מבחן לדוגמה: אי-שוויונות מעריכיים - כיתה י"ב 5 יח"ל

פתרו את אי-השוויון.

הראו כי: $f'(x)=\frac{-2(e^x-1)^2}{2-e^x}$.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$.

נתונה הפונקציה $g(x)=f(x)+0.5x$, שתחום ההגדרה שלה זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$.

היעזרו בגרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$, וקבעו כמה נקודות קיצון יש לפונקציה $g(x)$ ומה סוג כל אחת מהן. נמקו.

מצאו, באמצעות $c$, את ערכי $x$ שעבורם $f(x)>g(x)$.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$.

נתונה הפונקציה $g(x)=-4x+4\ln(e^x-1)$.

בנקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)$ מעבירים אנך לציר ה-$x$.

מצאו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $f(x)$, על ידי ציר ה-$x$, על ידי האנך ועל ידי הישר $x=\ln(b)$. $b>3$ הוא פרמטר. הביעו את תשובתכם באמצעות $b$.

נתון כי השטח שמצאתם בסעיף ד שווה ל-$b-3+4\ln(1.4)$.

מצאו את הערך של $b$.

פתרו את אי-השוויון.

הראו כי בהצבה $t=2^x$ אי-השוויון הופך ל-$t^2-2t+a>0$, וכי אפשר לכתוב אותו בצורה $(t-1)^2+a-1>0$.

פתרו את אי-השוויון עבור $a=-8$.

מצאו את כל ערכי $a$ שעבורם אי-השוויון מתקיים לכל $x$.