מבחן לדוגמה: נגזרת של eˣ ושל e^f(x) - כיתה י"ב 5 יח"ל

מצאו את $g'(1)$.

מגדירים $h(x)=e^{g(x^2)}$. מצאו את שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $h(x)$ בנקודה שבה $x=1$.

הראו כי $f'(x)=x\left(2-3x^3\right)e^{-x^3}$, ומצאו את נקודות הקיצון של $f(x)$ וקבעו את סוגן.

$f(x)$ היא פונקציה קדומה של $f'(x)$. היעזרו בכך וחשבו את השטח הכלוא בין הגרף של $f'(x)$ לבין ציר ה-$x$.

הפונקציה $g(x)$ מקיימת $g'(x)=f(x)$ ו-$g(0)=0$.

מצאו את $g(x)$.

מצאו את שיעורי ה-$x$ של נקודות הפיתול של $g(x)$. נמקו.

מצאו את הערכים של $a$ ו-$b$ שבעבורם $g'(x)=f(x)$ לכל $x$.

הראו כי $g(x)$ עולה לכל $x$.

קבעו איזה מן הגרפים I-IV שבסוף השאלה מתאר את הפונקציה $f(x)$ בעבור $a=2$ ואיזה מן הגרפים מתאר את הפונקציה $f(x)$ בעבור $a=-2$. נמקו את קביעותיכם.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $g(x)$.

לפניכם טענה: $\int_{-4}^{-2}g(x)\,dx<\int_{2}^{4}g(x)\,dx$. האם הטענה נכונה? נמקו את תשובתכם.

מצאו את הערך של $a$ שבעבורו: $f(x)=g'(x)$ לכל ערך של $x$.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם הצירים.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של כל אחת מן הפונקציות $f(x)$ ו-$g(x)$, וקבעו את סוגן.

הראו כי $g(x)$ מוגדרת לכל $x$, ומצאו את משוואות האסימפטוטות של $g(x)$ המאונכות לציר ה-$y$.

מצאו כמה נקודות קיצון יש לפונקציה $g(x)$ וקבעו את סוגן. עבור כל אחת מהן מצאו שני מספרים שלמים עוקבים שביניהם נמצא שיעור ה-$x$ שלה.

הוכיחו כי בכל נקודת קיצון $x_0$ של $g(x)$ מתקיים $g(x_0)=\frac{1}{3-x_0}$, והסיקו כי ערך המינימום של $g(x)$ קטן מ-$-1$.

גרף הפונקציה $g(x)$ חותך את האסימפטוטה $y=-1$. מצאו את נקודת החיתוך, וחשבו את השטח המוגבל על ידי גרף $g(x)$, על ידי ציר ה-$x$ ועל ידי הישר המאונך לציר ה-$x$ העובר בנקודה זו.