מבחן לדוגמה: אינטגרל של eˣ ושל e^ax+b - כיתה י"ב 5 יח"ל

חשבו את השטח המסומן.

נתונה הפונקציה $g(x)$ המקיימת: $g(x)=\frac{1}{f(x)}$. הפונקציות $g(x)$ ו-$f(x)$ מוגדרות באותו התחום.

הראו כי בנקודת חיתוך של הגרפים של $f(x)$ ו-$g(x)$ מתקיים $f^2(x)=1$, ומצאו את נקודת החיתוך.

נתונה הפונקציה $s(x)=\int_x^{\ln1.5}\big(f(t)-g(t)\big)dt$, המוגדרת בתחום $x<\ln1.5$.

הראו כי $s'(x)=g(x)-f(x)$, ומצאו את שיעור ה-$x$ של נקודת הקיצון של $s(x)$ וקבעו את סוגה.

מצאו את $f(x)$.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f$ עם ציר ה-$x$, ואת נקודת המינימום של הפונקציה.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$.

נתון כי לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון אחת בלבד בנקודה שבה $x=\ln2$.

מצאו את הערך של $a$.

מצאו פונקציה $g(x)$ המקיימת תנאים אלה.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $g(x)$.

נתונה הפונקציה $h(x)=\ln|g(x)|$.

מצאו את הערך של $a$ שעבורו $I(a)$ הוא הקטן ביותר, וחשבו את הערך הקטן ביותר הזה.

מצאו את $k$.

הציבו את הערך של $k$ שמצאתם.

מצאו את נקודת הקיצון של $f(x)$ וקבעו את סוגה.

נסמן ב-$x_0$ את שיעור ה-$x$ של נקודת הקיצון שמצאתם בסעיף ב. חשבו את $\int_{0}^{2x_0}f(x)\,dx$.