שאלות פתוחות: אינטגרל של eˣ ושל e^ax+b - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על אינטגרל של eˣ ושל e^(ax+b), לכיתה י"ב, 5 יחידות. השאלות כוללות חישוב שטח בין גרף מעריכי, הצירים וישר אנכי, מציאת פרמטר כשהשטח בין שני גרפים ידוע, מציאת פונקציה לפי הנגזרת שלה ואסימפטוטה אופקית, וערך מינימלי של אינטגרל שתלוי בפרמטר. רוב השאלות ברמה קלה ובינונית, ויש גם קשות. אפשר להרכיב מהן מבחן או דף עבודה, וכל שאלה כוללת פתרון מלא וייצוא לוורד.

42 שאלותקלה: 21בינונית: 16קשה: 5

שאלה 1 · אינטגרל של eˣ ושל e^ax+bשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=e−x2f(x)=e^{-\frac{x}{2}}f(x)=e−2x​. בשרטוט מסומן השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, ציר ה-xxx, ציר ה-yyy והישר x=ln⁡4x=\ln4x=ln4.
y=e−2x​
-0.50.51.01.52.02.53.03.50.51.01.5

חשבו את השטח המסומן.

שאלה 2 · אינטגרל של eˣ ושל e^ax+bשאלה קצרה · בינונית

נתון a>0a>0a>0. השטח המוגבל על ידי הגרפים של הפונקציות y=exy=e^{x}y=ex ו-y=e2a−xy=e^{2a-x}y=e2a−x ועל ידי ציר ה-yyy שווה ל-444 (ראו שרטוט).
y=exy=e2a−x

מצאו את aaa.

שאלה 3 · אינטגרל של eˣ ושל e^ax+bשאלה קצרה · קשה

לכל מספר ממשי aaa מגדירים I(a)=∫01(ex−a)2dxI(a)=\int_{0}^{1}\left(e^{x}-a\right)^{2}dxI(a)=∫01​(ex−a)2dx.

מצאו את הערך של aaa שעבורו I(a)I(a)I(a) הוא הקטן ביותר, וחשבו את הערך הקטן ביותר הזה.

שאלה 4 · פונקציה מעריכית ופונקציית ההופכי שלה: חקירה, שטח ופונקציה צוברתשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=exex−2f(x)=\frac{e^x}{e^x-2}f(x)=ex−2ex​.

א.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

(2)

מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

(3)

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x)f(x)f(x) (אם יש כאלה).

(4)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ב.

נתונה הפונקציה g(x)g(x)g(x) המקיימת: g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}g(x)=f(x)1​. הפונקציות g(x)g(x)g(x) ו-f(x)f(x)f(x) מוגדרות באותו התחום.

(1)

הראו כי g(x)=1−2e−xg(x)=1-2e^{-x}g(x)=1−2e−x (בתחום ההגדרה), ומצאו את משוואות האסימפטוטות של g(x)g(x)g(x) המאונכות לצירים.

(2)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x).

(3)

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף g(x)g(x)g(x), האסימפטוטה האופקית שלה והישרים x=ln⁡4x=\ln4x=ln4 ו-x=ln⁡8x=\ln8x=ln8.

ג.

הראו כי בנקודת חיתוך של הגרפים של f(x)f(x)f(x) ו-g(x)g(x)g(x) מתקיים f2(x)=1f^2(x)=1f2(x)=1, ומצאו את נקודת החיתוך.

ד.

נתונה הפונקציה s(x)=∫xln⁡1.5(f(t)−g(t))dts(x)=\int_x^{\ln1.5}\big(f(t)-g(t)\big)dts(x)=∫xln1.5​(f(t)−g(t))dt, המוגדרת בתחום x<ln⁡1.5x<\ln1.5x<ln1.5.

הראו כי s′(x)=g(x)−f(x)s'(x)=g(x)-f(x)s′(x)=g(x)−f(x), ומצאו את שיעור ה-xxx של נקודת הקיצון של s(x)s(x)s(x) וקבעו את סוגה.

שאלה 5 · אינטגרל של eˣ ושל e^ax+bשאלה קצרה · בינונית

נתונה פונקציה f(x)f(x)f(x) המוגדרת לכל xxx, שנגזרתה היא f′(x)=2e2x−6exf'(x)=2e^{2x}-6e^{x}f′(x)=2e2x−6ex. לגרף הפונקציה fff יש אסימפטוטה אופקית y=8y=8y=8 כאשר x→−∞x\to-\inftyx→−∞.

א.

מצאו את f(x)f(x)f(x).

ב.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה fff עם ציר ה-xxx, ואת נקודת המינימום של הפונקציה.

שאלה 6 · פונקציה מעריכית עם פרמטר: טווח, שטח קבוע וקיום קיצוןשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=exex−af(x)=\frac{e^x}{e^x-a}f(x)=ex−aex​, aaa הוא פרמטר חיובי.

א.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x) ואת משוואות האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים (הביעו באמצעות aaa).

(2)

מצאו את תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x)f(x).

(3)

מצאו את כל הערכים של mmm שעבורם למשוואה f(x)=mf(x)=mf(x)=m אין פתרון.

ב.

נתונה הפונקציה g(x)g(x)g(x) המקיימת: g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}g(x)=f(x)1​. הפונקציות g(x)g(x)g(x) ו-f(x)f(x)f(x) מוגדרות באותו התחום.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף g(x)g(x)g(x), האסימפטוטה האופקית שלה והישרים x=ln⁡(2a)x=\ln(2a)x=ln(2a) ו-x=ln⁡(4a)x=\ln(4a)x=ln(4a). האם השטח תלוי ב-aaa? נמקו.

ג.

נתון: a>1a>1a>1. נתונה הפונקציה s(x)=∫x0(f(t)−g(t))dts(x)=\int_x^{0}\big(f(t)-g(t)\big)dts(x)=∫x0​(f(t)−g(t))dt, המוגדרת בתחום x<0x<0x<0.

לאילו ערכים של aaa יש לפונקציה s(x)s(x)s(x) נקודת קיצון? מצאו את שיעור ה-xxx שלה (באמצעות aaa) וקבעו את סוגה.

שאלה 7 · פונקציה קדומה של מנה שמצטמצמת לביטוי עם $e^{2 x}$ שאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=e4x−16e2x+4f(x)=\frac{e^{4x}-16}{e^{2x}+4}f(x)=e2x+4e4x−16​, המוגדרת לכל xxx.

מצאו את הפונקציה הקדומה של f(x)f(x)f(x) שגרפה עובר דרך ראשית הצירים.

שאלה 8 · אינטגרל של eˣ ושל e^ax+bשאלה קצרה · בינונית

נתונה פונקציה f(x)f(x)f(x) המוגדרת לכל xxx, שנגזרתה היא f′(x)=ex−e−xf'(x)=e^{x}-e^{-x}f′(x)=ex−e−x. ידוע כי גרף הפונקציה fff משיק לציר ה-xxx.

א.

מצאו את f(x)f(x)f(x).

ב.

מצאו את כל ערכי xxx שעבורם f(x)=12f(x)=\frac{1}{2}f(x)=21​.

שאלה 9 · פונקציה המוגדרת בעזרת אינטגרל מסוים שלה עצמה: קיצון ואינטגרל עד $2 x_{0}$ שאלת ביניים · קשה

הפונקציה f(x)=ex+k⋅e−xf(x)=e^{x}+k\cdot e^{-x}f(x)=ex+k⋅e−x מוגדרת לכל xxx, כאשר kkk הוא המספר k=∫0ln⁡3f(t) dtk=\int_{0}^{\ln3}f(t)\,dtk=∫0ln3​f(t)dt.

א.

מצאו את kkk.

ב.

הציבו את הערך של kkk שמצאתם.

מצאו את נקודת הקיצון של f(x)f(x)f(x) וקבעו את סוגה.

ג.

נסמן ב-x0x_0x0​ את שיעור ה-xxx של נקודת הקיצון שמצאתם בסעיף ב. חשבו את ∫02x0f(x) dx\int_{0}^{2x_0}f(x)\,dx∫02x0​​f(x)dx.

שאלה 10 · פונקציה מעריכית יורדת עם חזקה n: אסימפטוטות, שטח וערך מוחלטשאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=(e−x−1)n−9f(x)=(e^{-x}-1)^n-9f(x)=(e−x−1)n−9, המוגדרת לכל xxx. nnn הוא מספר טבעי גדול או שווה ל-2.

א.

ענו על סעיף א עבור nnn זוגי ועבור nnn אי-זוגי.

(1)

מצאו את משוואת האסימפטוטה האופקית של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

(2)

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגן (אם יש כאלה).

(3)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ענו על הסעיפים ב-ג עבור n=2n=2n=2. נתונה הפונקציה: g(x)=4e−x−13g(x)=4e^{-x}-13g(x)=4e−x−13, המוגדרת לכל xxx.

ב.

(1)

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך שבין גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) ובין גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x).

(2)

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) ועל ידי גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x).

ג.

נתונה הפונקציה: h(x)=∣f(x)∣h(x)=|f(x)|h(x)=∣f(x)∣, המוגדרת לכל xxx.

(1)

כמה נקודות קיצון יש לפונקציה h(x)h(x)h(x)? מצאו את שיעורי הנקודות הללו, וקבעו את סוגן.

(2)

מצאו את תחום הערכים של kkk שעבורו הישר y=ky=ky=k חותך את גרף הפונקציה h(x)h(x)h(x) ב-3 נקודות.

עוד 4 שאלות על אינטגרל של eˣ ושל e^(ax+b)

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

פונקציה מעריכית ופונקציית ההופכי שלה: חקירה, שטח ופונקציה צוברת (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{3e^x}{e^x-4}$ .
חקירת פונקציה מעריכית: פרמטר מנקודת קיצון, פונקציה קדומה עם נקודת פיתול, ln|g| וזיהוי גרף (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^x\left(a+\frac{1}{(e^x-1)^2}\right)$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
מציאת פונקציה מנגזרת מהצורה $e^{a x + b}$ ומשיק נתון (שאלה קצרה · בינונית)
נגזרת הפונקציה $f(x)$ היא $f'(x)=4e^{2x-1}$ . משוואת המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ בנקודה שבה $x=\frac{1}{2}$ היא $y=4x+3$ .
פרמטר מתנאי על אינטגרל מסוים, ופונקציה קדומה שגרפה משיק לציר ה- $x$ (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^{x}+a\cdot e^{-2x}$ , כאשר $a$ פרמטר. נתון כי $\int_{0}^{\ln3}f(x)\,dx=-10$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

פונקציה מעריכית עם חזקה n: אסימפטוטות, קיצון, שטח וערך מוחלט · בגרות 572 קיץ 2023 מועד א', שאלה 4
נתונה הפונקציה $f(x)=(e^x-1)^n-4$ , המוגדרת לכל $x$ . $n$ הוא מספר טבעי גדול או שווה ל-2.
פונקציה מעריכית ופונקציית ההופכי שלה: חקירה, שטח ופונקציה צוברת · בגרות 572 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 5
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^x}{e^x-6}$ .

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (26)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

פונקציה מעריכית עם פרמטר: חקירה, הזזה ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^{2x}-ae^x-3$ , $a$ הוא פרמטר.
פונקציה מעריכית עם פרמטר: חקירה, הזזה ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^{2x}-ae^x-5$ , $a$ הוא פרמטר.
פונקציה מעריכית עם פרמטר: מספר חיתוכים, בעיה הפוכה ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{4}{e^x}+e^x+c$ , $c$ הוא פרמטר.
פונקציה מעריכית: גרף הנגזרת, חקירה, חיתוך עם פונקציה נוספת ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . לפונקציה $f(x)$ יש נקודת מקסימום אחת בלבד ושיעור…
פונקציה מעריכית: גרף הנגזרת, חקירה, חיתוך עם פונקציה נוספת ושטח (שאלה מלאה · קלה)
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . לפונקציה $f(x)$ יש נקודת מקסימום אחת בלבד ושיעור…
פונקציה מעריכית: חקירה, חיתוך ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x^2-8)\cdot e^{-x+1}$ המוגדרת לכל $x$ .
חקירת מכפלה של פונקציה קווית ומעריכית, ושטח מתחת לגרף (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=(a-4x)\cdot e^{2x-1}$ , המוגדרת לכל $x$ . $a$ הוא פרמטר. נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה…
חקירת מכפלה של פונקציה קווית ומעריכית, ושטח מתחת לגרף (מעריך 3x-2) (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(a-6x)\cdot e^{3x-2}$ , המוגדרת לכל $x$ . $a$ הוא פרמטר. נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה…
חקירת מכפלה של פונקציה קווית ומעריכית (בלי פרמטר) (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(6-2x)\cdot e^{x-1}$ , המוגדרת לכל $x$ .
חקירה עם פרמטר: מקום נקודות הקיצון ופרמטר משטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(a-2x)\cdot e^{2x}$ , המוגדרת לכל $x$ . $a$ הוא פרמטר, $a>2$ .
אינטגרל של eˣ ושל e^ax+b (שאלה קצרה · קשה)
$F(x)$ היא פונקציה קדומה של הפונקציה $f(x)=e^{2x}-k$ , $k$ הוא פרמטר. המשיק לגרף הפונקציה $F(x)$ בנקודה שבה…
חישובי שטחים עם פונקציה מעריכית (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(4x+4)\cdot e^{2x}$ . הפונקציה $F(x)=(2x+b)\cdot e^{2x}$ היא פונקציה קדומה של $f(x)$ , כאשר…
אינטגרל של eˣ ושל e^ax+b (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{4x}-16}{e^{2x}+4}$ , המוגדרת לכל $x$ .
חישובי שטחים עם פונקציה מעריכית (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{(e^{x}-2)^{2}}{e^{x}}$ , המוגדרת לכל $x$ .
מציאת פונקציה לפי נגזרתה ונקודה על הגרף (שאלה קצרה · קלה)
נגזרת הפונקציה $f(x)$ היא $f'(x)=2e^{2x}-4e^{x}$ . בשרטוט שלפניכם גרף פונקציית הנגזרת. ערך הפונקציה $f(x)$ …
מציאת פונקציה לפי נגזרתה ונקודה על הגרף (שאלה קצרה · קלה)
נתונה פונקציה $f(x)$ המקיימת $f'(x)=2e^{2x}-2$ . הגרף של $f(x)$ והגרף של $f'(x)$ נחתכים על ציר ה- $y$ .
אינטגרל מסוים של פונקציה מעריכית (שאלה קצרה · קשה)
נתון כי $\int_{0}^{\ln 2}e^{ax}\,dx=\frac{7}{a}$ , כאשר $a>0$ הוא פרמטר.
אינטגרל מסוים של פונקציה מעריכית (שאלה קצרה · קלה)
לכל מספר ממשי $t$ מגדירים $g(t)=\int_{0}^{t}\left(e^{x}-2\right)dx$ .
אינטגרל של פונקציית הנגזרת: שטח מתחת לגרף f'(x) (שאלה קצרה · קלה)
הפונקציה $f(x)$ מוגדרת לכל $x$ , ופונקציית הנגזרת שלה היא $f'(x)=4e^{-x}-e^x$ . נתון: $f(0)=0$ .
אינטגרל של eˣ ושל e^ax+b (שאלה קצרה · קלה)
נתון כי הפונקציה $F(x)=\left(e^x+a\right)^2$ היא פונקציה קדומה של הפונקציה $f(x)=2e^{2x}-6e^x$ . $a$ הוא פרמטר.
אינטגרל מסוים של פונקציה מעריכית (שאלה קצרה · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ רציפה ומקיימת לכל $x$ את השוויון $f(x)=e^{2x}+\frac12\int_0^1f(t)\,dt$ .
חקירת פונקציה מעריכית, נקודת חיתוך עם e^3x ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^x\cdot(e^x-6)^2$ , המוגדרת לכל $x$ .
חקירת פונקציה מעריכית, נקודת חיתוך עם e^3x ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^x\cdot(e^x-4)^2$ , המוגדרת לכל $x$ .
פונקציה מעריכית לפי נגזרתה: קיצון, פונקציה קדומה ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה, $f'(x)$ , מוגדרות לכל $x$ . נתון: $f'(x)=e^x-e^{2-x}$ .
פונקציה מעריכית לפי נגזרתה: קיצון, פונקציה קדומה ושטח (שאלה מלאה · קלה)
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה, $f'(x)$ , מוגדרות לכל $x$ . נתון: $f'(x)=2e^{2x}-2e^{2-2x}$ .
פונקציה מעריכית לפי נגזרתה עם פרמטר: מתי היא חיובית (שאלה מלאה · קלה)
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה מוגדרות לכל $x$ . נתון: $f'(x)=e^x-e^{a-x}$ , כאשר $a>0$ פרמטר. גרף…

שאלה 1 · אינטגרל של eˣ ושל eax+bשאלה קצרה · קלה

שאלה 2 · אינטגרל של eˣ ושל eax+bשאלה קצרה · בינונית

שאלה 3 · אינטגרל של eˣ ושל eax+bשאלה קצרה · קשה

שאלה 4 · פונקציה מעריכית ופונקציית ההופכי שלה: חקירה, שטח ופונקציה צוברתשאלה מלאה · קלה

שאלה 5 · אינטגרל של eˣ ושל eax+bשאלה קצרה · בינונית