שאלות פתוחות: נגזרת של eˣ ושל e^f(x) - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על נגזרת של eˣ ושל e^(f(x)), לכיתה י"ב, 5 יחידות. השאלות כוללות גזירה של מכפלות כמו (x-4)eˣ, פונקציה מהצורה e בחזקת פולינום עם פרמטרים ונקודת קיצון נתונה, e בחזקת sin x, משיק לפונקציה מורכבת, ופונקציות עם פרמטר שבהן בודקים נקודות קיצון. זה אחד השיעורים הגדולים בפרק, עם שאלות ברמה קלה, בינונית וקשה. אפשר להרכיב ממנו מבחנים ודפי עבודה, וכל שאלה מגיעה עם פתרון מלא וייצוא לוורד.

176 שאלותקלה: 94בינונית: 67קשה: 15

שאלה 1 · נגזרת של eˣ ושל e^f(x)שאלה קצרה · קלה

g(x)g(x)g(x) היא פונקציה גזירה המוגדרת לכל xxx, ונתון g(1)=0g(1)=0g(1)=0. מגדירים f(x)=eg(x)f(x)=e^{g(x)}f(x)=eg(x). המשיק לגרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) בנקודה שבה x=1x=1x=1 הוא הישר y=2x−1y=2x-1y=2x−1.

א.

מצאו את g′(1)g'(1)g′(1).

ב.

מגדירים h(x)=eg(x2)h(x)=e^{g(x^2)}h(x)=eg(x2). מצאו את שיפוע המשיק לגרף הפונקציה h(x)h(x)h(x) בנקודה שבה x=1x=1x=1.

שאלה 2 · נגזרת של eˣ ושל e^f(x)שאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=eax2+bxf(x)=e^{ax^2+bx}f(x)=eax2+bx המוגדרת לכל xxx, כאשר aaa ו-bbb פרמטרים. לפונקציה יש נקודת קיצון בנקודה (1,1e)\left(1,\frac{1}{e}\right)(1,e1​).

א.

מצאו את aaa ואת bbb.

ב.

קבעו את סוג נקודת הקיצון, ומצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.

שאלה 3 · נגזרת של eˣ ושל e^f(x)שאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=esin⁡x+e−sin⁡xf(x)=e^{\sin x}+e^{-\sin x}f(x)=esinx+e−sinx בתחום 0<x<2π0<x<2\pi0<x<2π.

מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה בתחום הנתון, וקבעו את סוגן.

שאלה 4 · נגזרת של eˣ ושל e^f(x)שאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=(x−4)exf(x)=(x-4)e^{x}f(x)=(x−4)ex המוגדרת לכל xxx.

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה, וקבעו את סוגה.

שאלה 5 · חקירת פונקציה מעריכית ומנה הנשענת עליהשאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה: f(x)=xex−3ex+1f(x)=xe^x-3e^x+1f(x)=xex−3ex+1 המוגדרת לכל xxx.

א.

(1)

מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x)f(x)f(x) המאונכות לציר ה-yyy (אם יש כאלה).

(2)

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם ציר ה-yyy.

(3)

מצאו את תחומי העלייה ואת תחומי הירידה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

(4)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ב.

נתונה הפונקציה g(x)=1−exex−x+1g(x)=\frac{1-e^x}{e^x-x+1}g(x)=ex−x+11−ex​, המוגדרת לכל xxx.

(1)

מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה g(x)g(x)g(x) המאונכות לציר ה-yyy.

(2)

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x) עם ציר ה-xxx (אם יש כאלה).

(3)

הוכיחו כי: g′(x)=f(x)(ex−x+1)2g'(x)=\frac{f(x)}{(e^x-x+1)^2}g′(x)=(ex−x+1)2f(x)​.

ג.

היעזרו בסקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) ומצאו כמה נקודות מקסימום וכמה נקודות מינימום יש לפונקציה g(x)g(x)g(x). נמקו את התשובה.

ד.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x).

ה.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x), על ידי ציר ה-xxx ועל ידי הישר: x=−2x=-2x=−2.

שאלה 6 · נגזרת של eˣ ושל e^f(x)שאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=e2x−kex+xf(x)=e^{2x}-ke^{x}+xf(x)=e2x−kex+x המוגדרת לכל xxx, כאשר kkk פרמטר.

מצאו את כל ערכי kkk שעבורם הפונקציה f(x)f(x)f(x) עולה בכל תחום הגדרתה.

שאלה 7 · פונקציה מעריכית ומנה: קיצונים מסימן הנגזרת ושטחשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=xex−2ex+2f(x)=xe^x-2e^x+2f(x)=xex−2ex+2 המוגדרת לכל xxx.

א.

(1)

מצאו את תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x)f(x) ואת שיעורי נקודת הקיצון שלה, וקבעו את סוגה.

(2)

מצאו את משוואת האסימפטוטה של f(x)f(x)f(x) המאונכת לציר ה-yyy, והראו כי f(0)=0f(0)=0f(0)=0.

(3)

נמקו מדוע לפונקציה f(x)f(x)f(x) יש בדיוק שתי נקודות חיתוך עם ציר ה-xxx, וקבעו באילו תחומים f(x)>0f(x)>0f(x)>0 ובאילו f(x)<0f(x)<0f(x)<0.

ב.

נתונה הפונקציה g(x)=2−exex−2xg(x)=\frac{2-e^x}{e^x-2x}g(x)=ex−2x2−ex​, המוגדרת לכל xxx, ונתון כי g′(x)=2f(x)(ex−2x)2g'(x)=\frac{2f(x)}{(e^x-2x)^2}g′(x)=(ex−2x)22f(x)​.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף g(x)g(x)g(x) עם הצירים.

ג.

היעזרו בסעיף א(3) ומצאו את שיעורי נקודת המקסימום של g(x)g(x)g(x). כמה נקודות מינימום יש ל-g(x)g(x)g(x)?

ד.

(1)

הראו כי המונה של g(x)g(x)g(x) שווה למינוס הנגזרת של המכנה שלה.

(2)

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף g(x)g(x)g(x), על ידי ציר ה-xxx ועל ידי ציר ה-yyy.

שאלה 8 · חקירת פונקציה לוגריתמית, גרף הנגזרת ו-e בחזקת הפונקציהשאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה: f(x)=−x+ln⁡(x2−8)f(x)=-x+\ln(x^2-8)f(x)=−x+ln(x2−8).

א.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

(2)

מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x)f(x)f(x) המאונכות לצירים (אם יש כאלה).

(3)

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגה.

(4)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ב.

f′(x)f'(x)f′(x) היא פונקציית הנגזרת של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x).

(2)

מצאו את משוואות האסימפטוטות של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x) המאונכות לצירים.

(3)

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x) עם הצירים (אם יש כאלה).

(4)

סרטטו סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x) אם ידוע כי אין לה נקודות קיצון.

ג.

נתונה הפונקציה: g(x)=ef(x)g(x)=e^{f(x)}g(x)=ef(x) המוגדרת באותו התחום כמו הפונקציה f(x)f(x)f(x).

(1)

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה g(x)g(x)g(x), וקבעו את סוגה.

(2)

מצאו את תחומי העלייה ואת תחומי הירידה של הפונקציה g(x)g(x)g(x).

ד.

חשבו את השטח המוגבל על ידי הפונקציה: y=f′(x)⋅g(x)y=f'(x)\cdot g(x)y=f′(x)⋅g(x), על ידי ציר ה-xxx ועל ידי הישרים: x=4x=4x=4 ו-x=5x=5x=5.

שאלה 9 · מנה מעריכית: קיצונים בלי פונקציית עזר וגרף החוצה את האסימפטוטהשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה g(x)=1−exex−x+2g(x)=\frac{1-e^x}{e^x-x+2}g(x)=ex−x+21−ex​.

א.

הראו כי g(x)g(x)g(x) מוגדרת לכל xxx, ומצאו את משוואות האסימפטוטות של g(x)g(x)g(x) המאונכות לציר ה-yyy.

ב.

מצאו כמה נקודות קיצון יש לפונקציה g(x)g(x)g(x) וקבעו את סוגן. עבור כל אחת מהן מצאו שני מספרים שלמים עוקבים שביניהם נמצא שיעור ה-xxx שלה.

ג.

הוכיחו כי בכל נקודת קיצון x0x_0x0​ של g(x)g(x)g(x) מתקיים g(x0)=13−x0g(x_0)=\frac{1}{3-x_0}g(x0​)=3−x0​1​, והסיקו כי ערך המינימום של g(x)g(x)g(x) קטן מ-−1-1−1.

ד.

גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x) חותך את האסימפטוטה y=−1y=-1y=−1. מצאו את נקודת החיתוך, וחשבו את השטח המוגבל על ידי גרף g(x)g(x)g(x), על ידי ציר ה-xxx ועל ידי הישר המאונך לציר ה-xxx העובר בנקודה זו.

שאלה 10 · פונקציה לוגריתמית ו-e בחזקתה: קיצון ושטחשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=x+ln⁡(x2−3)f(x)=x+\ln(x^2-3)f(x)=x+ln(x2−3).

א.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

(2)

הראו כי f′(x)=(x+3)(x−1)x2−3f'(x)=\frac{(x+3)(x-1)}{x^2-3}f′(x)=x2−3(x+3)(x−1)​.

(3)

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגה.

ב.

נתונה הפונקציה: g(x)=ef(x)g(x)=e^{f(x)}g(x)=ef(x) המוגדרת באותו התחום כמו הפונקציה f(x)f(x)f(x).

(1)

הראו כי g(x)=(x2−3)exg(x)=(x^2-3)e^xg(x)=(x2−3)ex.

(2)

הסבירו מדוע ל-g(x)g(x)g(x) יש נקודת קיצון באותו xxx ומאותו סוג כמו ל-f(x)f(x)f(x), ומצאו את שיעוריה.

ג.

חשבו את השטח המוגבל על ידי הפונקציה y=f′(x)⋅g(x)y=f'(x)\cdot g(x)y=f′(x)⋅g(x), על ידי ציר ה-xxx ועל ידי הישרים x=−4x=-4x=−4 ו-x=−3x=-3x=−3. היעזרו בכך ש-g′(x)=f′(x)⋅g(x)g'(x)=f'(x)\cdot g(x)g′(x)=f′(x)⋅g(x).

עוד 51 שאלות על נגזרת של eˣ ושל e^(f(x))

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

חקירת $x^{2} e^{a + 2 x^{3}}$ : פרמטר משטח מתחת לגרף הנגזרת, ופונקציה קדומה ונקודות הפיתול שלה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^2e^{a+2x^3}$ המוגדרת לכל $x$ , $a$ הוא פרמטר.
פונקציה לוגריתמית עם פרמטר: קיצון יחיד, בעיה הפוכה ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x+\ln(x^2-k)$ , כאשר $k>0$ הוא פרמטר.
חקירת $x^{2} e^{- x^{3}}$ , שטח מתחת לגרף הנגזרת ופונקציה קדומה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^2e^{-x^3}$ המוגדרת לכל $x$ .
פונקציה מעריכית עם פרמטר, הפונקציה $\frac{1}{f} + \frac{1}{2}$ ומקסימום של אינטגרל (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^{2x}-4e^x+m}{6}$ . $m$ הוא פרמטר. ידוע כי הישר $y=-2$ הוא אסימפטוטה של הפונקציה $f(x)$ .
פונקציה מעריכית עם פרמטר ו- $\frac{1}{f}$ : אסימפטוטות לפי פרמטר ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^{2x}-6e^x+m$ , כאשר $m$ פרמטר.
פונקציה מעריכית ו- $\frac{1}{f} + 1$ : חקירה מודרכת (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^{2x}-4e^x-5}{5}$ .
פונקציה מעריכית יורדת עם חזקה n: אסימפטוטות, שטח וערך מוחלט (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=(e^{-x}-1)^n-9$ , המוגדרת לכל $x$ . $n$ הוא מספר טבעי גדול או שווה ל-2.
פונקציה מעריכית עם פרמטר: שטח שאינו תלוי בפרמטר ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(e^x-1)^n-a$ , המוגדרת לכל $x$ . $n$ הוא מספר טבעי גדול או שווה ל-2, ו- $a>1$ הוא פרמטר.
פונקציה מעריכית שמשיקה לציר ה- $x$ : גרף של $ln f$ וחסם לאינטגרל (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=e^{2x}-4e^{x}+4$ .
פונקציה מעריכית ופונקציית ההופכי שלה: חקירה, שטח ופונקציה צוברת (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{3e^x}{e^x-4}$ .
פונקציה מעריכית עם פרמטר: טווח, שטח קבוע וקיום קיצון (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^x}{e^x-a}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי.
פונקציה מעריכית ריבועית: קיצון, שטח וערך מוחלט (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(e^x-2)^2-9$ , המוגדרת לכל $x$ .
פונקציה מעריכית מנגזרתה: פעמון הפוך וגרפים של 1/f' ושל e^h (שאלה מלאה · בינונית)
$f(x)$ היא פונקציה המוגדרת לכל $x$ , ו- $f'(x)$ היא פונקציית הנגזרת שלה, המוגדרת גם היא לכל $x$ . נתון: $f'(x)=4x\cdot e^{-\frac{x^2}{a}}$ , $a$ …
פונקציה מעריכית עם פרמטר: מסלול נקודות הפיתול ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
$f(x)$ היא פונקציה המוגדרת לכל $x$ , ונתון: $f'(x)=-2x\cdot e^{-\frac{x^2}{a}}$ , $f(0)=a$ , כאשר $a>0$ הוא פרמטר.
פונקציה מעריכית ופונקציית ההופכי שלה: חקירה, שטח ופונקציה צוברת (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^x}{e^x-2}$ .
שתי פונקציות מעריכיות עם מכנה משותף: חקירה, זיהוי גרפים ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{2e^{2x}}{e^{2x}-7e^x+6}$ .
פונקציה מעריכית עם שתי אסימפטוטות: מספר פתרונות ושטח הפוך (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{2e^{2x}}{e^{2x}-6e^x+8}$ .
פונקציה מעריכית מנגזרתה וגרף של 1/f' (שאלה מלאה · קלה)
$f(x)$ היא פונקציה המוגדרת לכל $x$ , ונתון: $f'(x)=-x\cdot e^{-\frac{x^2}{2}}$ . הגרפים I ו-II (לסעיף ד): גרף I: גרף II:
פונקציה מעריכית עם פרמטר והפונקציה 1/f (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^x-b}{(e^x-2)^2}$ , $b$ הוא פרמטר חיובי, $b\neq2$ .
פונקציה מעריכית עם פרמטר: קיצון ומספר נקודות חיתוך עם 1/f (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^x-b}{(e^x-4)^2}$ , $b$ הוא פרמטר חיובי, $b\neq4$ . נתונה גם הפונקציה $g(x)=\frac1{f(x)}$ .
שתי פונקציות מעריכיות: חקירה, זיהוי גרפים ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונות הפונקציות $f(x)=\frac{2e^{2x}}{e^{2x}-6e^x+5}$ ו- $g(x)=\frac{6e^x}{e^{2x}-6e^x+5}$ .
פונקציות מעריכיות: חיתוכי שני גרפים קובעים את הקיצון של מנה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $k(x)=(x-2)e^x$ , ונתונה הפונקציה: $m(x)=e^x-1$ , המוגדרות לכל $x$ .
מנה מעריכית עם פרמטר: מספר הקיצונים ומיקומם (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^x-a}{x-a}$ , המוגדרת לכל $x\ne a$ . $a$ הוא פרמטר.
פונקציה מעריכית והפונקציה ההופכית לה 1/f (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^x-3}{(e^x-1)^2}$ .
פונקציה ונגזרתה: $f = g^{'}$ , חקירה, שטח ואינטגרל (שאלה מלאה · בינונית)
נתונות הפונקציות: $f(x)=\frac{a-x^2}{e^x}$ , $g(x)=\frac{x^2+2x-7}{e^x}$ המוגדרות לכל $x$ . $a$ הוא פרמטר.
משפחת פונקציות מעריכיות: מקום המקסימום, מספר פתרונות ושטח הנגזרת (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{(x+k)^2}{e^x}$ המוגדרת לכל $x$ . $k$ הוא פרמטר.
פונקציות מעריכיות: סימן הנגזרת מתוך שני גרפים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $k(x)=xe^x$ , ונתונה הפונקציה: $m(x)=3e^x-2$ , המוגדרות לכל $x$ .
נגזרת של eˣ ושל e^f(x) (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הפונקציות: $f(x)=\frac{x^2-4x+a}{e^x}$ , $g(x)=\frac{bx-x^2-2}{e^x}$ המוגדרות לכל $x$ . $a$ ו- $b$ הם פרמטרים.
פונקציה מעריכית עם פרמטר: קיצון נסתר וחיתוכים (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^x-\frac{k}{1-e^x}$ , המוגדרת לכל $x\neq0$ . $k>0$ הוא פרמטר.
נגזרת של eˣ ושל e^f(x) (שאלה קצרה · קלה)
נתונות הפונקציות $k(x)=(x-3)e^x$ ו- $m(x)=4-e^{-x}$ , המוגדרות לכל $x$ .
פונקציה מעריכית עם פרמטר: זיהוי גרפים, נקודה חסרה והשוואת אינטגרלים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^x}{e^x+a}$ , $a$ הוא פרמטר שונה מ-0. בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים I-IV: גרף I: גרף II: גרף III: גרף IV:
הפונקציה g=e^f·f': מספר פתרונות של g(x)=m ושטח בגבולות משתנים (שאלה מלאה · קשה)
$g(x)$ היא פונקציה המקיימת $g(x)=e^{f(x)}\cdot f'(x)$ , כאשר $f'(x)$ היא הנגזרת של $f(x)$ . הפונקציות מוגדרות בתחום $x\neq0$ . נתון כי $f(x)$ …
פונקציה ופונקציה קדומה נתונה: קיצון, שטח ואינטגרל (שאלה מלאה · קלה)
נתונות הפונקציות: $f(x)=\frac{4-x^2}{e^x}$ , $g(x)=\frac{x^2+2x-2}{e^x}$ המוגדרות לכל $x$ .
$\frac{e ^{x}}{e ^{2 x} - a}$ לפי סימן הפרמטר: זיהוי גרפים, נקודה חסרה והשוואת אינטגרלים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^x}{e^{2x}-a}$ , $a$ הוא פרמטר שונה מ-0. בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים I-IV: גרף I: גרף II: גרף III: גרף IV:
פרמטר מתוך g'=f, ונקודות קיצון של מנות עם e בחזקת x (שאלת ביניים · קשה)
נתונות הפונקציות: $f(x)=\frac{a-x^2}{e^x}$ , $g(x)=\frac{x^2+2x-7}{e^x}$ המוגדרות לכל $x$ . $a$ הוא פרמטר.
פונקציה מעריכית: אסימפטוטות, נקודה חסרה וחסם לאינטגרל (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^x}{e^x-4}$ .
מנה של ביטויים ב- $e^{x}$ עם פרמטר: גרף הנגזרת והערכת אינטגרל לפי קעירות (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{2e^{2x}+6e^x}{e^{2x}+3}+b$ , המוגדרת לכל $x$ . $b$ הוא פרמטר.
חקירת פונקציה מעריכית ושטח בעזרת קדומה נתונה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^x-\frac{9}{1-e^x}$ , המוגדרת לכל $x\neq0$ .
חקירת פונקציה מעריכית ושטח עם פרמטר (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=e^x-\frac{4}{1-e^x}$ . הפונקציה $f(x)$ מוגדרת לכל $x\neq0$ .
פונקציה מעריכית: אסימפטוטות, סקיצה ושטח (בלי פרמטר) (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{1}{e^x-1}+\frac{9}{e^x-9}+2$ .
חקירת $e^{2 x} + \frac{4 e ^{x}}{e ^{x} - 1}$ , פונקציה קדומה דרך נגזרת נתונה ושטח עם פרמטר (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=e^{2x}+\frac{4e^x}{e^x-1}$ . הפונקציה $f(x)$ מוגדרת לכל $x\neq0$ .
הפונקציה g=e^f·f' עם f=2/x: נגזרת, קיצון ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac2x$ , ו- $g(x)=e^{f(x)}\cdot f'(x)$ , $x\ne0$ .
פונקציה מעריכית עם פרמטר: אסימפטוטות, סקיצה ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{1}{e^x-1}+\frac{7}{e^x-7}+a$ . $a$ הוא פרמטר.
פונקציה מעריכית עם פרמטר: מספר החיתוכים לפי הפרמטר ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{2}{e^x-2}+\frac{8}{e^x-8}+a$ . $a$ הוא פרמטר.
נגזרת של eˣ ושל e^f(x) (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=-\frac{4}{e^x+1}-\frac{1}{e^x-3}$ .
סכום שברים עם $e^{2 x}$ ו- $e^{x}$ ופרמטר: אסימפטוטות, סקיצה ושטח בעזרת $\frac{f ^{'}}{f}$ (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{6}{e^{2x}-3}+\frac{4}{e^x-4}+a$ . $a$ הוא פרמטר.
הפונקציה g=e^f·f': סימן, אסימפטוטות, קיצון ושטח עם פרמטר (שאלה מלאה · בינונית)
$f'(x)$ היא פונקציית הנגזרת של הפונקציה $f(x)$ . $g(x)$ היא פונקציה המקיימת $g(x)=e^{f(x)}\cdot f'(x)$ . הפונקציות $f(x)$ , $f'(x)$ ו- $g(x)$ …
הפונקציה $g = e^{f} \cdot f^{'}$ עבור $f = - \frac{6}{x ^{2}}$ : סימן, אסימפטוטות, קיצון ושטח עם פרמטר (שאלה מלאה · בינונית)
$f'(x)$ היא פונקציית הנגזרת של הפונקציה $f(x)$ . $g(x)$ היא פונקציה המקיימת $g(x)=e^{f(x)}\cdot f'(x)$ . הפונקציות $f(x)$ , $f'(x)$ ו- $g(x)$ …
חקירת פונקציה מעריכית: פרמטר מנקודת קיצון, פונקציה קדומה עם נקודת פיתול, ln|g| וזיהוי גרף (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^x\left(a+\frac{1}{(e^x-1)^2}\right)$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
נגזרת של מנה עם e בחזקת x ונקודת קיצון (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^x-3}{(e^x-1)^2}$ , המוגדרת לכל $x\neq0$ .
נגזרת בכלל השרשרת של שבר עם e בחזקת x ונקודת הקיצון (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^x-\frac{9}{1-e^x}$ , המוגדרת לכל $x\neq0$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

חקירת פונקציה מעריכית ומנה שהנגזרת שלה נשענת עליה · בגרות 572 קיץ 2022 מועד א', שאלה 4
נתונה הפונקציה: $f(x)=xe^x-2e^x+1$ המוגדרת לכל $x$ .
חקירת פונקציה לוגריתמית, גרף הנגזרת ו-e בחזקת הפונקציה · בגרות 572 קיץ 2022 מועד א', שאלה 5
נתונה הפונקציה: $f(x)=x+\ln(x^2-15)$ .
חקירת $x^{2} e^{a - x^{3}}$ : פרמטר משטח מתחת לגרף הנגזרת, ופונקציה קדומה ונקודות הפיתול שלה · בגרות 572 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 4
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^2e^{a-x^3}$ המוגדרת לכל $x$ , $a$ הוא פרמטר.
פונקציה מעריכית עם פרמטר, הפונקציה $\frac{1}{f} + 1$ ומקסימום של אינטגרל · בגרות 572 חורף 2022, שאלה 4
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^{2x}-3e^x+m}{4}$ . $m$ הוא פרמטר. ידוע כי הישר $y=-1$ הוא אסימפטוטה של הפונקציה $f(x)$ .
פונקציה מעריכית עם חזקה n: אסימפטוטות, קיצון, שטח וערך מוחלט · בגרות 572 קיץ 2023 מועד א', שאלה 4
נתונה הפונקציה $f(x)=(e^x-1)^n-4$ , המוגדרת לכל $x$ . $n$ הוא מספר טבעי גדול או שווה ל-2.
פונקציה מעריכית ופונקציית ההופכי שלה: חקירה, שטח ופונקציה צוברת · בגרות 572 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 5
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^x}{e^x-6}$ .
פונקציה מעריכית מנגזרתה: פרמטר מנקודת פיתול, חקירה וגרפים של 1/f' ושל e^h · בגרות 572 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 4
$f(x)$ היא פונקציה המוגדרת לכל $x$ , ו- $f'(x)$ היא פונקציית הנגזרת שלה, המוגדרת גם היא לכל $x$ . נתון: $f'(x)=-2x\cdot e^{-\frac{x^2}{a}}$ , $a$ הוא פרמטר.…
שתי פונקציות מעריכיות עם מכנה משותף: חקירה, זיהוי גרפים ושטח · בגרות 572 חורף 2023, שאלה 4
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{2e^{2x}}{e^{2x}-5e^x+4}$ .
פונקציה מעריכית עם פרמטר והפונקציה 1/f · בגרות 572 קיץ 2024 מועד א', שאלה 4
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^x-b}{(e^x-4)^2}$ , $b$ הוא פרמטר חיובי, $b\neq4$ .
פונקציות מעריכיות: חיתוכי שני גרפים קובעים את הקיצון של מנה · בגרות 572 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 4
נתונה הפונקציה: $k(x)=xe^x$ , ונתונה הפונקציה: $m(x)=2e^x-1$ , המוגדרות לכל $x$ .
פונקציה ונגזרתה: $f = g^{'}$ , חקירה, שטח ואינטגרל בעזרת פונקציה קדומה · בגרות 572 חורף 2024, שאלה 4
נתונות הפונקציות: $f(x)=\frac{a-x^2}{e^x}$ , $g(x)=\frac{(x+1)^2}{e^x}$ המוגדרות לכל $x$ . $a$ הוא פרמטר.
פונקציה מעריכית עם פרמטר: זיהוי גרפים, נקודה חסרה והשוואת אינטגרלים · בגרות 572 קיץ 2025 מועד א', שאלה 4
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^x}{a-e^x}$ , $a$ הוא פרמטר שונה מ-0. בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים I-IV: גרף I: גרף II: גרף III: גרף IV:
חקירת פונקציה מעריכית, פונקציה קדומה דרך נגזרת נתונה ושטח עם פרמטר · בגרות 572 חורף 2025, שאלה 4
נתונה הפונקציה: $f(x)=e^x-\frac{1}{1-e^x}$ . הפונקציה $f(x)$ מוגדרת לכל $x\neq0$ .
פונקציה מעריכית עם פרמטר: שתי אסימפטוטות אופקיות, סקיצה ושטח בעזרת $\frac{f ^{'}}{f}$ · בגרות 572 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 4
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{1}{e^x-1}+\frac{5}{e^x-5}+a$ . $a$ הוא פרמטר.
הפונקציה g=e^f·f': סימן, אסימפטוטות, קיצון ושטח עם פרמטר · בגרות 572 חורף 2026, שאלה 4
$f'(x)$ הוא פונקציית הנגזרת של הפונקציה $f(x)$ . $g(x)$ היא פונקציה המקיימת $g(x)=e^{f(x)}\cdot f'(x)$ . הפונקציות $f(x)$ , $f'(x)$ ו- $g(x)$ מוגדרות בתחום…

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (100)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

מציאת פרמטר על סמך נתון (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^{x}-kx$ , כאשר $k>0$ פרמטר.
תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון (שאלה קצרה · קלה)
מספר הפרטים באוכלוסייה מסוימת לאחר $t$ שבועות מתואר על ידי הפונקציה…
נגזרת של eˣ ושל e^f(x) (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^{x^2-4x+3}$ . בשרטוט מתואר גרף הפונקציה.
נגזרת של eˣ ושל e^f(x) (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^{x^2+kx}$ , כאשר $k$ פרמטר. המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה $x=0$ עובר דרך הנקודה…
נגזרת של eˣ ושל e^f(x) (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^{x^2+(k-2)x}$ , כאשר $k$ פרמטר. נתון כי $f(x)$ פונקציה זוגית.
נגזרת של eˣ ושל e^f(x) (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^{x^3-kx}$ , כאשר $k$ פרמטר.
נגזרת של eˣ ושל e^f(x) (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^{x^2-2bx}$ , כאשר $b$ פרמטר. שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה $x=2$ הוא $0$ .
תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^{x}-ax$ , כאשר $a>0$ הוא פרמטר.
תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון (שאלה קצרה · קלה)
לכל $t>0$ מעבירים את הישר $x=t$ . הישר חותך את גרף הפונקציה $y=e^{x}$ בנקודה $A$ , ואת גרף הפונקציה $y=e^{-x}$ …
חקירה מלאה וסרטוט סקיצה (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x-1)^2e^{x}$ . לפונקציה יש אסימפטוטה אופקית $y=0$ כאשר $x\to-\infty$ .
חקירה מלאה וסרטוט סקיצה (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x^{2}+ax+1)e^{-x}$ , כאשר $a$ הוא פרמטר. גרף הפונקציה נפגש עם ציר ה- $x$ בנקודה שבה $x=1$ .
חקירה מלאה וסרטוט סקיצה (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{x}}{x^{2}+1}$ .
חקירה מלאה וסרטוט סקיצה (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{x}}{x-1}$ .
הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^{2x}-a\cdot e^{x}$ , כאשר $a$ פרמטר. גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ חותך את ציר ה- $y$ …
זוגיות ואי-זוגיות של פונקציה מעריכית (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^{x}+a\cdot e^{-x}$ , כאשר $a$ פרמטר. נתון כי הפונקציה $f(x)$ אי-זוגית.
זוגיות ואי-זוגיות של פונקציה מעריכית (שאלה קצרה · קלה)
בסרטוט שלפניכם גרף הפונקציה $f(x)=e^{x^2}$ והמשיקים לגרף בנקודות שבהן $x=1$ ו- $x=-1$ .
מציאת פרמטר על סמך נתון (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^{kx}$ , כאשר $k$ פרמטר. הישר $y=x$ משיק לגרף הפונקציה $f(x)$ .
מציאת פרמטר על סמך נתון (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^{kx}$ , כאשר $k$ פרמטר שונה מאפס. גרף הפונקציה חותך את הישר $y=2$ בנקודה $A$ . שיפוע…
חקירה בשילוב טרנספורמציות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^x-x-2$ , ונתונה הפונקציה $g(x)=|f(x)|$ .
חקירה בשילוב טרנספורמציות (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x\cdot e^{x}$ , ונתונה הפונקציה $g(x)=f(x-1)$ .
חקירה בשילוב טרנספורמציות (שאלה קצרה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=x\cdot e^{-x}$ . לפונקציה אסימפטוטה אופקית $y=0$ כאשר $x\to\infty$ ,…
חקירת הפונקציה (x+a)eˣ והזזה אנכית עד השקה לציר (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x+a)e^x$ . לפונקציה יש נקודת קיצון בנקודה שבה $x=1$ .
חקירת הפונקציה (x+a)e⁻ˣ והזזה אנכית עד השקה לציר (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x+a)e^{-x}$ . לפונקציה יש נקודת קיצון בנקודה שבה $x=2$ .
הפונקציה (x+a)eˣ: פרמטר, השקה ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x+a)e^x$ , כאשר $a$ פרמטר.
מציאת פרמטר על סמך נתון (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x^2+a)e^x$ . לפונקציה יש נקודת קיצון בנקודה שבה $x=1$ .
חקירה בשילוב טרנספורמציות (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(3-x)e^x$ .
פונקציה מעריכית עם פרמטר: חקירה, הזזה ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^{2x}-ae^x-3$ , $a$ הוא פרמטר.
פונקציה מעריכית עם פרמטר: חקירה, הזזה ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^{2x}-ae^x-5$ , $a$ הוא פרמטר.
פונקציה מעריכית עם פרמטר: שטח נתון ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^{2x}-ae^x$ , כאשר $a>0$ הוא פרמטר.
מציאת פרמטר על סמך נתון (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^{2x}+ae^x$ , $a$ הוא פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון שבה $x=\ln3$ .
חקירת פונקציה מעריכית וטרנספורמציה שלה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=(7-3x)\cdot e^{3x}$ .
חקירת פונקציה מעריכית וטרנספורמציה שלה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=(5-2x)\cdot e^{2x}$ .
פונקציה מעריכית עם פרמטר וטרנספורמציה לא ידועה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(a-2x)\cdot e^{2x}$ , כאשר $a$ פרמטר.
תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(2x-1)\cdot e^{-x}$ .
חקירת מנה של $x^{2}$ ב- $e^{x}$ , שיקוף ומתיחה ושטח בין הגרפים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2}{e^x}$ .
חקירת מנה של $x^{2}$ ב- $e^{2 x}$ , שיקוף ומתיחה ושטח בין הגרפים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2}{e^{2x}}$ .
חקירת $\frac{x}{e ^{x}}$ , שיקוף ושטח בין הגרפים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac x{e^x}$ .
גרף הנגזרת ופונקציה מעריכית עם מכנה: חקירה ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
הפונקציות $f(x)$ ו- $f'(x)$ מוגדרות בתחום $x\neq-2$ . לפניכם סרטוט של גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . גרף פונקציית…
גרף הנגזרת ופונקציה מעריכית עם מכנה: מקסימום ושטח (שאלה מלאה · קלה)
הפונקציות $f(x)$ ו- $f'(x)$ מוגדרות בתחום $x\neq3$ . לפניכם סרטוט של גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . גרף פונקציית…
פונקציה מעריכית עם מכנה: חקירה ושטח מתחת לנגזרת (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{2x}}{x+1}$ , המוגדרת בתחום $x\neq-1$ . לפניכם סרטוט של גרף פונקציית הנגזרת…
חקירת פונקציה מעריכית עם פרמטר: חיתוכים, קיצון ושטחים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{8}{e^x}+\frac{e^x}{2}+c$ , $c$ הוא פרמטר.
חקירת פונקציה מעריכית עם פרמטר: חיתוכים, קיצון ושטחים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{9}{e^x}+\frac{e^x}{4}+c$ , $c$ הוא פרמטר.
חקירת פונקציה מעריכית, זיהוי גרף הנגזרת ושטח מתחת לגרף הנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=(2x^2-15x+27)\cdot e^{5-x}$ . גרף I: גרף II: גרף III:
חקירת פונקציה מעריכית וזיהוי גרף הנגזרת (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=(2x^2-13x+20)\cdot e^{4-x}$ . גרף I: גרף II: גרף III:
חקירת פונקציה מעריכית וגרף הנגזרת (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(2x^2-7x+5)\cdot e^{2-x}$ , המוגדרת לכל $x$ . גרף I: גרף II: גרף III:
פונקציה מעריכית במנה: פרמטר, קיצון, סקיצה ותחומי סימן (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^{a+x}}{x-3}$ , $a$ הוא פרמטר.
פונקציה מעריכית במנה: פרמטר, קיצון, סקיצה ותחומי סימן (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^{x-a}}{x-4}$ , $a$ הוא פרמטר.
חקירת פונקציה מעריכית במנה ותחומי סימן (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^x}{x-2}$ .
חקירת מנה של פונקציה מעריכית ופולינום, והזזה אנכית (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{2x}}{x^2-6}$ .
חקירת מנה של פונקציה מעריכית ופולינום, והזזה אנכית (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{x}}{x^2-3}$ .
חקירת מנה מעריכית עם אסימפטוטה אחת (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{2x}}{x-1}$ .
גרף פונקציה וגרף נגזרת: זיהוי, חקירה ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתוארים שני גרפים: I, II. אחד מהם הוא גרף הפונקציה $f(x)$ , והאחר הוא גרף פונקציית הנגזרת…
גרף פונקציה וגרף נגזרת: זיהוי, חקירה ושטח (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מתוארים שני גרפים: I, II. אחד מהם הוא גרף הפונקציה $f(x)$ , והאחר הוא גרף פונקציית הנגזרת…
פונקציה מעריכית ונגזרתה: זיהוי ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x-2)\cdot e^x$ .
חקירת פונקציה מעריכית שהיא מנה, ושיקוף והזזה של הגרף (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{2x}}{e^x-3}$ .
חקירת פונקציה מעריכית שהיא מנה, ושיקוף והזזה של הגרף (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{2e^{2x}}{e^x-2}$ .
פונקציה מעריכית שהיא מנה: קיצון ושיקוף (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{2x}}{e^x-5}$ .
חקירת מנה מעריכית עם פרמטר והזזה אנכית (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^{(ax-1)}}{x^2}$ , $a$ הוא פרמטר.
חקירת מנה מעריכית עם פרמטר והזזה אנכית (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^{(ax-2)}}{x^2}$ , $a$ הוא פרמטר.
תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $h(x)=\frac{e^x}{9}+\frac{4}{e^x}$ .

ועוד 40 שאלות במחולל המבחנים.

שאלה 1 · נגזרת של eˣ ושל ef(x)שאלה קצרה · קלה

שאלה 2 · נגזרת של eˣ ושל ef(x)שאלה קצרה · בינונית

שאלה 3 · נגזרת של eˣ ושל ef(x)שאלה קצרה · קשה

שאלה 4 · נגזרת של eˣ ושל ef(x)שאלה קצרה · קלה