מבחן לדוגמה: משיק לפונקציה מעריכית - כיתה י"ב 5 יח"ל

מבחן במתמטיקה - כיתה י"ב 5 יח"ל

משיק לפונקציה מעריכית

6 שאלות · ענו על כל השאלות · הראו את דרך הפתרון

שם: ______________כיתה: ________תאריך: ________

שאלה 1 · משיק לפונקציה מעריכיתשאלה קצרה · קלה

נתונות הפונקציות f(x)=ekxf(x)=e^{kx}f(x)=ekx ו-g(x)=e−kxg(x)=e^{-kx}g(x)=e−kx, כאשר k>0k>0k>0. שני הגרפים נחתכים בנקודה (0,1)(0,1)(0,1). המשיק לגרף f(x)f(x)f(x) בנקודה זו והמשיק לגרף g(x)g(x)g(x) בנקודה זו מאונכים זה לזה.

א.

מצאו את kkk.

ב.

מצאו את משוואות שני המשיקים, וחשבו את שטח המשולש שהם יוצרים עם ציר ה-xxx.

שאלה 2 · משיק לפונקציה מעריכיתשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=axf(x)=a^{x}f(x)=ax, כאשר a>1a>1a>1.

א.

הראו כי המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=x0x=x_0x=x0​ חותך את ציר ה-xxx בנקודה שבה x=x0−1ln⁡ax=x_0-\frac{1}{\ln a}x=x0​−lna1​.

ב.

נתון כי המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=2x=2x=2 חותך את ציר ה-xxx בנקודה (−3,0)(-3,0)(−3,0). מצאו את aaa.

שאלה 3 · גרף מעריכי וגרף ריבועי המשיקים זה לזהשאלת ביניים · בינונית

נתונות הפונקציות f(x)=ex2f(x)=e^{\frac{x}{2}}f(x)=e2x​ ו-g(x)=ax2g(x)=ax^2g(x)=ax2, כאשר a>0a>0a>0 פרמטר. הגרפים של שתי הפונקציות משיקים זה לזה בנקודה PPP: זו נקודה משותפת לשני הגרפים, ויש בה לשני הגרפים אותו משיק.

א.

מצאו את שיעור ה-xxx של הנקודה PPP.

ב.

מצאו את הערך של aaa ואת שיעורי הנקודה PPP.

ג.

מצאו את משוואת המשיק המשותף בנקודה PPP, וחשבו את שטח המשולש שהמשיק יוצר עם הצירים.

שאלה 4 · חקירת $3 e^{x} - x + 4 ln (3 - e^{x})$ , גרף הנגזרת ופרמטרשאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה: f(x)=3ex−x+4⋅ln⁡(3−ex)f(x)=3e^x-x+4\cdot\ln(3-e^x)f(x)=3ex−x+4⋅ln(3−ex).

א.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

(2)

מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה f(x)f(x)f(x) (אם יש כאלה).

ב.

הראו כי: f′(x)=−3(ex−1)23−exf'(x)=\frac{-3(e^x-1)^2}{3-e^x}f′(x)=3−ex−3(ex−1)2​.

ג.

(1)

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x)f(x)f(x) (אם יש כאלה).

(2)

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) המקביל לציר ה-xxx.

ד.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ה.

(1)

מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x).

(2)

לפונקציה fff יש נקודת פיתול אחת בלבד. סרטטו סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x) בתחום x<ln⁡3x<\ln3x<ln3.

ו.

נתונה הפונקציה g(x)=f(x)+axg(x)=f(x)+axg(x)=f(x)+ax, שתחום ההגדרה שלה זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x). aaa הוא פרמטר.

היעזרו בגרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x), ומצאו עבור אילו ערכים של aaa יש לפונקציה g(x)g(x)g(x) שתי נקודות קיצון. נמקו את תשובותיכם.

שאלה 5 · משיק לפונקציה מעריכיתשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=e−x2f(x)=e^{-x^{2}}f(x)=e−x2 המוגדרת לכל xxx. דרך הנקודה (0,b)(0,b)(0,b) שעל ציר ה-yyy מעבירים משיקים לגרף הפונקציה.

מצאו את כל ערכי bbb שעבורם עוברים דרך הנקודה (0,b)(0,b)(0,b) בדיוק ארבעה משיקים שונים לגרף הפונקציה.

שאלה 6 · משיק בנקודת הפיתול של $x e^{- \frac{x}{2}}$ : יחידות השיפוע ומשולש בין משיקיםשאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=xe−x2f(x)=xe^{-\frac{x}{2}}f(x)=xe−2x​ המוגדרת לכל xxx.

א.

מצאו את שיעורי נקודת הפיתול של הפונקציה, ואת משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה זו.

ב.

הוכיחו שאין על גרף הפונקציה נקודה נוספת שבה המשיק מקביל למשיק שמצאתם בסעיף א.

ג.

המשיק שמצאתם בסעיף א, המשיק לגרף הפונקציה בנקודת הקיצון שלה וציר ה-yyy יוצרים משולש. חשבו את שטח המשולש.

שאלה 1 · משיק לפונקציה מעריכיתשאלה קצרה · קלה

שאלה 2 · משיק לפונקציה מעריכיתשאלה קצרה · קלה

שאלה 3 · גרף מעריכי וגרף ריבועי המשיקים זה לזהשאלת ביניים · בינונית

שאלה 4 · חקירת 3ex−x+4ln(3−ex), גרף הנגזרת ופרמטרשאלה מלאה · בינונית

שאלה 5 · משיק לפונקציה מעריכיתשאלה קצרה · קשה

שאלה 6 · משיק בנקודת הפיתול של xe−2x​: יחידות השיפוע ומשולש בין משיקיםשאלת ביניים · קשה

רוצים להשלים את חוויית הלמידה?

כל האתר במבט אחד

שאלה 4 · חקירת $3 e^{x} - x + 4 ln (3 - e^{x})$ , גרף הנגזרת ופרמטרשאלה מלאה · בינונית

שאלה 6 · משיק בנקודת הפיתול של $x e^{- \frac{x}{2}}$ : יחידות השיפוע ומשולש בין משיקיםשאלת ביניים · קשה