מבחן לדוגמה: חוקי חזקות ושורשים ומעריך רציונלי - כיתה י"ב 5 יח"ל

פתרו את המשוואה.

פשטו את הביטוי וכתבו אותו כחזקה אחת של $x$.

פשטו את הביטוי $E$.

הראו כי: $f'(x)=\frac{-2(e^x-2)^2}{e^x(e^x-1)}$.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$.

נתונה הפונקציה $g(x)=f(x)+ax$, שתחום ההגדרה שלה זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$. $a$ הוא פרמטר.

היעזרו בגרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$, ומצאו עבור אילו ערכים של $a$ יש לפונקציה $g(x)$ שתי נקודות קיצון. נמקו את תשובותיכם.

הוכיחו כי פונקציית הנגזרת $f'(x)$ שלילית בכל תחום הגדרתה.

נתון כי הישר $y=3$ הוא אסימפטוטה של הפונקציה $f(x)$.

מצאו את שני הערכים האפשריים של $a$.

הראו כי $f(x)=\frac{3e^{3x}-8e^{2x}-3e^x}{e^{3x}-4e^{2x}-3e^x+12}$.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $f(x)$, על ידי ציר ה-$x$ ועל ידי הישר $x=\ln2$.

חשבו את המכפלה $\sqrt[3]{2+\sqrt5}\cdot\sqrt[3]{2-\sqrt5}$.

נסמן $a=\sqrt[3]{2+\sqrt5}$ ו-$b=\sqrt[3]{2-\sqrt5}$. היעזרו בזהות $(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$ ובסעיף א, והראו כי $x^3=4-3x$.

היעזרו בסעיף ב ומצאו את הערך המדויק של $x$.