שאלות פתוחות: משיק לפונקציה מעריכית - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על משיק לפונקציה מעריכית לכיתה י"ב, 5 יחידות. השאלות כוללות מציאת פרמטר שעבורו הישר y=x משיק לגרף, משיקים לשני גרפים בנקודת החיתוך שלהם, משיקים לגרף e^(-x²) שעוברים דרך נקודה על ציר ה-y, וישר שמשיק לשני גרפים מעריכיים. רוב השאלות ברמה קלה ובינונית, ויש גם קשות. מתאים לבוחן או לדף עבודה, וכל שאלה מגיעה עם פתרון מלא וייצוא לוורד.

36 שאלותקלה: 15בינונית: 17קשה: 4

שאלה 1 · משיק לפונקציה מעריכיתשאלה קצרה · קלה

נתונות הפונקציות f(x)=ekxf(x)=e^{kx}f(x)=ekx ו-g(x)=e−kxg(x)=e^{-kx}g(x)=e−kx, כאשר k>0k>0k>0. שני הגרפים נחתכים בנקודה (0,1)(0,1)(0,1). המשיק לגרף f(x)f(x)f(x) בנקודה זו והמשיק לגרף g(x)g(x)g(x) בנקודה זו מאונכים זה לזה.

א.

מצאו את kkk.

ב.

מצאו את משוואות שני המשיקים, וחשבו את שטח המשולש שהם יוצרים עם ציר ה-xxx.

שאלה 2 · משיק לפונקציה מעריכיתשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=ekxf(x)=e^{kx}f(x)=ekx, כאשר k>0k>0k>0 פרמטר. ידוע כי הישר y=xy=xy=x משיק לגרף הפונקציה.

מצאו את kkk ואת שיעורי נקודת ההשקה.

שאלה 3 · משיק לפונקציה מעריכיתשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=axf(x)=a^{x}f(x)=ax, כאשר a>1a>1a>1. הישר y=xy=xy=x משיק לגרף הפונקציה.

מצאו את נקודת ההשקה ואת הערך של aaa.

שאלה 4 · משיק לפונקציה מעריכיתשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=axf(x)=a^{x}f(x)=ax, כאשר a>1a>1a>1.

א.

הראו כי המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=x0x=x_0x=x0​ חותך את ציר ה-xxx בנקודה שבה x=x0−1ln⁡ax=x_0-\frac{1}{\ln a}x=x0​−lna1​.

ב.

נתון כי המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=2x=2x=2 חותך את ציר ה-xxx בנקודה (−3,0)(-3,0)(−3,0). מצאו את aaa.

שאלה 5 · משיק לפונקציה מעריכיתשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=e2xf(x)=e^{2x}f(x)=e2x.
f
-2.0-1.5-1.0-0.50.51.01.52468

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה העובר דרך ראשית הצירים, ואת שיעורי נקודת ההשקה.

שאלה 6 · משיק לפונקציה מעריכיתשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=e−x2f(x)=e^{-x^{2}}f(x)=e−x2 המוגדרת לכל xxx. דרך הנקודה (0,b)(0,b)(0,b) שעל ציר ה-yyy מעבירים משיקים לגרף הפונקציה.

מצאו את כל ערכי bbb שעבורם עוברים דרך הנקודה (0,b)(0,b)(0,b) בדיוק ארבעה משיקים שונים לגרף הפונקציה.

שאלה 7 · חקירת $2 e^{x} - x + ln (2 - e^{x})$ וגרף הנגזרת (מודרך)שאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=2ex−x+ln⁡(2−ex)f(x)=2e^x-x+\ln(2-e^x)f(x)=2ex−x+ln(2−ex).

א.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

(2)

מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה f(x)f(x)f(x) (אם יש כאלה).

ב.

הראו כי: f′(x)=−2(ex−1)22−exf'(x)=\frac{-2(e^x-1)^2}{2-e^x}f′(x)=2−ex−2(ex−1)2​.

ג.

(1)

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x)f(x)f(x) (אם יש כאלה).

(2)

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) המקביל לציר ה-xxx.

ד.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ה.

(1)

מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x).

(2)

נתון כי לפונקציה f′(x)f'(x)f′(x) יש נקודת קיצון אחת בלבד, בנקודה שבה x=0x=0x=0. סרטטו סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x) בתחום x<ln⁡2x<\ln2x<ln2.

ו.

נתונה הפונקציה g(x)=f(x)+0.5xg(x)=f(x)+0.5xg(x)=f(x)+0.5x, שתחום ההגדרה שלה זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

היעזרו בגרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x), וקבעו כמה נקודות קיצון יש לפונקציה g(x)g(x)g(x) ומה סוג כל אחת מהן. נמקו.

שאלה 8 · משיק לפונקציה מעריכיתשאלה קצרה · בינונית

בסרטוט שלפניכם מתוארים הגרפים של הפונקציות f(x)=exf(x)=e^{x}f(x)=ex ו-g(x)=−e−xg(x)=-e^{-x}g(x)=−e−x. הישר lll משיק לשני הגרפים.
y=f(x)y=g(x)
-3-2-1123-8-6-4-22468

מצאו את משוואת הישר lll ואת שתי נקודות ההשקה.

שאלה 9 · פונקציה מעריכית-לוגריתמית עם פרמטר: משיק אופקי ומיון קיצוניםשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=5ex−x+b⋅ln⁡(5−ex)f(x)=5e^x-x+b\cdot\ln(5-e^x)f(x)=5ex−x+b⋅ln(5−ex), b>0b>0b>0 הוא פרמטר.

א.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

(2)

מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה f(x)f(x)f(x) (אם יש כאלה).

ב.

נתון כי לגרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) יש משיק המקביל לציר ה-xxx, ובנקודת ההשקה הפונקציה אינה עוברת מעלייה לירידה או מירידה לעלייה. מצאו את הערך של bbb.

הציבו b=16b=16b=16 וענו על הסעיפים ג-ד.

ג.

(1)

מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x).

(2)

לפונקציה fff יש נקודת פיתול אחת בלבד. סרטטו סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x).

ד.

נתונה הפונקציה g(x)=f(x)+axg(x)=f(x)+axg(x)=f(x)+ax, שתחום ההגדרה שלה זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x). aaa הוא פרמטר.

קבעו, לפי ערכי aaa, כמה נקודות קיצון יש לפונקציה g(x)g(x)g(x). נמקו.

שאלה 10 · פרמטר שעבורו המשיקים ל- $e^{k x}$ ול- $e^{- k x}$ מאונכיםשאלה קצרה · קלה

נתונות הפונקציות f(x)=ekxf(x)=e^{kx}f(x)=ekx ו-g(x)=e−kxg(x)=e^{-kx}g(x)=e−kx, כאשר k>0k>0k>0. שני הגרפים נחתכים בנקודה (0,1)(0,1)(0,1). המשיק לגרף f(x)f(x)f(x) בנקודה זו והמשיק לגרף g(x)g(x)g(x) בנקודה זו מאונכים זה לזה.

מצאו את kkk.

עוד 6 שאלות על משיק לפונקציה מעריכית

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

משיק לפונקציה מעריכית (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=xe^{-x}$ המוגדרת לכל $x$ . לכל $t>0$ מעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה $x=t$ .
משיק בנקודת הפיתול של $x e^{- \frac{x}{2}}$ : יחידות השיפוע ומשולש בין משיקים (שאלת ביניים · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=xe^{-\frac{x}{2}}$ המוגדרת לכל $x$ .
חקירת $3 e^{x} - x + 4 ln (3 - e^{x})$ , גרף הנגזרת ופרמטר (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=3e^x-x+4\cdot\ln(3-e^x)$ .
חקירת $- 8 e^{- x} - 2 ln (e^{x} - 1)$ , גרף הנגזרת ופרמטר (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=-8e^{-x}-2\cdot\ln\left(e^x-1\right)$ .
פרמטר ומשוואת משיק לפי שיפוע נתון בנקודת החיתוך עם ציר ה-y (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^x+ax}{e^x-x}$ , המוגדרת לכל $x$ . $a$ הוא פרמטר, $a>-1$ .
גרף מעריכי וגרף ריבועי המשיקים זה לזה (שאלת ביניים · בינונית)
נתונות הפונקציות $f(x)=e^{\frac{x}{2}}$ ו- $g(x)=ax^2$ , כאשר $a>0$ פרמטר. הגרפים של שתי הפונקציות משיקים זה לזה בנקודה $P$ : זו נקודה משותפת…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

חקירת $4 e^{x} - x + 9 ln (4 - e^{x})$ , גרף הנגזרת ופרמטר · בגרות 572 קיץ 2026 מועד א', שאלה 5
נתונה הפונקציה: $f(x)=4e^x-x+9\cdot\ln(4-e^x)$ .

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (19)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

משוואת משיק לגרף פונקציה מעריכית (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^x$ . משיק לגרף הפונקציה עובר דרך הנקודה $(0,-e^2)$ .
מציאת פרמטר על סמך נתון (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^{x-2}$ .
משוואת משיק לגרף פונקציה מעריכית (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^x$ . דרך ראשית הצירים מעבירים משיק לגרף הפונקציה.
נגזרת של eˣ ושל e^f(x) (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^{x^2+kx}$ , כאשר $k$ פרמטר. המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה $x=0$ עובר דרך הנקודה…
נגזרת של eˣ ושל e^f(x) (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^{x^2-2bx}$ , כאשר $b$ פרמטר. שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה $x=2$ הוא $0$ .
נגזרת של מנה עם פונקציה מעריכית (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{ax+1}{e^x}$ , כאשר $a$ פרמטר. המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה $x=0$ עובר דרך הנקודה…
נגזרת של מנה עם פונקציה מעריכית (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{2x}}{x+1}$ .
משוואת משיק לגרף פונקציה מעריכית (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^{2x}$ . דרך ראשית הצירים עובר ישר המשיק לגרף הפונקציה.
משוואת משיק לגרף פונקציה מעריכית (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^{-x}$ . המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה $x=x_0$ ( $x_0>0$ ) חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $A$ …
משוואת משיק לגרף פונקציה מעריכית (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^{x^2}$ . מנקודה $(0,k)$ שעל ציר ה- $y$ מעבירים משיקים לגרף הפונקציה.
זוגיות ואי-זוגיות של פונקציה מעריכית (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^{x}+a\cdot e^{-x}$ , כאשר $a$ פרמטר. נתון כי הפונקציה $f(x)$ אי-זוגית.
זוגיות ואי-זוגיות של פונקציה מעריכית (שאלה קצרה · קלה)
בסרטוט שלפניכם גרף הפונקציה $f(x)=e^{x^2}$ והמשיקים לגרף בנקודות שבהן $x=1$ ו- $x=-1$ .
מציאת פרמטר על סמך נתון (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^{kx}$ , כאשר $k$ פרמטר. הישר $y=x$ משיק לגרף הפונקציה $f(x)$ .
מציאת פרמטר על סמך נתון (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^{kx}$ , כאשר $k$ פרמטר שונה מאפס. גרף הפונקציה חותך את הישר $y=2$ בנקודה $A$ . שיפוע…
חקירת מכפלה של פונקציה קווית ומעריכית, ושטח מתחת לגרף (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=(a-4x)\cdot e^{2x-1}$ , המוגדרת לכל $x$ . $a$ הוא פרמטר. נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה…
חקירת מכפלה של פונקציה קווית ומעריכית, ושטח מתחת לגרף (מעריך 3x-2) (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(a-6x)\cdot e^{3x-2}$ , המוגדרת לכל $x$ . $a$ הוא פרמטר. נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה…
מציאת פרמטר על סמך נתון (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(a-3x)\cdot e^{1-2x}$ , המוגדרת לכל $x$ . $a$ הוא פרמטר. נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה…
חישובי שטחים עם פונקציה מעריכית (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^{2x}-4e^{x}$ . מעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודת המינימום שלה. בשרטוט מסומן השטח המוגבל…
מציאת פרמטר מתוך שטח נתון (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^{kx}$ , $k>0$ הוא פרמטר. מראשית הצירים מעבירים משיק לגרף הפונקציה.