 12. $A(0,0,0)$, $B(5,12,0)$. הקודקוד $C$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה-$x$, ושיעור ה-$z$ של הקודקוד $S$ הוא חיובי.

מצאו את שיעורי הקודקודים $C$ ו-$S$.

הנקודה $F$ נמצאת על המקצוע $SC$ כך ש-$\overrightarrow{SF}=t\cdot\overrightarrow{SC}$, כאשר $0<t<1$. דרך הנקודה $F$ מעבירים ישר המקביל לישר $AC$, וחותך את המישור $ABS$ בנקודה $M$.

הביעו באמצעות $t$ את שיעורי הנקודה $M$.

נתון כי נפח הפירמידה $MABC$ גדול פי 6 מנפח הפירמידה $SMFB$.

מצאו את הערך של $t$.

הביעו את $\overrightarrow{DF}$ באמצעות $\underline u$, $\underline v$, $\underline w$ ו-$t$.

מצאו את $t$.

חשבו את נפח המנסרה.

הביעו באמצעות $\underline u$, $\underline v$, $\underline w$ ו-$k$ את הווקטור $\overrightarrow{EN}$.

מצאו את הערך של $k$ שעבורו אורך הקטע EN הוא הקטן ביותר, והביעו אורך זה באמצעות $|\underline w|$. מהי הזווית בין EN ל-SC עבור ערך זה של $k$? נמקו.

ממקמים את הפירמידה במערכת צירים כך ש-$A(0,0,0)$, $B(0,6,0)$. הקודקוד D נמצא על החלק החיובי של ציר ה-$x$, והקודקוד S נמצא על החלק החיובי של ציר ה-$z$.

הביעו באמצעות $k$ את משוואת המישור ENB.