שאלות פתוחות: האליפסה כמקום גאומטרי: שתי ההגדרות - כיתה י"ב 5 יח"ל

מצאו את שיעורי הנקודות $F_1$ ו-$F_2$.

נתונה פרבולה שמשוואתה קנונית, והמוקד שלה נמצא בנקודה $F_1$.

$AF_1$ הוא קוטר במעגל.

D היא נקודה על האליפסה.

מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של הנקודות $P$.

מצאו את שיעורי הנקודות $P$ על המקום הגאומטרי שמרחקן מהנקודה $F_1$ שווה ל-$6$.

מצאו את משוואת הפרבולה ואת משוואת המדריך שלה.

הביעו באמצעות $d$ את שיעורי הנקודה A. לאילו ערכי $d$ קיימת נקודה A כזאת?

$AF_1$ הוא קוטר במעגל. הוכיחו כי לכל ערך של $d$ המעגל משיק לציר ה-$y$.

D היא נקודה על האליפסה. מצאו את כל הערכים של $d$ שעבורם היקף המשולש $F_1AF_2$ קטן מהיקף המשולש $F_1DF_2$.

מצאו את שיעורי המוקדים $F_1$ ו-$F_2$.

מזיזים את המעגל שמצאתם בסעיף ב(2) ימינה ב-3 יחידות. אחר כך מכפילים ב-$\frac45$ את שיעור ה-$y$ של כל אחת מן הנקודות שעל המעגל שהתקבל. זהו את צורת העקום החדש, ומצאו את משוואתו.

נתון משולש ששניים מקודקודיו הם נקודות החיתוך של העקום החדש עם ציר ה-$x$, והקודקוד השלישי נמצא על העקום החדש. היעזרו בכך שהבסיס של המשולש קבוע, ומצאו את השטח הגדול ביותר האפשרי של המשולש.

הביעו באמצעות $k$ את שיעורי הנקודות $F_1$ ו-$F_2$.

הנקודה A נמצאת ברביע הראשון על פרבולה שמשוואתה קנונית והמוקד שלה נמצא בנקודה $F_1$, כך שמתקיים: $AF_1=10k$.

$AF_1$ הוא קוטר במעגל. הישר שמשוואתו: $12x+5y=280$ משיק למעגל זה.

מצאו את הערך של $k$.

D היא נקודה על האליפסה.

קבעו אם היקף המשולש $F_1AF_2$ גדול מהיקף המשולש $F_1DF_2$, קטן ממנו או שווה לו. נמקו את קביעתכם.

מצאו את הערך של $b$ ואת שטח הריבוע $F_1D_1F_2D_2$.

נקודה E היא נקודה כלשהי על האליפסה. ממשיכים את הקטע $F_1E$ מעבר ל-E עד לנקודה M, כך שמתקיים $EM=EF_2$. הוכיחו כי המקום הגאומטרי של הנקודות M הוא מעגל, ומצאו את משוואתו.

מזיזים את המעגל שמצאתם בסעיף ב ימינה ב-3 יחידות. אחר כך מכפילים את שיעור ה-$y$ של כל אחת מן הנקודות שעל המעגל שהתקבל במספר $k$, $0<k<1$, ומתקבלת אליפסה. ידוע כי המוקדים של האליפסה שהתקבלה הם הקודקודים של האליפסה הנתונה שעל ציר ה-$x$. מצאו את $k$ ואת משוואת האליפסה שהתקבלה.

מצאו את מרכז המעגל ואת הרדיוס שלו.

הראו כי הישר $y=4$ משיק למעגל I, ומצאו את נקודת ההשקה.

הזיזו את מעגל I ימינה כך שהתקבל מעגל II שמרכזו בראשית הצירים. A היא נקודה כלשהי על מעגל II שאינה על ציר ה-$x$. מהנקודה A מורידים אנך AD לציר ה-$x$ (D על ציר ה-$x$). P היא אמצע הקטע AD.

הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות P נמצא על האליפסה $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$.

K ו-F הם מוקדי האליפסה $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$. C היא נקודה על האליפסה שאינה על ציר ה-$x$.

מצאו את שיעורי המוקדים, וחשבו את היקף המשולש CKF.

מהו השטח הגדול ביותר האפשרי של המשולש CKF? באילו נקודות C הוא מתקבל?

חשבו את היקף המשולש $F_1DF_2$. נמקו מדוע אינו תלוי במיקום הנקודה D.

נתונה הנקודה $B(6,4)$. קבעו אם היקף המשולש $F_1BF_2$ גדול מהיקף המשולש $F_1DF_2$, קטן ממנו או שווה לו.

מצאו את $PF_1$ ואת $PF_2$.

חשבו את שטח המשולש $F_1PF_2$, ומצאו את שיעורי הנקודה $P$.

הוכיחו כי בכל אליפסה $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$) שיש עליה נקודה $P$ שבה $\angle F_1PF_2=90^\circ$, שטח המשולש $F_1PF_2$ שווה ל-$b^2$. הסבירו מדוע נקודה כזו יכולה להיות קיימת רק כאשר $c\ge b$.

מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של הנקודות $P$.