דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

שאלות פתוחות: אי-שוויונות מעריכיים - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על אי-שוויונות מעריכיים לכיתה י"ב, 5 יחידות. יש כאן אי-שוויונות שבהם מציבים משתנה עזר ומקבלים אי-שוויון ריבועי, אי-שוויון שבו המעריך הוא ביטוי ריבועי, ושאלות שבהן פותרים אי-שוויון מעריכי כדי למצוא תחום הגדרה או תחומי עלייה וירידה של פונקציה עם e^x ועם ln. רוב השאלות ברמה קלה, ויש גם בינוניות וקשות. מתאים לדף עבודה או לבוחן, וכל שאלה מגיעה עם פתרון מלא וייצוא לוורד.

56 שאלותקלה: 38בינונית: 12קשה: 6

שאלה 1 · אי-שוויונות מעריכייםשאלה קצרה · קלה

נתון אי-השוויון: 4x−5⋅2x+4<04^x-5\cdot2^x+4<0.

פתרו את אי-השוויון.

שאלה 2 · חקירת פונקציה מעריכית ושטח עם פרמטרשאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה: f(x)=ex−41−exf(x)=e^x-\frac{4}{1-e^x}. הפונקציה f(x)f(x) מוגדרת לכל x≠0x\neq0.

א.
(1)

מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה f(x)f(x).

(2)

האם לגרף הפונקציה f(x)f(x) יש נקודות חיתוך עם הצירים? נמקו את תשובתכם.

(3)

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x), וקבעו את סוגה.

ב.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x).

ג.

נתונה הפונקציה g(x)=−4x+4ln⁡(ex−1)g(x)=-4x+4\ln(e^x-1).

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x)g(x).

(2)

הראו כי g′(x)=f(x)−exg'(x)=f(x)-e^x לכל xx בתחום ההגדרה של הפונקציה g(x)g(x).

ד.

בנקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x) מעבירים אנך לציר ה-xx.

מצאו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x)f(x), על ידי ציר ה-xx, על ידי האנך ועל ידי הישר x=ln⁡(b)x=\ln(b). b>3b>3 הוא פרמטר. הביעו את תשובתכם באמצעות bb.

ה.

נתון כי השטח שמצאתם בסעיף ד שווה ל-b−3+4ln⁡(1.4)b-3+4\ln(1.4).

מצאו את הערך של bb.

שאלה 3 · פונקציה מעריכית-לוגריתמית עם פרמטר: משיק אופקי ומיון קיצוניםשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=5ex−x+b⋅ln⁡(5−ex)f(x)=5e^x-x+b\cdot\ln(5-e^x), b>0b>0 הוא פרמטר.

א.
(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x).

(2)

מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה f(x)f(x) (אם יש כאלה).

ב.

נתון כי לגרף הפונקציה f(x)f(x) יש משיק המקביל לציר ה-xx, ובנקודת ההשקה הפונקציה אינה עוברת מעלייה לירידה או מירידה לעלייה. מצאו את הערך של bb.

הציבו b=16b=16 וענו על הסעיפים ג-ד.

ג.
(1)

מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x).

(2)

לפונקציה ff יש נקודת פיתול אחת בלבד. סרטטו סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x).

ד.

נתונה הפונקציה g(x)=f(x)+axg(x)=f(x)+ax, שתחום ההגדרה שלה זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x). aa הוא פרמטר.

קבעו, לפי ערכי aa, כמה נקודות קיצון יש לפונקציה g(x)g(x). נמקו.

שאלה 4 · חקירת וגרף הנגזרת (מודרך)שאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=2ex−x+ln⁡(2−ex)f(x)=2e^x-x+\ln(2-e^x).

א.
(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x).

(2)

מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה f(x)f(x) (אם יש כאלה).

ב.

הראו כי: f′(x)=−2(ex−1)22−exf'(x)=\frac{-2(e^x-1)^2}{2-e^x}.

ג.
(1)

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x)f(x) (אם יש כאלה).

(2)

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה f(x)f(x) המקביל לציר ה-xx.

ד.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x).

ה.
(1)

מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x).

(2)

נתון כי לפונקציה f′(x)f'(x) יש נקודת קיצון אחת בלבד, בנקודה שבה x=0x=0. סרטטו סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) בתחום x<ln⁡2x<\ln2.

ו.

נתונה הפונקציה g(x)=f(x)+0.5xg(x)=f(x)+0.5x, שתחום ההגדרה שלה זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x).

היעזרו בגרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x), וקבעו כמה נקודות קיצון יש לפונקציה g(x)g(x) ומה סוג כל אחת מהן. נמקו.

שאלה 5 · חקירת , פונקציה קדומה דרך נגזרת נתונה ושטח עם פרמטרשאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה: f(x)=e2x+4exex−1f(x)=e^{2x}+\frac{4e^x}{e^x-1}. הפונקציה f(x)f(x) מוגדרת לכל x≠0x\neq0.

א.
(1)

מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה f(x)f(x).

(2)

האם לגרף הפונקציה f(x)f(x) יש נקודות חיתוך עם הצירים? נמקו את תשובתכם.

(3)

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x), וקבעו את סוגה.

ב.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x).

ג.

נתונה הפונקציה g(x)=4x+4ln⁡(1−e−x)g(x)=4x+4\ln\left(1-e^{-x}\right).

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x)g(x).

(2)

הראו כי g′(x)=f(x)−e2xg'(x)=f(x)-e^{2x} לכל xx בתחום ההגדרה של הפונקציה g(x)g(x).

ד.

בנקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x) מעבירים אנך לציר ה-xx.

מצאו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x)f(x), על ידי ציר ה-xx, על ידי האנך ועל ידי הישר x=ln⁡(b)x=\ln(b). b>2b>2 הוא פרמטר. הביעו את תשובתכם באמצעות bb.

ה.

נתון כי השטח שמצאתם בסעיף ד שווה ל-b22−2+ln⁡81\frac{b^2}{2}-2+\ln81.

מצאו את הערך של bb.

שאלה 6 · אי-שוויון מעריכי עם 3ˣ ו-3⁻ˣשאלה קצרה · קשה

נתון אי-השוויון 3x+1+31−x≤103^{x+1}+3^{1-x}\le10.

פתרו את אי-השוויון.

שאלה 7 · אי-שוויון מעריכי עם מעריך ריבועישאלה קצרה · קלה

נתון אי-השוויון 5x2≤54x5^{x^2}\le5^{4x}.

פתרו את אי-השוויון.

שאלה 8 · חקירת , גרף הנגזרת ופרמטרשאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה: f(x)=3ex−x+4⋅ln⁡(3−ex)f(x)=3e^x-x+4\cdot\ln(3-e^x).

א.
(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x).

(2)

מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה f(x)f(x) (אם יש כאלה).

ב.

הראו כי: f′(x)=−3(ex−1)23−exf'(x)=\frac{-3(e^x-1)^2}{3-e^x}.

ג.
(1)

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x)f(x) (אם יש כאלה).

(2)

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה f(x)f(x) המקביל לציר ה-xx.

ד.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x).

ה.
(1)

מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x).

(2)

לפונקציה ff יש נקודת פיתול אחת בלבד. סרטטו סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) בתחום x<ln⁡3x<\ln3.

ו.

נתונה הפונקציה g(x)=f(x)+axg(x)=f(x)+ax, שתחום ההגדרה שלה זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x). aa הוא פרמטר.

היעזרו בגרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x), ומצאו עבור אילו ערכים של aa יש לפונקציה g(x)g(x) שתי נקודות קיצון. נמקו את תשובותיכם.

שאלה 9 · אי-שוויון מעריכי עם פרמטר שמתקיים לכל xשאלת ביניים · קשה

נתון אי-השוויון 4x−2x+1+a>04^x-2^{x+1}+a>0, כאשר aa פרמטר.

א.

הראו כי בהצבה t=2xt=2^x אי-השוויון הופך ל-t2−2t+a>0t^2-2t+a>0, וכי אפשר לכתוב אותו בצורה (t−1)2+a−1>0(t-1)^2+a-1>0.

ב.

פתרו את אי-השוויון עבור a=−8a=-8.

ג.

מצאו את כל ערכי aa שעבורם אי-השוויון מתקיים לכל xx.

שאלה 10 · חקירת , גרף הנגזרת ופרמטרשאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה: f(x)=−8e−x−2⋅ln⁡(ex−1)f(x)=-8e^{-x}-2\cdot\ln\left(e^x-1\right).

א.
(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x).

(2)

מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה f(x)f(x) (אם יש כאלה).

ב.

הראו כי: f′(x)=−2(ex−2)2ex(ex−1)f'(x)=\frac{-2(e^x-2)^2}{e^x(e^x-1)}.

ג.
(1)

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x)f(x) (אם יש כאלה).

(2)

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה f(x)f(x) המקביל לציר ה-xx.

ד.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x).

ה.
(1)

מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x).

(2)

לפונקציה ff יש נקודת פיתול אחת בלבד. סרטטו סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) בתחום x>0x>0.

ו.

נתונה הפונקציה g(x)=f(x)+axg(x)=f(x)+ax, שתחום ההגדרה שלה זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x). aa הוא פרמטר.

היעזרו בגרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x), ומצאו עבור אילו ערכים של aa יש לפונקציה g(x)g(x) שתי נקודות קיצון. נמקו את תשובותיכם.

עוד 2 שאלות על אי-שוויונות מעריכיים

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

  1. אי-שוויון מעריכי עם פרמטר בהשוואת בסיסים (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונות הפונקציות f(x)=4x+cf(x)=4^{x+c} ו-g(x)=2xg(x)=2^x, כאשר cc פרמטר.

  2. אי-שוויונות מעריכיים בבסיס קטן מ-1 ובהצבה (שאלת ביניים · בינונית)

    נתונים שני אי-שוויונות: (I) (12)x2−2x≥18\left(\frac12\right)^{x^2-2x}\ge\frac18 (II) 4x−3⋅2x−4<04^x-3\cdot2^x-4<0

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (42)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.