דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

שאלות פתוחות: חוקי חזקות ושורשים ומעריך רציונלי - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על חוקי חזקות ושורשים ומעריך רציונלי לכיתה י"ב, 5 יחידות. יש כאן פישוט ביטויים עם שורשים מקוננים, משוואה עם מעריכים שבריים שמובילה למשוואה ריבועית, השוואה בין מספרים כמו שורש ריבועי, שלישי וחמישי, סכום טלסקופי של שברים עם שורשים, וזוג מספרים צמודים. בחלק מהשאלות החזקות הן חלק מחקירת פונקציה. רוב השאלות ברמה קלה, ויש גם בינוניות ומעט קשות. אפשר לבנות מהן בוחן או דף עבודה, עם פתרונות מלאים וייצוא לוורד.

85 שאלותקלה: 55בינונית: 26קשה: 4

שאלה 1 · חוקי חזקות ושורשים ומעריך רציונלישאלה קצרה · קלה

נתונה המשוואה x23−6x13+8=0x^{\frac23}-6x^{\frac13}+8=0.

פתרו את המשוואה.

שאלה 2 · חוקי חזקות ושורשים ומעריך רציונלישאלה קצרה · בינונית

נתונים המספרים 7+527+5\sqrt2 ו-52−75\sqrt2-7.

א.

הראו כי 7+523=1+2\sqrt[3]{7+5\sqrt2}=1+\sqrt2.

ב.

חשבו, בלי מחשבון, את ערך הביטוי 7+523−52−73\sqrt[3]{7+5\sqrt2}-\sqrt[3]{5\sqrt2-7}.

שאלה 3 · פונקציה מעריכית-לוגריתמית עם פרמטר: משיק אופקי ומיון קיצוניםשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=5ex−x+b⋅ln⁡(5−ex)f(x)=5e^x-x+b\cdot\ln(5-e^x), b>0b>0 הוא פרמטר.

א.
(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x).

(2)

מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה f(x)f(x) (אם יש כאלה).

ב.

נתון כי לגרף הפונקציה f(x)f(x) יש משיק המקביל לציר ה-xx, ובנקודת ההשקה הפונקציה אינה עוברת מעלייה לירידה או מירידה לעלייה. מצאו את הערך של bb.

הציבו b=16b=16 וענו על הסעיפים ג-ד.

ג.
(1)

מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x).

(2)

לפונקציה ff יש נקודת פיתול אחת בלבד. סרטטו סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x).

ד.

נתונה הפונקציה g(x)=f(x)+axg(x)=f(x)+ax, שתחום ההגדרה שלה זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x). aa הוא פרמטר.

קבעו, לפי ערכי aa, כמה נקודות קיצון יש לפונקציה g(x)g(x). נמקו.

שאלה 4 · חוקי חזקות ושורשים ומעריך רציונלישאלה קצרה · קלה

נתון הביטוי x⋅x3x⋅x3\dfrac{\sqrt{x\cdot\sqrt[3]{x}}}{\sqrt[3]{x\cdot\sqrt{x}}}, כאשר x>0x>0.

א.

פשטו את הביטוי וכתבו אותו כחזקה אחת של xx.

ב.

מצאו את xx שעבורו ערך הביטוי הוא 22.

שאלה 5 · חוקי חזקות ושורשים ומעריך רציונלישאלה קצרה · בינונית

נתונים ארבעת המספרים 2\sqrt2, 33\sqrt[3]{3}, 55\sqrt[5]{5}, 66\sqrt[6]{6}.

סדרו את ארבעת המספרים מהקטן אל הגדול, בלי מחשבון. נמקו כל השוואה.

שאלה 6 · סכום מתקפל של שברים עם שורשים במכנהשאלה קצרה · קשה

נתון הסכום S=11+3+13+5+15+7+…+1119+121S=\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}+\dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}+\ldots+\dfrac{1}{\sqrt{119}+\sqrt{121}}.

חשבו את SS.

שאלה 7 · חקירת וגרף הנגזרת (מודרך)שאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=2ex−x+ln⁡(2−ex)f(x)=2e^x-x+\ln(2-e^x).

א.
(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x).

(2)

מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה f(x)f(x) (אם יש כאלה).

ב.

הראו כי: f′(x)=−2(ex−1)22−exf'(x)=\frac{-2(e^x-1)^2}{2-e^x}.

ג.
(1)

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x)f(x) (אם יש כאלה).

(2)

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה f(x)f(x) המקביל לציר ה-xx.

ד.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x).

ה.
(1)

מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x).

(2)

נתון כי לפונקציה f′(x)f'(x) יש נקודת קיצון אחת בלבד, בנקודה שבה x=0x=0. סרטטו סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) בתחום x<ln⁡2x<\ln2.

ו.

נתונה הפונקציה g(x)=f(x)+0.5xg(x)=f(x)+0.5x, שתחום ההגדרה שלה זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x).

היעזרו בגרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x), וקבעו כמה נקודות קיצון יש לפונקציה g(x)g(x) ומה סוג כל אחת מהן. נמקו.

שאלה 8 · חוקי חזקות ושורשים ומעריך רציונלישאלה קצרה · בינונית

נתון הסכום S=11+3+13+5+15+7+…+1119+121S=\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}+\dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}+\ldots+\dfrac{1}{\sqrt{119}+\sqrt{121}}.

א.

הראו כי לכל k>0k>0 מתקיים 1k+k+2=k+2−k2\dfrac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+2}}=\dfrac{\sqrt{k+2}-\sqrt{k}}{2}.

ב.

חשבו את SS.

שאלה 9 · ערך מדויק של סכום שני שורשים שלישייםשאלת ביניים · קשה

נתון המספר x=2+53+2−53x=\sqrt[3]{2+\sqrt5}+\sqrt[3]{2-\sqrt5}.

א.

חשבו את המכפלה 2+53⋅2−53\sqrt[3]{2+\sqrt5}\cdot\sqrt[3]{2-\sqrt5}.

ב.

נסמן a=2+53a=\sqrt[3]{2+\sqrt5} ו-b=2−53b=\sqrt[3]{2-\sqrt5}. היעזרו בזהות (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b) ובסעיף א, והראו כי x3=4−3xx^3=4-3x.

ג.

היעזרו בסעיף ב ומצאו את הערך המדויק של xx.

שאלה 10 · הצגת ביטוי עם שורשים כחזקה אחת של xשאלה קצרה · קלה

נתון הביטוי x⋅x3x⋅x3\dfrac{\sqrt{x\cdot\sqrt[3]{x}}}{\sqrt[3]{x\cdot\sqrt{x}}}, כאשר x>0x>0.

פשטו את הביטוי וכתבו אותו כחזקה אחת של xx.

עוד 7 שאלות על חוקי חזקות ושורשים ומעריך רציונלי

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

  1. חקירת פונקציה מעריכית ומנה הנשענת עליה (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: f(x)=xex−3ex+1f(x)=xe^x-3e^x+1 המוגדרת לכל xx.

  2. חקירת , גרף הנגזרת ופרמטר (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: f(x)=3ex−x+4⋅ln⁡(3−ex)f(x)=3e^x-x+4\cdot\ln(3-e^x).

  3. חקירת , גרף הנגזרת ופרמטר (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: f(x)=−8e−x−2⋅ln⁡(ex−1)f(x)=-8e^{-x}-2\cdot\ln\left(e^x-1\right).

  4. פונקציה מעריכית עם פרמטר: אסימפטוטות, סקיצה ושטח (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: f(x)=1ex−1+7ex−7+af(x)=\frac{1}{e^x-1}+\frac{7}{e^x-7}+a. aa הוא פרמטר.

  5. סכום שברים עם ו- ופרמטר: אסימפטוטות, סקיצה ושטח בעזרת (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: f(x)=6e2x−3+4ex−4+af(x)=\frac{6}{e^{2x}-3}+\frac{4}{e^x-4}+a. aa הוא פרמטר.

  6. פישוט ביטוי עם מעריכים רציונליים בעזרת הפרש קוביות (שאלה קצרה · בינונית)

    נתון הביטוי E=x−1x23+x13+1E=\frac{x-1}{x^{\frac23}+x^{\frac13}+1}, כאשר x>0x>0.

  7. מעריך רציונלי בנוסחה של קצב חילוף החומרים (שאלת ביניים · בינונית)

    לפי חוק קלייבר, קצב חילוף החומרים הבסיסי של יונק (בקילו-קלוריות ליממה) מתואר בקירוב בנוסחה P=70⋅m34P=70\cdot m^{\frac34}, כאשר mm היא מסת היונק…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (65)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

ועוד 5 שאלות במחולל המבחנים.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.