שאלות פתוחות: ניצבות והוכחת משפטים בעזרת מכפלה סקלרית - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על ניצבות והוכחת משפטים בעזרת מכפלה סקלרית, לכיתה י"ב, 5 יחידות. השאלות כוללות מציאת זווית כשידוע ששני צירופים מאונכים, הוכחה שקטעים בתיבה, בקובייה ובפירמידה מאונכים זה לזה, ושאלות על מנסרה ישרה שבסיסה מעוין או ריבוע. זה שיעור גדול, עם שאלות ברמה קלה ובינונית ומעט קשות. אפשר להרכיב ממנו מבחן או דף עבודה בהוכחות, עם פתרונות מלאים וייצוא לוורד.

134 שאלותקלה: 62בינונית: 63קשה: 9

שאלה 1 · ניצבות והוכחת משפטים בעזרת מכפלה סקלריתשאלה קצרה · קלה

נתונים הווקטורים a→\vec{a}a ו-b→\vec{b}b המקיימים ∣a→∣=4|\vec{a}|=4∣a∣=4 ו-∣b→∣=2|\vec{b}|=2∣b∣=2. ידוע כי הווקטורים a→+3b→\vec{a}+3\vec{b}a+3b ו-2a→−b→2\vec{a}-\vec{b}2a−b מאונכים זה לזה.

א.

חשבו את a→⋅b→\vec{a}\cdot\vec{b}a⋅b.

ב.

מצאו את הזווית בין a→\vec{a}a ל-b→\vec{b}b.

שאלה 2 · ניצבות והוכחת משפטים בעזרת מכפלה סקלריתשאלה קצרה · בינונית

נתונה תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ (הקודקודים A′A'A′, B′B'B′, C′C'C′, D′D'D′ נמצאים מעל AAA, BBB, CCC, DDD בהתאמה). נסמן: AB→=u→\overrightarrow{AB}=\vec{u}AB=u, AD→=v→\overrightarrow{AD}=\vec{v}AD=v, AA′→=w→\vec{AA'}=\vec{w}AA′=w. נתון: ∣w→∣=4|\vec{w}|=4∣w∣=4. הנקודה EEE נמצאת על המקצוע AA′AA'AA′ כך ש-AE:EA′=1:3AE:EA'=1:3AE:EA′=1:3. נתון כי האלכסון DB′DB'DB′ מאונך למישור BC′EBC'EBC′E. (ראו סרטוט).
uvwABCDA'B'C'D'E

חשבו את ∣u→∣|\vec{u}|∣u∣ ואת ∣v→∣|\vec{v}|∣v∣.

שאלה 3 · עקב הגובה בפירמידה שמקצועותיה מאונכים, כפונקציה של יחס המקצועותשאלה מלאה · קשה

נתונה פירמידה OABC שבסיסה משולש ABC. נסמן: OA→=u‾\overrightarrow{OA}=\underline{u}OA=u​ , OB→=v‾\overrightarrow{OB}=\underline{v}OB=v​ , OC→=w‾\overrightarrow{OC}=\underline{w}OC=w​. נתון: ∠AOB=∠BOC=∠COA=90∘\angle AOB=\angle BOC=\angle COA=90^\circ∠AOB=∠BOC=∠COA=90∘, ∣u‾∣=∣v‾∣|\underline{u}|=|\underline{v}|∣u​∣=∣v​∣, ∣w‾∣=m∣u‾∣|\underline{w}|=m|\underline{u}|∣w​∣=m∣u​∣, m>0m>0m>0 הוא פרמטר. הנקודה H מקיימת: OH→=tu‾+sv‾+kw‾\overrightarrow{OH}=t\underline{u}+s\underline{v}+k\underline{w}OH=tu​+sv​+kw​, ו-OH→\overrightarrow{OH}OH מאונך לבסיס ABC.

א.

הביעו את sss ואת kkk באמצעות ttt ו-mmm.

ב.

הישר OH חותך את הבסיס ABC בנקודה M. הביעו את OM→\overrightarrow{OM}OM באמצעות u‾\underline{u}u​, v‾\underline{v}v​, w‾\underline{w}w​ ו-mmm.

ג.

הנקודה D היא אמצע הצלע AB. הראו כי לכל mmm הנקודה M נמצאת על התיכון CD, ומצאו את mmm שבעבורו CM:MD=4:1CM:MD=4:1CM:MD=4:1.

ד.

הציבו m=2m=\sqrt2m=2​. ממקמים את הפירמידה במערכת צירים: O בראשית, והנקודות A, B, C על החלקים החיוביים של הצירים xxx, yyy, zzz בהתאמה. נתון כי אורך הגובה OM הוא 2.

מצאו את ∣u‾∣|\underline{u}|∣u​∣ ואת נפח הפירמידה OABC.

שאלה 4 · פירמידה בשיעורים: גובה, מישור הבסיס ונקודה לפי נפחשאלה מלאה · קלה

נתונה הפירמידה OABC: O(0,0,0)O(0,0,0)O(0,0,0), A(6,0,0)A(6,0,0)A(6,0,0), B(0,6,0)B(0,6,0)B(0,6,0), C(0,0,6)C(0,0,6)C(0,0,6). הנקודה M היא נקודת המפגש של תיכוני הבסיס ABC.

א.

מצאו את שיעורי הנקודה M.

ב.

הראו כי OM→\overrightarrow{OM}OM מאונך ל-AB→\overrightarrow{AB}AB ול-AC→\overrightarrow{AC}AC, והסבירו מדוע OM הוא גובה הפירמידה לבסיס ABC.

ג.

מצאו את משוואת המישור ABC.

ד.

הנקודה P נמצאת על הישר OM. מצאו את שיעורי P שבעבורם נפח הפירמידה PABC כפול מנפח הפירמידה OABC (שתי אפשרויות).

שאלה 5 · פירמידה שמקצועותיה מאונכים ושונים באורכם: עקב הגובה, נקודה לפי נפח, ישר ומישורשאלה מלאה · בינונית

נתונה פירמידה OABC שבסיסה משולש ABC. נסמן: OA→=u‾\overrightarrow{OA}=\underline{u}OA=u​ , OB→=v‾\overrightarrow{OB}=\underline{v}OB=v​ , OC→=w‾\overrightarrow{OC}=\underline{w}OC=w​. נתון: ∣u‾∣=∣v‾∣=2∣w‾∣|\underline{u}|=|\underline{v}|=2|\underline{w}|∣u​∣=∣v​∣=2∣w​∣, ∠AOB=∠BOC=∠COA=90∘\angle AOB=\angle BOC=\angle COA=90^\circ∠AOB=∠BOC=∠COA=90∘. הנקודה H מקיימת: OH→=tu‾+sv‾+kw‾\overrightarrow{OH}=t\underline{u}+s\underline{v}+k\underline{w}OH=tu​+sv​+kw​. ttt, sss ו-kkk הם פרמטרים. נתון כי OH→\overrightarrow{OH}OH מאונך לבסיס ABC של הפירמידה.

א.

הוכיחו כי: s=ts=ts=t ו-k=4tk=4tk=4t.

ב.

הנקודה D היא אמצע הצלע AB. הנקודה M נמצאת בבסיס ABC של הפירמידה, על התיכון CD, כך ש-CM:MD=1:2CM:MD=1:2CM:MD=1:2.

הוכיחו כי: OM→=16u‾+16v‾+23w‾\overrightarrow{OM}=\frac16\underline{u}+\frac16\underline{v}+\frac23\underline{w}OM=61​u​+61​v​+32​w​, והסבירו מדוע OM הוא גובה לבסיס ABC של הפירמידה.

ג.

הנקודה P נמצאת על הישר ℓ\ellℓ שעליו מונח הגובה לבסיס ABC.

הביעו באמצעות u‾\underline{u}u​ , v‾\underline{v}v​ , w‾\underline{w}w​, את הווקטור OP→\overrightarrow{OP}OP שבעבורו נפח הפירמידה PABC גדול פי 3 מנפח הפירמידה OABC (שתי אפשרויות).

ד.

ממקמים את הפירמידה OABC במערכת צירים. הנקודה O נמצאת בראשית הצירים, הנקודה A נמצאת על החלק החיובי של ציר ה-xxx, הנקודה B על החלק החיובי של ציר ה-yyy, והנקודה C על החלק החיובי של ציר ה-zzz. נתון: ∣w‾∣=a|\underline{w}|=a∣w​∣=a.

מצאו את ההצגה הפרמטרית של הישר ℓ\ellℓ שעליו נמצא הקטע OP.

ה.

הביעו באמצעות aaa את משוואת המישור ABC.

ו.

נתון כי נפח הפירמידה OABC הוא 181818. חשבו את aaa.

שאלה 6 · מנסרה שבסיסה מעוין עם זווית לא ידועה: מקדמי הניצב למישור כפונקציה של הזוויתשאלה מלאה · קשה

בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′, שבסיסה הוא מעוין ABCDABCDABCD שאורך צלעו 2. נתון: ∠ADC=α\angle ADC=\alpha∠ADC=α (0∘<α<180∘0^\circ<\alpha<180^\circ0∘<α<180∘), וגובה המנסרה DD′=6DD'=\sqrt6DD′=6​.
הנקודה FFF נמצאת על המישור ACD′ACD'ACD′ כך ש: D′F→=tD′A→+sD′C→\vec{D'F}=t\vec{D'A}+s\vec{D'C}D′F=tD′A+sD′C, ו-DFDFDF מאונך למישור ACD′ACD'ACD′.
נסמן: DA→=u‾\overrightarrow{DA}=\underline uDA=u​, DC→=v‾\overrightarrow{DC}=\underline vDC=v​, DD′→=w‾\vec{DD'}=\underline wDD′=w​.
ABCDA'B'C'D'

א.

הביעו את ttt ואת sss באמצעות α\alphaα.

ב.

מצאו את α\alphaα שבעבורה FFF היא נקודת מפגש התיכונים של המשולש ACD′ACD'ACD′.

ג.

עבור α\alphaα שמצאתם בסעיף ב, חשבו את נפח המנסרה ואת המרחק של הקודקוד DDD מהמישור ACD′ACD'ACD′.

ד.

מצאו את כל הערכים ש-ttt יכול לקבל כאשר α\alphaα משתנה.

שאלה 7 · מנסרה ישרה שבסיסה ריבוע: גובה מתוך ניצבות למישורשאלה מלאה · קלה

בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′, שבסיסה הוא ריבוע ABCDABCDABCD שאורך צלעו 6.
הנקודה FFF נמצאת על המישור ACD′ACD'ACD′ כך ש: D′F→=13D′A→+13D′C→\vec{D'F}=\frac13\vec{D'A}+\frac13\vec{D'C}D′F=31​D′A+31​D′C.
נסמן: DA→=u‾\overrightarrow{DA}=\underline uDA=u​, DC→=v‾\overrightarrow{DC}=\underline vDC=v​, DD′→=w‾\vec{DD'}=\underline wDD′=w​.
ABCDA'B'C'D'

א.

הביעו את D′A→\vec{D'A}D′A, D′C→\vec{D'C}D′C ו-DF→\overrightarrow{DF}DF באמצעות u‾\underline uu​, v‾\underline vv​ ו-w‾\underline ww​.

ב.

נתון: DFDFDF מאונך ל-D′AD'AD′A.

מצאו את גובה המנסרה ∣w‾∣|\underline w|∣w​∣.

ג.

הראו כי DFDFDF מאונך למישור ACD′ACD'ACD′, וחשבו את נפח המנסרה.

ד.

נתון: הנקודה DDD היא ראשית הצירים, הקודקוד AAA נמצא על החלק החיובי של ציר ה-xxx, הקודקוד CCC נמצא על החלק החיובי של ציר ה-yyy, והקודקוד D′D'D′ נמצא על החלק החיובי של ציר ה-zzz.

מצאו את שיעורי הנקודה FFF ואת המרחק של הקודקוד DDD מהמישור ACD′ACD'ACD′.

שאלה 8 · ניצבות והוכחת משפטים בעזרת מכפלה סקלריתשאלה קצרה · בינונית

ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ היא קובייה. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}AB=u​, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline{v}AD=v​, AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline{w}AA′=w​.

א.

הביעו באמצעות u‾\underline{u}u​, v‾\underline{v}v​, w‾\underline{w}w​ את הווקטורים AC′→\vec{AC'}AC′, BD→\overrightarrow{BD}BD ו-BA′→\vec{BA'}BA′.

ב.

הוכיחו כי האלכסון AC′AC'AC′ מאונך למישור A′BDA'BDA′BD.

שאלה 9 · אלכסון של תיבה ומישור משולש: מתי ניצב ואיפה נחתךשאלה מלאה · קשה

בסרטוט שלפניכם תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ שבסיסה ABCD הוא ריבוע, ו-AA′=k⋅ABAA'=k\cdot ABAA′=k⋅AB (k>0k>0k>0). נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline uAB=u​, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline vAD=v​, AA′→=w‾\overrightarrow{AA'}=\underline wAA′=w​.
ABCDA'B'C'D'

א.

מצאו את הערך של kkk שעבורו האלכסון CA′CA'CA′ מאונך למישור BC′DBC'DBC′D.

ב.

בסעיף זה kkk הוא מספר חיובי כלשהו. האלכסון CA′CA'CA′ חותך את המישור BC′DBC'DBC′D בנקודה E. הוכיחו כי E היא מפגש התיכונים במשולש BC′DBC'DBC′D, ומצאו את היחס CE:EA′CE:EA'CE:EA′.

ג.

נתון: kkk הוא הערך שמצאתם בסעיף א, D(0,0,0)D(0,0,0)D(0,0,0), C(2,2,1)C(2,2,1)C(2,2,1), A(2,n,p)A(2,n,p)A(2,n,p), p<0p<0p<0.

מצאו את שיעורי הנקודה A.

ד.

שיעור ה-zzz של הנקודה A′A'A′ הוא שלילי.

מצאו את שיעורי הנקודה E (מסעיף ב).

ה.

מצאו את משוואת המישור BC′DBC'DBC′D.

שאלה 10 · וקטורים בקובייה במערכת צירים: אלכסון, מפגש תיכונים וישר חיתוךשאלה מלאה · קלה

בסרטוט שלפניכם מתוארת הקובייה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline uAB=u​, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline vAD=v​, AA′→=w‾\overrightarrow{AA'}=\underline wAA′=w​.
ABCDA'B'C'D'

א.

(1)

הביעו את הווקטורים CA′→\overrightarrow{CA'}CA′, DB→\overrightarrow{DB}DB ו-DC′→\overrightarrow{DC'}DC′ באמצעות u‾\underline uu​, v‾\underline vv​ ו-w‾\underline ww​.

(2)

הוכיחו כי CA′CA'CA′ מאונך ל-DBDBDB ול-DC′DC'DC′, והסיקו כי האלכסון CA′CA'CA′ מאונך למישור BC′DBC'DBC′D.

ב.

נקודה E היא מפגש התיכונים במשולש BC′DBC'DBC′D. ידוע כי הווקטור מנקודה כלשהי אל מפגש התיכונים הוא ממוצע הווקטורים אל שלושת הקודקודים: CE→=13(CB→+CC′→+CD→)\overrightarrow{CE}=\frac13\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CC'}+\overrightarrow{CD}\right)CE=31​(CB+CC′+CD).

הראו כי CE→=13CA′→\overrightarrow{CE}=\frac13\overrightarrow{CA'}CE=31​CA′, והסיקו כי הנקודות C, E ו-A′A'A′ נמצאות על ישר אחד.

ג.

נתון: D(0,0,0)D(0,0,0)D(0,0,0), A(4,0,0)A(4,0,0)A(4,0,0), C(0,4,0)C(0,4,0)C(0,4,0). שיעור ה-zzz של הנקודה C′C'C′ הוא חיובי.

מצאו את שיעורי הנקודות B ו-C′C'C′.

ד.

ℓ\ellℓ הוא ישר החיתוך בין המישור BC′DBC'DBC′D ובין המישור BCC′B′BCC'B'BCC′B′.

הסבירו מדוע הנקודות B ו-C′C'C′ נמצאות על ℓ\ellℓ, ומצאו הצגה פרמטרית של הישר ℓ\ellℓ.

ה.

מצאו הצגה פרמטרית של המישור המכיל את הישר ℓ\ellℓ ואינו חותך את ציר ה-yyy.

עוד 26 שאלות על ניצבות והוכחת משפטים בעזרת מכפלה סקלרית

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

מנסרה ישרה שבסיסה מעוין: וקטור מאונך למישור, גובה, נפח ושיעורי נקודה (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ , שבסיסה הוא מעוין $ABCD$ . נקודה $F$ נמצאת על המישור $ACD'$ כך ש:…
וקטורים בתיבה: עקב האנך לאלכסון ואנך שפוגע בפאה (שאלה מלאה · קשה)
נתונה תיבה $ABCDA'B'C'D'$ שהבסיס שלה, $ABCD$ , הוא מלבן (ראו סרטוט). אורכי המקצועות: $AB=8$ , $AD=6$ , $AA'=10$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע…
פירמידה ריבועית: הבעת וקטורים, גובה ומישור הבסיס (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע. הנקודה $E$ היא מפגש אלכסוני הבסיס, והנקודה $F$ היא אמצע המקצוע $BC$ . נסמן:…
ניצבות והוכחת משפטים בעזרת מכפלה סקלרית (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ , שבסיסה הוא מעוין $ABCD$ שאורך צלעו 6, ו- $\angle BAD=60^\circ$ . גובה המנסרה 3. נסמן:…
פירמידה ריבועית: אורכים מתוך מכפלות סקלריות, זווית פאה וקודקוד מהנורמל (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה ישרה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע: הקטע $SE$ הוא גובה הפירמידה, ו- $E$ היא מפגש אלכסוני הבסיס. הנקודה $F$ היא אמצע…
וקטורים בתיבה: נקודה במישור ומרחק ממישור (עם אורכים נתונים) (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ , $\overrightarrow{AD}=\underline v$ , $\vec{AA'}=\underline w$ . הנקודה $E$ היא אמצע…
וקטורים בקובייה: האלכסון BD' והמשולש ACB' (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתוארת הקובייה $ABCDA'B'C'D'$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ , $\overrightarrow{AD}=\underline v$ ,…
וקטורים בתיבה: מציאת עקב האנך, מרחק ושיקוף במישור (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . נסמן: $\overrightarrow{AD}=\underline u$ , $\overrightarrow{AB}=\underline v$ , $\vec{AA'}=\underline w$ . נתון:…
הוכחת ניצבות בעזרת מכפלה סקלרית: משפט התיכון ליתר (שאלה קצרה · קלה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה משולשת $SABC$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $BC$ . נסמן $\overrightarrow{EB}=\underline{u}$ ,…
ניצבות והוכחת משפטים בעזרת מכפלה סקלרית (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם הפירמידה המשולשת ABCD, שכל מקצועותיה שווים באורכם ( $a$ ). נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ ,…
וקטורים בפירמידה: מינימום, מישור בפרמטר ומישורים מאונכים (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא ריבוע. המקצוע AS הוא גובה בפירמידה, ואורכו שווה לאורך צלע הריבוע. הנקודה E היא אמצע המקצוע SD.…
פירמידה ריבועית: הבעת וקטורים, מכפלה סקלרית, זווית עם הבסיס ומישור הבסיס (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע. הנקודה $E$ היא מפגש אלכסוני הבסיס, והנקודה $F$ היא אמצע המקצוע $AD$ . נסמן:…
אורכי מקצועות תיבה מניצבות אלכסון למישור (שאלה קצרה · קשה)
נתונה תיבה $ABCDA'B'C'D'$ (הקודקודים $A'$ , $B'$ , $C'$ , $D'$ נמצאים מעל $A$ , $B$ , $C$ , $D$ בהתאמה). נסמן: $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$ ,…
פירמידה שבסיסה מקבילית: וקטורים, ניצבות ומישור המקביל למקצוע (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא מקבילית. SA הוא גובה הפירמידה. הנקודה N היא אמצע המקצוע SC. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$ ,…
אנך למישור במנסרה שבסיסה מעוין (שאלת ביניים · קשה)
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ , שבסיסה הוא מעוין $ABCD$ . נקודה $F$ נמצאת על המישור $ACD'$ כך ש:…
ניצבות והוכחת משפטים בעזרת מכפלה סקלרית (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה פירמידה DABC שבה המקצוע DA מאונך למישור ABC. N היא אמצע המקצוע BC. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$ ,…
מנסרה שבסיסה מקבילית: וקטורים, ניצבות ומישור המקביל לאלכסון פאה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא מקבילית. הנקודה $K$ היא אמצע הצלע $BC$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$ ,…
פירמידה משולשת: ניצבות התיכון, ישר מקביל ויחס נפחים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה משולשת $SABC$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $BC$ . נסמן $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$ ,…
פירמידה משולשת: נקודה משתנה על מקצוע ויחס נפחים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה משולשת $SABC$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $BC$ . נסמן $\overrightarrow{EC}=\underline{v}$ ,…
ניצבות והוכחת משפטים בעזרת מכפלה סקלרית (שאלה קצרה · בינונית)
$ABCD$ מקבילית. נסמן $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$ , $\overrightarrow{AD}=\underline{v}$ . נתון:…
פירמידה משולשת: זווית ישרה בבסיס, ישר מקביל ויחס נפחים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה משולשת $SABC$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $BC$ . נסמן $\overrightarrow{EB}=\underline{u}$ ,…
וקטורים בתיבה: נקודה במישור אלכסוני, אנך ומרחק (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ , $\overrightarrow{AD}=\underline v$ , $\vec{AA'}=\underline w$ . הנקודה $E$ נמצאת על…
ניצבות והוכחת משפטים בעזרת מכפלה סקלרית (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ , $\overrightarrow{AD}=\underline v$ , $\vec{AA'}=\underline w$ , ונתון…
וקטורים בפירמידה: נקודה במישור, אנך למישור ומרחק הקודקוד מהמישור (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא מלבן. המקצוע $SA$ מאונך למישור הבסיס. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ ,…
מניצבות במנסרה ליחס בין אורכי צלעות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא מקבילית. הנקודה $K$ היא אמצע הצלע $BC$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$ ,…
ישר המאונך למישור בפירמידה (שאלת ביניים · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCS$ . הנקודה $D$ היא אמצע המקצוע $BC$ . הנקודה $N$ נמצאת על $SD$ כך ש- $\overrightarrow{SN}=\frac13\overrightarrow{SD}$ . המקצוע $AS$ הוא…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

פירמידה שמקצועותיה מאונכים בקודקוד: גובה, נקודה לפי נפח, ישר ומישור · בגרות 572 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 2
נתונה פירמידה OABC שבסיסה משולש ABC. נסמן: $\overrightarrow{OA}=\underline{u}$ , $\overrightarrow{OB}=\underline{v}$ , $\overrightarrow{OC}=\underline{w}$ . נתון:…
מנסרה ישרה שבסיסה מעוין: וקטור מאונך למישור, גובה, נפח ושיעורי נקודה · בגרות 572 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 2
נתונה מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ , שבסיסה הוא מעוין $ABCD$ (ראה סרטוט). נקודה $F$ נמצאת על המישור $ACD'$ כך ש: $\vec{D'F}=t\vec{D'A}+\frac14\vec{D'C}$ , $t$ הוא…
וקטורים בקובייה: אלכסון מאונך למישור, מפגש תיכונים, ישר ומישור · בגרות 572 קיץ 2023 מועד א', שאלה 2
בסרטוט שלפניכם מתוארת הקובייה $ABCDA'B'C'D'$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ , $\overrightarrow{AD}=\underline v$ , $\overrightarrow{AA'}=\underline w$ .
פירמידה ריבועית: הבעת וקטורים, מכפלה סקלרית, זווית עם הבסיס ומישור הבסיס · בגרות 572 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 2
בסרטוט שלפניכם פירמידה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע. הנקודה $E$ היא מפגש אלכסוני הבסיס, והנקודה $F$ היא אמצע המקצוע $BC$ . נסמן:…
פירמידה שבסיסה מקבילית: וקטורים, ניצבות ומישור המקביל למקצוע · בגרות 572 קיץ 2025 מועד א', שאלה 2
נתונה פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא מקבילית. SA הוא גובה הפירמידה. הנקודה M היא אמצע האלכסון BD. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$ ,…
פירמידה משולשת: ניצבות, קודקודים, ישר מקביל ויחס נפחים · בגרות 572 חורף 2025, שאלה 2
בסרטוט שלפניכם פירמידה משולשת $SABC$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $BC$ . נסמן $\overrightarrow{EC}=\underline{v}$ , $\overrightarrow{AE}=\underline{u}$ . נתון:…
וקטורים בתיבה: נקודה במישור, אנך למישור ומרחק נקודה ממישור · בגרות 572 קיץ 2026 מועד א', שאלה 2
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . נסמן: $\overrightarrow{AD}=\underline u$ , $\overrightarrow{AB}=\underline v$ , $\vec{AA'}=\underline w$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $BB'$ .

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (91)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

מכפלה סקלרית מקוצרת: (u+v)² ו-(u+v)·(u−v) (שאלה קצרה · קלה)
שלושה וקטורים $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , $\vec{w}$ מקיימים $\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}=\vec{0}$ . נתון: $|\vec{u}|=3$ ,…
ניצבות בין שני וקטורים (שאלה קצרה · בינונית)
$\vec{u}$ ו- $\vec{v}$ הם וקטורים שאורך כל אחד מהם $1$ , והזווית ביניהם $120^\circ$ .
נפח בעזרת וקטורים: הוכחה שוקטור הוא גובה (שאלה קצרה · בינונית)
בפירמידה $DABC$ נסמן $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$ , $\overrightarrow{AC}=\vec{v}$ , $\overrightarrow{AD}=\vec{w}$ . נתון:…
חישובי שטחים בעזרת מכפלה סקלרית (שאלה קצרה · בינונית)
בטרפז $ABCD$ ( $AB\parallel DC$ ) נסמן $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$ , $\overrightarrow{AD}=\vec{v}$ , ונתון $\overrightarrow{DC}=\frac12\vec{u}$ .…
מכפלה סקלרית מקוצרת: (u+v)² ו-(u+v)·(u−v) (שאלה קצרה · בינונית)
נתונים שני וקטורים $\vec{u}$ ו- $\vec{v}$ שאינם וקטורי האפס. נתון: $|\vec{u}+\vec{v}|=|\vec{u}|$ …
ניצבות בין שני וקטורים (שאלה קצרה · קלה)
נתון ריבוע $ABCD$ שאורך צלעו $2$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$ , $\overrightarrow{AD}=\vec{v}$ . הנקודה…
ניצבות בין שני וקטורים (שאלה קצרה · קלה)
נתונים שני וקטורי יחידה $\vec{a}$ ו- $\vec{b}$ ( $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$ ), והזווית ביניהם $60^\circ$ .
ניצבות בין שני וקטורים (שאלה קצרה · בינונית)
נתון ריבוע $ABCD$ שאורך צלעו $3$ (ראו שרטוט). $P$ היא נקודה על האלכסון $BD$ כך…
ניצבות בין שני וקטורים (שאלה קצרה · קלה)
נתונים שני וקטורים $\vec{a}$ ו- $\vec{b}$ . נתון: $|\vec{a}|=4$ , $|\vec{b}|=2$ , והווקטורים $\vec{a}+3\vec{b}$ …
נפח בעזרת וקטורים: הוכחה שוקטור הוא גובה (שאלה קצרה · בינונית)
במקבילון $ABCDA'B'C'D'$ אורך כל המקצועות הוא $2$ , ונתון $\angle BAD=\angle A'AB=\angle A'AD=60^\circ$ . נסמן:…
ניצבות בין וקטור למישור (שאלה קצרה · בינונית)
בפירמידה $SABCD$ שבשרטוט הבסיס $ABCD$ הוא מעוין שאורכי אלכסוניו $AC=8$ ו- $BD=6$ , ו- $O$ היא נקודת מפגש…
חישובי שטחים בעזרת מכפלה סקלרית (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש $ABC$ נתון: $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=6$ ,…
ניצבות בין שני וקטורים (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה תיבה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע שאורך צלעו 2, וגובהה $AA'=3$ . נסמן:…
וקטורים בפירמידה ריבועית: זווית, שטח וניצבות (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה פירמידה ישרה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע (ראה ציור). כל הפאות הצדדיות של הפירמידה הן משולשים שווי…
וקטורים בפירמידה ריבועית: זווית, שטח וניצבות (שאלה מלאה · קלה)
נתונה פירמידה ישרה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע שאורך צלעו 2. אורך כל אחד מהמקצועות הצדדיים של הפירמידה הוא…
וקטורים בפירמידה ריבועית: הגובה והנפח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה פירמידה ישרה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע. כל הפאות הצדדיות של הפירמידה הן משולשים שווי צלעות שאורך…
ניצבות בין שני וקטורים (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה מנסרה ישרה $ABCA'B'C'$ שבסיסה $ABC$ הוא משולש שווה צלעות שאורך צלעו 2. גובה המנסרה הוא $\sqrt2$ . נסמן:…
וקטורים בפירמידה משולשת: מכפלות סקלריות וניצבות למישור (שאלה מלאה · בינונית)
בפירמידה המשולשת $ABCD$ הפאות $ABD$ ו- $ACD$ הן משולשים שווי צלעות (ראו סרטוט). הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע…
וקטורים בפירמידה משולשת: ניצבות למקצוע ולמישור (שאלה מלאה · קלה)
בפירמידה המשולשת $ABCD$ הפאות $ABC$ ו- $ABD$ הן משולשים שווי צלעות (ראו סרטוט). הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע…
וקטורים בפירמידה שכל מקצועותיה שווים: ניצבות למקצוע ולמישור (שאלה מלאה · קלה)
בפירמידה המשולשת $ABCD$ כל המקצועות שווים ל-6 (ראו סרטוט). הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $CD$ , והנקודה $F$ היא…
ניצבות בין שני וקטורים (שאלה קצרה · בינונית)
בפירמידה המשולשת $SABC$ (ראו סרטוט) הפאות $SAB$ ו- $SBC$ הן משולשים שווי צלעות שאורך צלעם 4, ו-…
ניצבות בין שני וקטורים (שאלה קצרה · בינונית)
במנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ הבסיס $ABCD$ הוא מעוין שאורך צלעו 3, ו- $\angle BAD=60^\circ$ . נסמן:…
חישובי שטחים בעזרת מכפלה סקלרית (שאלה קצרה · בינונית)
במנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ הבסיס $ABCD$ הוא מקבילית שבה $AB=2$ , $AD=4$ , $\angle BAD=60^\circ$ . גובה המנסרה הוא…
וקטורים בפירמידה עם מקצועות מאונכים: גובה ונפח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה פירמידה $SABC$ (ראו סרטוט). המקצועות הצדדיים $SA$ , $SB$ ו- $SC$ מאונכים זה לזה, ואורך כל אחד מהם 6. נסמן:…
וקטורים בפירמידה: מציאת עקב הגובה ונפח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה פירמידה $SABC$ (ראו סרטוט). אורך כל אחד מן המקצועות הצדדיים $SA$ , $SB$ , $SC$ הוא 4. נתון:…
ניצבות בין שני וקטורים (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $O$ היא מרכז הפאה העליונה $A'B'C'D'$ (נקודת המפגש של אלכסוני הפאה). נסמן:…
ניצבות בין שני וקטורים (שאלה קצרה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מתוארת תיבה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע. הנקודה $M$ היא אמצע המקצוע $CC'$ . נסמן:…
ניצבות בין שני וקטורים (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $SABCD$ . הבסיס $ABCD$ הוא מעוין שאורך צלעו 4, ו- $\angle DAB=60^\circ$ . נסמן:…
ניצבות בין שני וקטורים (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע שאורך צלעו 4. המקצוע $AS$ מאונך לבסיס, ואורכו…
ניצבות בין שני וקטורים (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $F$ היא מפגש האלכסונים בפאה $CDD'C'$ , והנקודה $P$ נמצאת על המקצוע…
ניצבות בין שני וקטורים (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מנסרה משולשת ישרה $ABCA'B'C'$ (המקצועות הצדדיים מאונכים למישור הבסיס $ABC$ ). הנקודה $M$ היא…
חישובי שטחים בעזרת מכפלה סקלרית (שאלה קצרה · קלה)
בסרטוט שלפניכם קובייה $ABCDA'B'C'D'$ שאורך מקצועה 6. הנקודות $M$ , $N$ ו- $K$ הן אמצעי המקצועות $AB$ , $AA'$ …
ניצבות בין שני וקטורים (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא מקבילית. הנקודה $K$ היא אמצע המקצוע $BB'$ , והנקודה…
חיבור וקטורים (שאלה קצרה · בינונית)
נתון מרובע $ABCD$ . הנקודות $E$ ו- $F$ הן אמצעי הצלעות $AD$ ו- $BC$ בהתאמה.
חיסור וקטורים (שאלה קצרה · קלה)
נתונים שני וקטורים $\vec{u}$ ו- $\vec{v}$ , ששניהם שונים מווקטור האפס.
וקטורים בפירמידה עם שלושה מקצועות ניצבים: זווית, שטח וניצבות למישור (שאלה מלאה · בינונית)
בפירמידה המשולשת $ABCD$ המקצועות $AD$ , $BD$ ו- $CD$ מאונכים זה לזה (ראו סרטוט). הנקודה $E$ נמצאת על המישור…
וקטורים בפירמידה עם שלושה מקצועות ניצבים: זווית, שטח וניצבות (שאלה מלאה · קלה)
בפירמידה המשולשת $ABCD$ המקצועות $AD$ , $BD$ ו- $CD$ מאונכים זה לזה (ראו סרטוט). הנקודה $E$ נמצאת על המישור…
וקטורים בפירמידה עם מקצועות ניצבים שווים: זווית, ניצבות ונפח (שאלה מלאה · קלה)
בפירמידה המשולשת $ABCD$ המקצועות $AD$ , $BD$ ו- $CD$ מאונכים זה לזה, ואורך כל אחד מהם 3 (ראו סרטוט). הנקודה $E$ …
וקטורים בתיבה: מפגש אלכסוני פאה, ניצבות וזוויות של מרובע (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתוארת תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $E$ היא מפגש אלכסוני הפאה $AA'D'D$ . נסמן:…
וקטורים בתיבה: אמצע האלכסון וזוויות של טרפז (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מתוארת תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $E$ היא מפגש אלכסוני הפאה $ABB'A'$ . נסמן:…
וקטורים בפירמידה: מכפלות סקלריות, גובה ונפח (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $SABCD$ . הבסיס $ABCD$ הוא ריבוע שאורך צלעו הוא 4. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ ,…
וקטורים בפירמידה שבסיסה מלבן: גובה ונפח (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $SABCD$ . הבסיס $ABCD$ הוא מלבן שבו $AB=6$ ו- $AD=4$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ ,…
וקטורים בפירמידה שבסיסה ריבוע: אורך מקצוע ונפח (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $SABCD$ . הבסיס $ABCD$ הוא ריבוע שאורך צלעו 6. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ ,…
וקטורים בפירמידה: מנפח לאורך מקצוע ולזווית (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $SABCD$ . הבסיס $ABCD$ הוא מלבן שבו $AB=8$ . המקצוע $SD$ מאונך ל- $AD$ , והמקצוע $SB$ מאונך…
וקטורים בפירמידה: הוכחת ניצבות, שיעורי נקודות ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCDE$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע. הנקודה $M$ נמצאת על המקצוע $EC$ כך שמתקיים…
וקטורים בפירמידה גבוהה: ניצבות, שיעורי נקודות ושטח משולש (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCDE$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע. הנקודה $M$ נמצאת על המקצוע $EC$ כך שמתקיים…
וקטורים בפירמידה: מהבעת וקטורים לשטח משולש (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCDE$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע שאורך צלעו 3. $AE$ מאונך לבסיס הפירמידה, ו- $AE=3$ .…
וקטורים בפירמידה שבסיסה מעוין: ניצבות ונפח (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה מרובעת $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא מעוין. הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $SC$ . $AS$ מאונך…
וקטורים בפירמידה שבסיסה מעוין: ניצבות ונפח (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה מרובעת $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא מעוין. הנקודה $M$ היא אמצע המקצוע $SC$ . $AS$ מאונך…
וקטורים בתיבה: ניצבות, שטח משולש וזווית בהצגה אלגברית (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $M$ היא מפגש האלכסונים בפאה $BCC'B'$ . נקודה $P$ נמצאת על המקצוע…
וקטורים בתיבה: ניצבות, שטח משולש וזווית בהצגה אלגברית (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $M$ היא מפגש האלכסונים בפאה $A'B'C'D'$ . נקודה $P$ נמצאת על המקצוע…
וקטורים בתיבה: ניצבות ושטח משולש (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $M$ היא מפגש האלכסונים בפאה העליונה $A'B'C'D'$ , והנקודה $P$ היא…
וקטורים בתיבה: איפה על המקצוע נוצרת זווית ישרה (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $M$ היא מפגש האלכסונים בפאה $A'B'C'D'$ . נקודה $P$ נמצאת על המקצוע…
וקטורים בפירמידה: ניצבות ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCS$ . המקצוע $AS$ מאונך למישור הבסיס $ABC$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $BS$ . הנקודה…
וקטורים בפירמידה: ניצבות ושטח משולש (בסיס עם צלעות שונות) (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCS$ . המקצוע $AS$ מאונך למישור הבסיס $ABC$ . הנקודה $E$ נמצאת על המקצוע $BS$ כך…
וקטורים בפירמידה: ניצבות בבסיס ושטח משולש (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCS$ . המקצוע $AS$ מאונך למישור הבסיס $ABC$ . הנקודה $F$ נמצאת על המקצוע $BC$ כך…
וקטורים בפירמידה: מיקום נקודה מתנאי ניצבות (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCS$ . המקצוע $AS$ מאונך למישור הבסיס $ABC$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $BS$ . הנקודה…
וקטורים בתיבה: ניצבות לאלכסון ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע. הנקודה $F$ היא אמצע המקצוע $BC$ . הנקודה $E$ נמצאת…
וקטורים בתיבה: גובה התיבה ושטח משולש (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע. הנקודה $F$ נמצאת על המקצוע $AB$ , כך…
וקטורים בקובייה: גובה במשולש אלכסונים (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם קובייה $ABCDA'B'C'D'$ שאורך מקצועה 6. הנקודה $E$ היא אמצע האלכסון $B'D'$ של הפאה העליונה. נסמן:…

ועוד 31 שאלות במחולל המבחנים.