מבחן לדוגמה: אינטגרל של f'(x)·e^f(x) - כיתה י"ב 5 יח"ל

מצאו את $f(x)$, וחשבו את $f(4)$. (הדרכה: הנגזרת של $\sqrt{x}$ היא $\frac{1}{2\sqrt{x}}$.)

נתונה הפונקציה: $g(x)=e^{f(x)}$ המוגדרת באותו התחום כמו הפונקציה $f(x)$.

חשבו את השטח המוגבל על ידי הפונקציה $y=f'(x)\cdot g(x)$, על ידי ציר ה-$x$ ועל ידי הישרים $x=-4$ ו-$x=-3$. היעזרו בכך ש-$g'(x)=f'(x)\cdot g(x)$.

חשבו את השטח הכלוא בין הגרפים של $f$ ו-$g$ ברביע הראשון (התחום הסגור שבין שתי נקודות החיתוך של הגרפים). (הדרכה: הנגזרת של $x^{2}$ היא $2x$, והנגזרת של $4-x^{2}$ היא $-2x$.)

כתבו את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה $g(x)$ (אם יש כאלה). נמקו את תשובתכם.

נתון כי $f(x)=-\frac2x$.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $g(x)$.

$a$ הוא פרמטר גדול מ-1. נתון כי השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $g(x)$, על ידי ציר ה-$x$ ועל ידי הישרים $x=\frac{2}{\ln a}$ ו-$x=\frac{2}{\ln(3a)}$ הוא $\frac16$.

מצאו את הערך של $a$.

מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ וקבעו את סוגן (הביעו באמצעות $a$ במידת הצורך).

הפונקציה $f(x)$ היא נגזרת של הפונקציה $g(x)$. נסמן ב-B וב-D את נקודות הפיתול של $g(x)$, כאשר הערך של $g$ ב-B גבוה מהערך שלה ב-D. נתון כי ההפרש בין שיעור ה-$y$ של B לשיעור ה-$y$ של D הוא $\frac{e-\sqrt[3]{e}}{3}$.

מצאו את $a$.

הציבו את הערך של $a$ שמצאתם. נתון כי הישר $y=1$ הוא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה $g(x)$.

מצאו את $g(x)$ ואת נקודת החיתוך של הגרף שלה עם ציר ה-$y$.

מצאו את $f(x)$ (הביעו באמצעות $a$).

מצאו באמצעות $a$ את שיעורי נקודות הפיתול של $f(x)$.

כאשר $a$ מקבל את כל הערכים החיוביים, נקודות הפיתול של $f(x)$ נמצאות על עקום אחד. מצאו את משוואתו.

נתונות הפונקציות $h(x)=\frac1{f'(x)}$ ו-$m(x)=e^{h(x)}$.

מצאו באמצעות $a$ את תחומי העלייה והירידה של $m(x)$.