שאלות פתוחות: המספר e והפונקציה e^kx - כיתה י"ב 5 יח"ל

נתונה הפונקציה $g(x)$ המקיימת: $g(x)=\frac{1}{f(x)}$. הפונקציות $g(x)$ ו-$f(x)$ מוגדרות באותו התחום.

הראו כי בנקודת חיתוך של הגרפים של $f(x)$ ו-$g(x)$ מתקיים $f^2(x)=1$, ומצאו את נקודת החיתוך.

נתונה הפונקציה $s(x)=\int_x^{\ln1.5}\big(f(t)-g(t)\big)dt$, המוגדרת בתחום $x<\ln1.5$.

הראו כי $s'(x)=g(x)-f(x)$, ומצאו את שיעור ה-$x$ של נקודת הקיצון של $s(x)$ וקבעו את סוגה.

נתונה הפונקציה $g(x)$ המקיימת: $g(x)=\frac{1}{f(x)}$. הפונקציות $g(x)$ ו-$f(x)$ מוגדרות באותו התחום.

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם גרף הפונקציה $g(x)$.

נתונה הפונקציה: $s(x)=\int_x^{\ln2}\big(f(t)-g(t)\big)dt$, המוגדרת בתחום: $x<\ln2$.

מצאו את שיעור ה-$x$ של נקודת הקיצון של הפונקציה $s(x)$ וקבעו את סוגה.

נתונה הפונקציה $g(x)$ המקיימת: $g(x)=\frac{1}{f(x)}$. הפונקציות $g(x)$ ו-$f(x)$ מוגדרות באותו התחום.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף $g(x)$, האסימפטוטה האופקית שלה והישרים $x=\ln(2a)$ ו-$x=\ln(4a)$. האם השטח תלוי ב-$a$? נמקו.

נתון: $a>1$. נתונה הפונקציה $s(x)=\int_x^{0}\big(f(t)-g(t)\big)dt$, המוגדרת בתחום $x<0$.

לאילו ערכים של $a$ יש לפונקציה $s(x)$ נקודת קיצון? מצאו את שיעור ה-$x$ שלה (באמצעות $a$) וקבעו את סוגה.

מצאו את האסימפטוטה של $k(x)$ המאונכת לציר ה-$y$, את תחומי העלייה והירידה של $k(x)$ ואת נקודת החיתוך של גרף $k(x)$ עם ציר ה-$y$.

מצאו את האסימפטוטה של $m(x)$ המאונכת לציר ה-$y$, הראו כי $m(x)$ עולה לכל $x$, ומצאו את נקודת החיתוך של גרף $m(x)$ עם ציר ה-$y$.

הגרפים של $k(x)$ ו-$m(x)$ נחתכים בשתי נקודות בדיוק, שבהן $x=c$ ו-$x=d$, $c<d$.

הראו כי $k(0)<m(0)$ וכי $k(2)<m(2)$. סרטטו באותה מערכת צירים סקיצה של שני הגרפים, והסבירו מדוע $c<0$ ו-$d>2$.

נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^x-2}{x-2}$, המוגדרת לכל $x\ne2$.

הראו כי $f'(x)=\frac{k(x)-m(x)}{(x-2)^2}$.

היעזרו בסקיצה מסעיף ג, והביעו באמצעות $c$ ו-$d$ את תחומי העלייה והירידה של $f(x)$.

מצאו את האסימפטוטות של $f(x)$ המאונכות לצירים ואת נקודת החיתוך של גרף $f(x)$ עם ציר ה-$x$.

הגרפים של הפונקציות $k(x)$ ו-$m(x)$ נחתכים בשתי נקודות בדיוק, נקודה אחת שבה: $x=c$ ונקודה נוספת שבה: $x=d$, $d>c$.

סרטטו באותה מערכת צירים סקיצה של גרף הפונקציה $k(x)$ ושל גרף הפונקציה $m(x)$.

נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^x-1}{x-2}$, המוגדרת לכל $x\ne2$.

הסבירו מדוע למשוואה: $f'(x)=0$ יש בדיוק שני פתרונות.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$.

מצאו את $k$, הראו כי בכל שעה כמות החיידקים גדלה פי $2$, ומצאו כעבור כמה שעות מתחילת הניסוי תהיה הכמות גדולה פי $1000$ מהכמות ההתחלתית. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

חשבו את הסכום אחרי שנה עבור $n=1$, עבור $n=12$ (ריבית חודשית) ועבור $n=365$ (ריבית יומית), ואת הסכום בריבית רציפה. עגלו לאגורות.

באותה דרך, בריבית שנתית של $100\%$ המחושבת $n$ פעמים בשנה, $1$ ₪ גדל אחרי שנה ל-$\left(1+\frac1n\right)^n$ ₪. חשבו את הביטוי עבור $n=1$, $n=10$ ו-$n=1000$ (שלוש ספרות אחרי הנקודה), והשוו ל-$e\approx2.718$.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של הגרפים, ואת תחום ה-$x$ שבו גרף $f(x)$ נמצא מתחת לגרף $g(x)$.

הראו כי $e^{2k}=3$, ומצאו את $k$.

מצאו את שיעורי הנקודות $A$ ו-$B$ ואת משוואת הישר $AB$.

בלי לחשב את $k$ בקירוב, מצאו פי כמה $f(5)$ גדול מ-$f(1)$, ומצאו את $f(5)$. האם הנקודה $D\left(5,f(5)\right)$ נמצאת על הישר $AB$? נמקו.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$.

מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה $f(x)$.

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם גרף הפונקציה $g(x)$.