מבחן לדוגמה: משוואות מעריכיות - כיתה י"ב 5 יח"ל

פתרו את משוואה (1).

פתרו את משוואה (2).

מצאו את תחום ההגדרה של $g(x)$.

פתרו את המשוואה $g(x)=1$.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$.

נתונה הפונקציה $g(x)=-4x+4\ln(e^x-1)$.

בנקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)$ מעבירים אנך לציר ה-$x$.

מצאו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $f(x)$, על ידי ציר ה-$x$, על ידי האנך ועל ידי הישר $x=\ln(b)$. $b>3$ הוא פרמטר. הביעו את תשובתכם באמצעות $b$.

נתון כי השטח שמצאתם בסעיף ד שווה ל-$b-3+4\ln(1.4)$.

מצאו את הערך של $b$.

נתונה הפונקציה $g(x)$ המקיימת: $g(x)=\frac{1}{f(x)}$. הפונקציות $g(x)$ ו-$f(x)$ מוגדרות באותו התחום.

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם גרף הפונקציה $g(x)$.

נתונה הפונקציה: $s(x)=\int_x^{\ln2}\big(f(t)-g(t)\big)dt$, המוגדרת בתחום: $x<\ln2$.

מצאו את שיעור ה-$x$ של נקודת הקיצון של הפונקציה $s(x)$ וקבעו את סוגה.

הראו כי לכל $t>0$ מתקיים $t+\frac1t\ge2$, וכי השוויון מתקיים רק עבור $t=1$.

נסמן $u=5^x+5^{-x}$. הראו כי $25^x+25^{-x}=u^2-2$, והסיקו מסעיף א כי $u\ge2$ לכל $x$.

פתרו את המשוואה הנתונה.

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)$ ואת האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים (הביעו באמצעות $b$ אם יש צורך).

מצאו את כל ערכי $b$ שבעבורם לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון. הביעו את שיעורי נקודת הקיצון באמצעות $b$, וקבעו את סוגה בהתאם לערכי $b$.

מצאו את כל ערכי $b$ שבעבורם לגרפים של $f(x)$ ושל $g(x)$ יש נקודת חיתוך אחת בלבד.

הציבו $b=16$.

קבעו אם הערך של $\int_{-2}^{-1}(f(x)-g(x))\,dx$ חיובי או שלילי. נמקו.