דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

שאלות פתוחות: משוואות מעריכיות - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על משוואות מעריכיות לכיתה י"ב, 5 יחידות. השאלות כוללות משוואות שמובילות למשוואה ריבועית בעזרת הצבה, משוואה עם פרמטר שידוע מספר פתרונותיה וסכומם, ופתרון משוואות מעריכיות כחלק מחקירת פונקציות עם e^x, כמו מציאת נקודות חיתוך עם הצירים. זה אחד השיעורים הגדולים במאגר, עם שאלות ברמה קלה, בינונית וקשה. אפשר להרכיב ממנו כמה מבחנים, בחנים או דפי עבודה, ולכל שאלה פתרון מלא שאפשר לייצא לוורד.

172 שאלותקלה: 101בינונית: 54קשה: 17

שאלה 1 · משוואות מעריכיותשאלה קצרה · קלה

נתונות המשוואות: (1) 4x−5⋅2x+4=04^{x}-5\cdot2^{x}+4=0, (2) 4x−5⋅2x+1+16=04^{x}-5\cdot2^{x+1}+16=0.

א.

פתרו את משוואה (1).

ב.

פתרו את משוואה (2).

שאלה 2 · משוואות מעריכיותשאלה קצרה · בינונית

נתונה המשוואה a⋅4x−5⋅2x+1+8=0a\cdot4^{x}-5\cdot2^{x+1}+8=0, כאשר aa פרמטר. ידוע כי למשוואה שני פתרונות שונים, וסכומם 33.

א.

מצאו את aa.

ב.

קבעו את הסימן של כל אחד משני הפתרונות של המשוואה. נמקו.

שאלה 3 · מנה מעריכית: קיצונים בלי פונקציית עזר וגרף החוצה את האסימפטוטהשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה g(x)=1−exex−x+2g(x)=\frac{1-e^x}{e^x-x+2}.

א.

הראו כי g(x)g(x) מוגדרת לכל xx, ומצאו את משוואות האסימפטוטות של g(x)g(x) המאונכות לציר ה-yy.

ב.

מצאו כמה נקודות קיצון יש לפונקציה g(x)g(x) וקבעו את סוגן. עבור כל אחת מהן מצאו שני מספרים שלמים עוקבים שביניהם נמצא שיעור ה-xx שלה.

ג.

הוכיחו כי בכל נקודת קיצון x0x_0 של g(x)g(x) מתקיים g(x0)=13−x0g(x_0)=\frac{1}{3-x_0}, והסיקו כי ערך המינימום של g(x)g(x) קטן מ-−1-1.

ד.

גרף הפונקציה g(x)g(x) חותך את האסימפטוטה y=−1y=-1. מצאו את נקודת החיתוך, וחשבו את השטח המוגבל על ידי גרף g(x)g(x), על ידי ציר ה-xx ועל ידי הישר המאונך לציר ה-xx העובר בנקודה זו.

שאלה 4 · פונקציה מעריכית ומנה: קיצונים מסימן הנגזרת ושטחשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=xex−2ex+2f(x)=xe^x-2e^x+2 המוגדרת לכל xx.

א.
(1)

מצאו את תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x) ואת שיעורי נקודת הקיצון שלה, וקבעו את סוגה.

(2)

מצאו את משוואת האסימפטוטה של f(x)f(x) המאונכת לציר ה-yy, והראו כי f(0)=0f(0)=0.

(3)

נמקו מדוע לפונקציה f(x)f(x) יש בדיוק שתי נקודות חיתוך עם ציר ה-xx, וקבעו באילו תחומים f(x)>0f(x)>0 ובאילו f(x)<0f(x)<0.

ב.

נתונה הפונקציה g(x)=2−exex−2xg(x)=\frac{2-e^x}{e^x-2x}, המוגדרת לכל xx, ונתון כי g′(x)=2f(x)(ex−2x)2g'(x)=\frac{2f(x)}{(e^x-2x)^2}.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף g(x)g(x) עם הצירים.

ג.

היעזרו בסעיף א(3) ומצאו את שיעורי נקודת המקסימום של g(x)g(x). כמה נקודות מינימום יש ל-g(x)g(x)?

ד.
(1)

הראו כי המונה של g(x)g(x) שווה למינוס הנגזרת של המכנה שלה.

(2)

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף g(x)g(x), על ידי ציר ה-xx ועל ידי ציר ה-yy.

שאלה 5 · חקירת פונקציה מעריכית ומנה הנשענת עליהשאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה: f(x)=xex−3ex+1f(x)=xe^x-3e^x+1 המוגדרת לכל xx.

א.
(1)

מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x)f(x) המאונכות לציר ה-yy (אם יש כאלה).

(2)

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם ציר ה-yy.

(3)

מצאו את תחומי העלייה ואת תחומי הירידה של הפונקציה f(x)f(x).

(4)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x).

ב.

נתונה הפונקציה g(x)=1−exex−x+1g(x)=\frac{1-e^x}{e^x-x+1}, המוגדרת לכל xx.

(1)

מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה g(x)g(x) המאונכות לציר ה-yy.

(2)

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה g(x)g(x) עם ציר ה-xx (אם יש כאלה).

(3)

הוכיחו כי: g′(x)=f(x)(ex−x+1)2g'(x)=\frac{f(x)}{(e^x-x+1)^2}.

ג.

היעזרו בסקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x) ומצאו כמה נקודות מקסימום וכמה נקודות מינימום יש לפונקציה g(x)g(x). נמקו את התשובה.

ד.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x)g(x).

ה.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x)g(x), על ידי ציר ה-xx ועל ידי הישר: x=−2x=-2.

שאלה 6 · הפרמטר ב-: מספר פתרונות, נקודות פיתול של קדומה ואסימפטוטהשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=x2ea−x3f(x)=x^2e^{a-x^3} המוגדרת לכל xx, aa הוא פרמטר.

א.

מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x) וקבעו את סוגן (הביעו באמצעות aa במידת הצורך).

ב.

מצאו את תחום הערכים של aa שבעבורו למשוואה f(x)=1f(x)=1 יש בדיוק שלושה פתרונות.

ג.

הפונקציה f(x)f(x) היא נגזרת של הפונקציה g(x)g(x). נסמן ב-B וב-D את נקודות הפיתול של g(x)g(x), כאשר הערך של gg ב-B גבוה מהערך שלה ב-D. נתון כי ההפרש בין שיעור ה-yy של B לשיעור ה-yy של D הוא e−e33\frac{e-\sqrt[3]{e}}{3}.

מצאו את aa.

ד.

הציבו את הערך של aa שמצאתם. נתון כי הישר y=1y=1 הוא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה g(x)g(x).

מצאו את g(x)g(x) ואת נקודת החיתוך של הגרף שלה עם ציר ה-yy.

שאלה 7 · פונקציה מעריכית ו-: חקירה מודרכתשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=e2x−4ex−55f(x)=\frac{e^{2x}-4e^x-5}{5}.

א.
(1)

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x) ואת משוואת האסימפטוטה האופקית שלה.

(2)

הראו כי f(x)=(ex−5)(ex+1)5f(x)=\frac{(e^x-5)(e^x+1)}{5}, ומצאו את נקודות החיתוך של גרף f(x)f(x) עם הצירים.

(3)

מצאו את נקודת הקיצון של f(x)f(x) וקבעו את סוגה.

ב.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x).

ג.

נתונה הפונקציה: g(x)=1f(x)+1g(x)=\frac{1}{f(x)}+1.

מצאו את תחום ההגדרה של g(x)g(x) ואת משוואות האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים.

ד.

הראו כי g(x)=0g(x)=0 רק עבור x=ln⁡4x=\ln4. נתון שנקודת הקיצון של g(x)g(x) היא נקודת מקסימום (ln⁡2,49)\left(\ln2,\frac49\right). סרטטו סקיצה של גרף g(x)g(x).

ה.

נתון פרמטר tt בתחום 0<t<ln⁡50<t<\ln5.

הסבירו מדוע ערך הביטוי ∫0tg(x) dx\int_0^t g(x)\,dx הוא מקסימלי כאשר t=ln⁡4t=\ln4. (היעזרו בכך שהנגזרת של הביטוי לפי tt היא g(t)g(t).)

שאלה 8 · חקירת : פרמטר משטח מתחת לגרף הנגזרת, ופונקציה קדומה ונקודות הפיתול שלהשאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה: f(x)=x2ea+2x3f(x)=x^2e^{a+2x^3} המוגדרת לכל xx, aa הוא פרמטר.

א.
(1)

מצאו את התחום שבו הפונקציה f(x)f(x) חיובית.

(2)

מצאו את שיעורי ה-xx של נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x), וקבעו את סוגן.

ב.

נתון כי השטח הכלוא בין הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) לבין ציר ה-xx הוא e93\sqrt[3]{\frac{e}{9}}.

מצאו את הערך של aa.

הציבו a=1a=1, וענו על הסעיפים ג-ה.

ג.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x).

ד.

הפונקציה f(x)f(x) היא נגזרת של הפונקציה g(x)g(x) (g′(x)=f(x)g'(x)=f(x)).

(1)

מהו תחום העלייה של הפונקציה g(x)g(x)? נמקו.

(2)

כמה נקודות פיתול יש לפונקציה g(x)g(x)? נמקו.

ה.

נסמן ב-B את נקודת הפיתול שבה הערך של הפונקציה g(x)g(x) הוא הגבוה מבין כל נקודות הפיתול שלה. נתון כי שיעור ה-yy של הנקודה B הוא e3\frac{e}{3}.

מצאו את הפונקציה g(x)g(x).

שאלה 9 · פונקציה מעריכית עם פרמטר ו-: אסימפטוטות לפי פרמטר ומספר פתרונותשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=e2x−6ex+mf(x)=e^{2x}-6e^x+m, כאשר mm פרמטר.

א.

מצאו את כל ערכי mm שבעבורם לגרף f(x)f(x) יש שתי נקודות חיתוך עם ציר ה-xx.

בסעיפים ב-ד 0<m<90<m<9, ונתונה הפונקציה g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}.

ב.

הביעו באמצעות mm את משוואות האסימפטוטות של g(x)g(x) המאונכות לצירים.

ג.

מצאו את נקודת הקיצון של g(x)g(x) וקבעו את סוגה. מצאו את mm שבעבורו ערך הקיצון הוא −14-\frac14.

ד.

עבור mm שמצאתם בסעיף ג, מצאו את כל ערכי kk שבעבורם למשוואה g(x)=kg(x)=k יש בדיוק שני פתרונות.

שאלה 10 · פונקציה מעריכית ריבועית: קיצון, שטח וערך מוחלטשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=(ex−2)2−9f(x)=(e^x-2)^2-9, המוגדרת לכל xx.

א.
(1)

מצאו את משוואת האסימפטוטה האופקית של הפונקציה f(x)f(x).

(2)

הראו כי f′(x)=2ex(ex−2)f'(x)=2e^x(e^x-2), ומצאו את שיעורי נקודת הקיצון של f(x)f(x) וקבעו את סוגה.

(3)

מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים, וסרטטו סקיצה של הגרף.

ב.

נתונה הפונקציה g(x)=4ex−17g(x)=4e^x-17, המוגדרת לכל xx.

(1)

הראו כי שיעורי ה-xx של נקודות החיתוך בין הגרפים של ff ושל gg מקיימים e2x−8ex+12=0e^{2x}-8e^x+12=0, ומצאו את נקודות החיתוך.

(2)

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרפים של f(x)f(x) ושל g(x)g(x).

ג.

נתונה הפונקציה h(x)=∣f(x)∣h(x)=|f(x)|.

(1)

היעזרו בסקיצה של ff ומצאו את נקודות הקיצון של h(x)h(x) ואת האסימפטוטה האופקית שלה.

(2)

כמה נקודות חיתוך יש לגרף הפונקציה h(x)h(x) עם הישר y=7y=7? ועם הישר y=3y=3?

עוד 33 שאלות על משוואות מעריכיות

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

  1. פונקציה מעריכית עם פרמטר, הפונקציה ומקסימום של אינטגרל (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: f(x)=e2x−4ex+m6f(x)=\frac{e^{2x}-4e^x+m}{6}. mm הוא פרמטר. ידוע כי הישר y=−2y=-2 הוא אסימפטוטה של הפונקציה f(x)f(x).

  2. משפחת פונקציות מעריכיות: מספר אפסים ותחום של לפי פרמטר (שאלה מלאה · קשה)

    נתונה הפונקציה f(x)=e2x−2ex+mf(x)=e^{2x}-2e^{x}+m, mm הוא פרמטר.

  3. פונקציה מעריכית ופונקציית ההופכי שלה: חקירה, שטח ופונקציה צוברת (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה הפונקציה: f(x)=exex−2f(x)=\frac{e^x}{e^x-2}.

  4. פונקציה מעריכית יורדת עם חזקה n: אסימפטוטות, שטח וערך מוחלט (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה f(x)=(e−x−1)n−9f(x)=(e^{-x}-1)^n-9, המוגדרת לכל xx. nn הוא מספר טבעי גדול או שווה ל-2.

  5. פונקציה מעריכית עם פרמטר: טווח, שטח קבוע וקיום קיצון (שאלה מלאה · קשה)

    נתונה הפונקציה: f(x)=exex−af(x)=\frac{e^x}{e^x-a}, aa הוא פרמטר חיובי.

  6. שתי פונקציות מעריכיות: חקירה, זיהוי גרפים ושטח (שאלה מלאה · קלה)

    נתונות הפונקציות f(x)=2e2xe2x−6ex+5f(x)=\frac{2e^{2x}}{e^{2x}-6e^x+5} ו-g(x)=6exe2x−6ex+5g(x)=\frac{6e^x}{e^{2x}-6e^x+5}.

  7. פונקציה מעריכית ופונקציית ההופכי שלה: חקירה, שטח ופונקציה צוברת (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: f(x)=3exex−4f(x)=\frac{3e^x}{e^x-4}.

  8. פונקציה מעריכית עם שתי אסימפטוטות: מספר פתרונות ושטח הפוך (שאלה מלאה · קשה)

    נתונה הפונקציה f(x)=2e2xe2x−6ex+8f(x)=\frac{2e^{2x}}{e^{2x}-6e^x+8}.

  9. פונקציה מעריכית והפונקציה ההופכית לה 1/f (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה הפונקציה: f(x)=ex−3(ex−1)2f(x)=\frac{e^x-3}{(e^x-1)^2}.

  10. שתי פונקציות מעריכיות עם מכנה משותף: חקירה, זיהוי גרפים ושטח (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה f(x)=2e2xe2x−7ex+6f(x)=\frac{2e^{2x}}{e^{2x}-7e^x+6}.

  11. פונקציה מעריכית עם פרמטר: קיצון ומספר נקודות חיתוך עם 1/f (שאלה מלאה · קשה)

    נתונה הפונקציה: f(x)=ex−b(ex−4)2f(x)=\frac{e^x-b}{(e^x-4)^2}, bb הוא פרמטר חיובי, b≠4b\neq4. נתונה גם הפונקציה g(x)=1f(x)g(x)=\frac1{f(x)}.

  12. פונקציות מעריכיות: סימן הנגזרת מתוך שני גרפים (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה הפונקציה: k(x)=xexk(x)=xe^x, ונתונה הפונקציה: m(x)=3ex−2m(x)=3e^x-2, המוגדרות לכל xx.

  13. פונקציה מעריכית עם פרמטר והפונקציה 1/f (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: f(x)=ex−b(ex−2)2f(x)=\frac{e^x-b}{(e^x-2)^2}, bb הוא פרמטר חיובי, b≠2b\neq2.

  14. פונקציה מעריכית עם פרמטר: טווח, נקודה חסרה ואינטגרלים לכל a (שאלה מלאה · קשה)

    נתונה הפונקציה f(x)=aex−af(x)=\frac{a}{e^x-a}, aa הוא פרמטר שונה מ-0.

  15. פונקציה מעריכית: אסימפטוטות, נקודה חסרה וחסם לאינטגרל (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה הפונקציה f(x)=exex−4f(x)=\frac{e^x}{e^x-4}.

  16. פונקציות מעריכיות: חיתוכי שני גרפים קובעים את הקיצון של מנה (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: k(x)=(x−2)exk(x)=(x-2)e^x, ונתונה הפונקציה: m(x)=ex−1m(x)=e^x-1, המוגדרות לכל xx.

  17. פונקציה מעריכית עם פרמטר: קיצון נסתר וחיתוכים (שאלה מלאה · קשה)

    נתונה הפונקציה f(x)=ex−k1−exf(x)=e^x-\frac{k}{1-e^x}, המוגדרת לכל x≠0x\neq0. k>0k>0 הוא פרמטר.

  18. משוואות מעריכיות (שאלה קצרה · קלה)

    נתונות הפונקציות f(x)=2exex−5f(x)=\frac{2e^x}{e^x-5} ו-g(x)=1f(x)−3g(x)=\frac{1}{f(x)-3}.

  19. פונקציה מעריכית עם פרמטר: זיהוי גרפים, נקודה חסרה והשוואת אינטגרלים (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה f(x)=exex+af(x)=\frac{e^x}{e^x+a}, aa הוא פרמטר שונה מ-0. בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים I-IV: גרף I: גרף II: גרף III: גרף IV:

  20. פרמטר במשוואה מעריכית מסכום הפתרונות (שאלה קצרה · קשה)

    נתונה המשוואה a⋅4x−5⋅2x+1+8=0a\cdot4^{x}-5\cdot2^{x+1}+8=0, כאשר aa פרמטר. ידוע כי למשוואה שני פתרונות שונים, וסכומם 33.

  21. פונקציה מעריכית: אסימפטוטות, סקיצה ושטח (בלי פרמטר) (שאלה מלאה · קלה)

    נתונה הפונקציה: f(x)=1ex−1+9ex−9+2f(x)=\frac{1}{e^x-1}+\frac{9}{e^x-9}+2.

  22. לפי סימן הפרמטר: זיהוי גרפים, נקודה חסרה והשוואת אינטגרלים (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה f(x)=exe2x−af(x)=\frac{e^x}{e^{2x}-a}, aa הוא פרמטר שונה מ-0. בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים I-IV: גרף I: גרף II: גרף III: גרף IV:

  23. משוואה מעריכית בהצבה u=5ˣ+5⁻ˣ ופסילת פתרון (שאלת ביניים · קשה)

    נתונה המשוואה 5(25x+25−x)−31(5x+5−x)+36=05\left(25^x+25^{-x}\right)-31\left(5^x+5^{-x}\right)+36=0.

  24. משוואה מעריכית בהצבה t=2ˣ (שאלה קצרה · קלה)

    נתונה המשוואה 4x−5⋅2x+1+16=04^{x}-5\cdot2^{x+1}+16=0.

  25. חקירת פונקציה מעריכית ושטח עם פרמטר (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: f(x)=ex−41−exf(x)=e^x-\frac{4}{1-e^x}. הפונקציה f(x)f(x) מוגדרת לכל x≠0x\neq0.

  26. משוואות מעריכיות (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונה הפונקציה f(x)=ex−6ex+1f(x)=e^x-\frac{6}{e^x+1}, המוגדרת לכל xx.

  27. חקירת , פונקציה קדומה דרך נגזרת נתונה ושטח עם פרמטר (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: f(x)=e2x+4exex−1f(x)=e^{2x}+\frac{4e^x}{e^x-1}. הפונקציה f(x)f(x) מוגדרת לכל x≠0x\neq0.

  28. פונקציה מעריכית עם פרמטר: אסימפטוטות, סקיצה ושטח (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: f(x)=1ex−1+7ex−7+af(x)=\frac{1}{e^x-1}+\frac{7}{e^x-7}+a. aa הוא פרמטר.

  29. פונקציה מעריכית עם פרמטר: מספר החיתוכים לפי הפרמטר ושטח (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: f(x)=2ex−2+8ex−8+af(x)=\frac{2}{e^x-2}+\frac{8}{e^x-8}+a. aa הוא פרמטר.

  30. סכום שברים עם ו- ופרמטר: אסימפטוטות, סקיצה ושטח בעזרת (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: f(x)=6e2x−3+4ex−4+af(x)=\frac{6}{e^{2x}-3}+\frac{4}{e^x-4}+a. aa הוא פרמטר.

  31. חקירת פונקציה מעריכית: פרמטר מנקודת קיצון, פונקציה קדומה עם נקודת פיתול, ln|g| וזיהוי גרף (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה f(x)=ex(a+1(ex−1)2)f(x)=e^x\left(a+\frac{1}{(e^x-1)^2}\right). aa הוא פרמטר חיובי.

  32. משוואה מעריכית עם שני בסיסים שונים (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונה המשוואה 7x−7x−1=6x7^{x}-7^{x-1}=6^{x}.

  33. מערכת משוואות מעריכיות בהצבה (שאלת ביניים · בינונית)

    נתונה מערכת המשוואות: 3x−3y=243^x-3^y=24, x+y=4x+y=4.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (118)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

ועוד 58 שאלות במחולל המבחנים.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.