דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

מבחן לדוגמה: המשוואה הקנונית: מוקדים, קודקודים וסימטריה - כיתה י"ב 5 יח"ל

6 שאלות פתוחות על המשוואה הקנונית: מוקדים, קודקודים וסימטריה (האליפסה), מהקלה לקשה. המבחן מוכן להדפסה כמו שהוא, או לפתיחה במחולל לשינויים.

מבחן במתמטיקה - כיתה י"ב 5 יח"ל
המשוואה הקנונית: מוקדים, קודקודים וסימטריה
6 שאלות · ענו על כל השאלות · הראו את דרך הפתרון
שם: ______________כיתה: ________תאריך: ________

שאלה 1 · אליפסה מקודקוד ונקודה, מקום גאומטרי ומעגל המשיק לשני ישריםשאלה מלאה · קלה

נתונה אליפסה שמשוואתה קנונית. הנקודה B(6,0)B(6,0) היא קודקוד של האליפסה על ציר ה-xx, והנקודה A(2,4)A(2,4) נמצאת על האליפסה. O היא ראשית הצירים.

א.

מצאו את משוואת האליפסה ואת שיעורי המוקדים שלה.

ב.

הנקודה C נמצאת על הישר AO, ושיעור ה-xx שלה הוא tt. הנקודה P היא אמצע הקטע BC.

(1)

הביעו באמצעות tt את שיעורי הנקודה P.

(2)

הראו כי כל הנקודות P נמצאות על הישר y=2x−6y=2x-6.

ג.

מצאו את המרחק בין הישר AO ובין הישר y=2x−6y=2x-6.

ד.

מעגל משיק לישר AO בנקודה O, ומשיק גם לישר y=2x−6y=2x-6. מרכז המעגל נמצא על הישר המאונך ל-AO בנקודה O. מצאו את משוואת המעגל.

שאלה 2 · מקום גאומטרי, אליפסה ומעגל המשיק לישר ולציריםשאלה מלאה · קלה

נתונות הנקודות: A(0,6)A(0,6), B(8,0)B(8,0).

F₁F₂EG
א.

מצאו את משוואת המקום הגאומטרי שעליו נמצאות הנקודות CC המקיימות: AC2+BC2=122AC^2+BC^2=122.

ב.

את המקום הגאומטרי שמצאתם בסעיף א מזיזים 4 יחידות שמאלה ו-3 יחידות למטה. המקום הגאומטרי החדש חותך את ציר ה-yy בנקודות EE ו-GG (EE מעל GG). הנקודות F1(c,0)F_1(c,0) ו-F2(−c,0)F_2(-c,0), c>0c>0, הן מוקדי אליפסה קנונית שעוברת דרך EE ו-GG (ראו סרטוט).

(1)

מצאו את שיעורי הנקודות EE ו-GG, והראו כי משוואת הישר EF1EF_1 היא 6x+cy−6c=06x+cy-6c=0.

(2)

מצאו את משוואת הישר GF2GF_2, והסבירו מדוע הוא מקביל לישר EF1EF_1.

נתון: המרחק בין הישרים EF1EF_1 ו-GF2GF_2 הוא 9.6.

(3)

מצאו את cc ואת משוואת האליפסה.

ג.

מעגל שמרכזו ברביע השני משיק לישר EF1EF_1, לציר ה-xx ולציר ה-yy. נסמן את רדיוסו ב-rr.

(1)

הסבירו מדוע מרכז המעגל הוא (−r,r)(-r,r).

(2)

מצאו את משוואת המעגל.

שאלה 3 · המשוואה הקנונית: מוקדים, קודקודים וסימטריהשאלה קצרה · בינונית

נתונה האליפסה x225+y29=1\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1. K ו-F הם מוקדי האליפסה, ו-C היא נקודה על האליפסה שאינה על ציר ה-xx.

א.

מצאו את שיעורי המוקדים K ו-F.

ב.

האם קיימת נקודה C שבעבורה שטח המשולש CKF הוא 10? אם כן - מצאו את כל הנקודות האלה.

שאלה 4 · אליפסה מתוך יחס שטחים, ויחס שאינו תלוי בישרשאלה מלאה · בינונית

נתונות הנקודות A(12,10)A(12,10) ו-B(−5,−7)B(-5,-7).

א.

מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של מרכזי המעגלים שהקטע AB הוא מיתר שלהם.

ב.

מעגל M הוא אחד מן המעגלים שהקטע AB הוא מיתר שלהם. נקודות החיתוך של המעגל M עם ציר ה-xx הן מוקדים של אליפסה שמשוואתה קנונית.

מצאו את שיעורי מרכז המעגל M ואת הרדיוס שלו.

ג.

נסמן ב-F את המוקד הימני של האליפסה. ישר המאונך לציר ה-xx עובר במוקד השמאלי של האליפסה. הישר חותך את האליפסה בנקודות Q ו-T, ואת המעגל M בנקודות K ו-L. נתון כי היחס בין שטח המשולש KLF לבין שטח המשולש TQF הוא 135\frac{13}{5}.

מצאו את משוואת האליפסה.

ד.

ישר אחר המאונך לציר ה-xx חותך את האליפסה בשתי נקודות ואת המעגל M בשתי נקודות, ואינו עובר ב-F. האם היחס בין שטח המשולש שקודקודיו F ונקודות החיתוך עם המעגל לבין שטח המשולש שקודקודיו F ונקודות החיתוך עם האליפסה תלוי במיקום הישר? נמקו.

שאלה 5 · המשוואה הקנונית: מוקדים, קודקודים וסימטריהשאלה קצרה · קשה

F1F_1 ו-F2F_2 הם מוקדי האליפסה x225+y29=1\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1, ו-PP היא נקודה משתנה על האליפסה.

מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של המכפלה PF1⋅PF2PF_1\cdot PF_2, ואת הנקודות PP שבהן הם מתקבלים.

שאלה 6 · המרחק בין שני ישרים מקבילים דרך המוקדים וקודקודי הציר הקטןשאלת ביניים · קשה

נתונות הנקודות: A(0,−16)A(0,-16), B(10,−4)B(10,-4). המקום הגאומטרי של הנקודות CC המקיימות AC2+BC2=322AC^2+BC^2=322 הוא המעגל (x−5)2+(y+10)2=100(x-5)^2+(y+10)^2=100.

F₁F₂EG
א.

את המקום הגאומטרי מזיזים כך שמרכזו עובר לראשית הצירים. המעגל החדש חותך את ציר ה-yy בנקודות EE ו-GG (EE מעל GG). הנקודות F1(c,0)F_1(c,0) ו-F2(−c,0)F_2(-c,0), c>0c>0, הן מוקדי אליפסה קנונית שעוברת דרך EE ו-GG. נסמן ב-dd את המרחק בין הישרים EF1EF_1 ו-GF2GF_2.

הביעו את dd באמצעות cc.

ב.

מצאו את כל הערכים האפשריים של dd. נמקו.

ג.

נתון: d=12d=12.

מצאו את משוואת האליפסה.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.