מבחן לדוגמה: המספר e והפונקציה e^kx - כיתה י"ב 5 יח"ל

חשבו את הסכום אחרי שנה עבור $n=1$, עבור $n=12$ (ריבית חודשית) ועבור $n=365$ (ריבית יומית), ואת הסכום בריבית רציפה. עגלו לאגורות.

באותה דרך, בריבית שנתית של $100\%$ המחושבת $n$ פעמים בשנה, $1$ ₪ גדל אחרי שנה ל-$\left(1+\frac1n\right)^n$ ₪. חשבו את הביטוי עבור $n=1$, $n=10$ ו-$n=1000$ (שלוש ספרות אחרי הנקודה), והשוו ל-$e\approx2.718$.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$.

מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה $f(x)$.

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם גרף הפונקציה $g(x)$.

נתונה הפונקציה $g(x)$ המקיימת: $g(x)=\frac{1}{f(x)}$. הפונקציות $g(x)$ ו-$f(x)$ מוגדרות באותו התחום.

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם גרף הפונקציה $g(x)$.

נתונה הפונקציה: $s(x)=\int_x^{\ln2}\big(f(t)-g(t)\big)dt$, המוגדרת בתחום: $x<\ln2$.

מצאו את שיעור ה-$x$ של נקודת הקיצון של הפונקציה $s(x)$ וקבעו את סוגה.

הגרפים של הפונקציות $k(x)$ ו-$m(x)$ נחתכים בשתי נקודות בדיוק, נקודה אחת שבה: $x=c$ ונקודה נוספת שבה: $x=d$, $d>c$.

סרטטו באותה מערכת צירים סקיצה של גרף הפונקציה $k(x)$ ושל גרף הפונקציה $m(x)$.

נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^x-1}{x-2}$, המוגדרת לכל $x\ne2$.

הסבירו מדוע למשוואה: $f'(x)=0$ יש בדיוק שני פתרונות.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$.

מצאו את $k$, הראו כי בכל שעה כמות החיידקים גדלה פי $2$, ומצאו כעבור כמה שעות מתחילת הניסוי תהיה הכמות גדולה פי $1000$ מהכמות ההתחלתית. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

הראו כי $e^{2k}=3$, ומצאו את $k$.

מצאו את שיעורי הנקודות $A$ ו-$B$ ואת משוואת הישר $AB$.

בלי לחשב את $k$ בקירוב, מצאו פי כמה $f(5)$ גדול מ-$f(1)$, ומצאו את $f(5)$. האם הנקודה $D\left(5,f(5)\right)$ נמצאת על הישר $AB$? נמקו.