מבחן לדוגמה: האליפסה כמקום גאומטרי: שתי ההגדרות - כיתה י"ב 5 יח"ל

מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של הנקודות $P$.

מצאו את שיעורי הנקודות $F_1$ ו-$F_2$.

נתונה פרבולה שמשוואתה קנונית, והמוקד שלה נמצא בנקודה $F_1$.

$AF_1$ הוא קוטר במעגל.

D היא נקודה על האליפסה.

מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של הנקודות $P$.

מצאו את שיעורי הנקודות $P$ על המקום הגאומטרי שמרחקן מהנקודה $F_1$ שווה ל-$6$.

הביעו באמצעות $t$ את רדיוס המעגל.

הישר $y=8-x$ משיק למעגל.

מצאו את הערך של $t$.

הזיזו את מעגל I למטה כך שהתקבל מעגל II שמרכזו בראשית הצירים O. A היא נקודה כלשהי על מעגל II כך ש-$-2\le x_A\le2$. דרך הנקודה A מעבירים מיתר AB המאונך לציר ה-$x$. נקודה P נמצאת על המיתר AB כך שמתקיים $AB=2\cdot PO$.

הראו כי המקום הגיאומטרי של כל הנקודות P המתקבלות באופן זה נמצא על אליפסה, ומצאו את משוואתה.

הנקודה K היא המוקד העליון, והנקודה F היא המוקד התחתון של האליפסה שמצאתם בסעיף ג. C היא נקודה כלשהי על האליפסה כך שמתקבל משולש CKF.

חשבו את היקף המשולש CKF.

האם קיימת נקודה C שבעבורה שטח המשולש CKF הוא 5? נמקו את תשובתכם.

מצאו את $PF_1$ ואת $PF_2$.

חשבו את שטח המשולש $F_1PF_2$, ומצאו את שיעורי הנקודה $P$.

הוכיחו כי בכל אליפסה $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$) שיש עליה נקודה $P$ שבה $\angle F_1PF_2=90^\circ$, שטח המשולש $F_1PF_2$ שווה ל-$b^2$. הסבירו מדוע נקודה כזו יכולה להיות קיימת רק כאשר $c\ge b$.

מצאו את הערך של $b$ ואת שטח הריבוע $F_1D_1F_2D_2$.

נקודה E היא נקודה כלשהי על האליפסה. ממשיכים את הקטע $F_1E$ מעבר ל-E עד לנקודה M, כך שמתקיים $EM=EF_2$. הוכיחו כי המקום הגאומטרי של הנקודות M הוא מעגל, ומצאו את משוואתו.

מזיזים את המעגל שמצאתם בסעיף ב ימינה ב-3 יחידות. אחר כך מכפילים את שיעור ה-$y$ של כל אחת מן הנקודות שעל המעגל שהתקבל במספר $k$, $0<k<1$, ומתקבלת אליפסה. ידוע כי המוקדים של האליפסה שהתקבלה הם הקודקודים של האליפסה הנתונה שעל ציר ה-$x$. מצאו את $k$ ואת משוואת האליפסה שהתקבלה.