שאלות פתוחות: אינטגרל של f'(x)·e^f(x) - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על אינטגרל מהצורה f'(x)·e^(f(x)), לכיתה י"ב, 5 יחידות. השאלות כוללות מציאת פונקציה כשהנגזרת מכילה e בחזקת שורש, שטח מתחת לגרף x·e^(1-x²), השוואה בין שתי פונקציות מהצורה 2x·e^(x²), ופונקציה קדומה עם פרמטר ונקודת קיצון ידועה. רוב השאלות ברמה בינונית, לצד קלות וקשות. אפשר לבחור מהן לבוחן או למבחן, וכל שאלה מגיעה עם פתרון מלא וייצוא לוורד.

27 שאלותקלה: 5בינונית: 17קשה: 5

שאלה 1 · אינטגרל של f'(x)·e^f(x)שאלה קצרה · קלה

נתונה פונקציה f(x)f(x)f(x) המוגדרת לכל x>0x>0x>0, שנגזרתה היא f′(x)=exxf'(x)=\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}f′(x)=x​ex​​. נתון f(1)=3ef(1)=3ef(1)=3e.

מצאו את f(x)f(x)f(x), וחשבו את f(4)f(4)f(4). (הדרכה: הנגזרת של x\sqrt{x}x​ היא 12x\frac{1}{2\sqrt{x}}2x​1​.)

שאלה 2 · אינטגרל של f'(x)·e^f(x)שאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x⋅e1−x2f(x)=x\cdot e^{1-x^{2}}f(x)=x⋅e1−x2. בשרטוט מסומן השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, ציר ה-xxx והישרים x=−1x=-1x=−1 ו-x=1x=1x=1.
y=f(x)

חשבו את השטח המסומן. (הדרכה: הנגזרת של 1−x21-x^{2}1−x2 היא −2x-2x−2x.)

שאלה 3 · הפרמטר ב- $x^{2} e^{a - x^{3}}$ : מספר פתרונות, נקודות פיתול של קדומה ואסימפטוטהשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=x2ea−x3f(x)=x^2e^{a-x^3}f(x)=x2ea−x3 המוגדרת לכל xxx, aaa הוא פרמטר.

א.

מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x) וקבעו את סוגן (הביעו באמצעות aaa במידת הצורך).

ב.

מצאו את תחום הערכים של aaa שבעבורו למשוואה f(x)=1f(x)=1f(x)=1 יש בדיוק שלושה פתרונות.

ג.

הפונקציה f(x)f(x)f(x) היא נגזרת של הפונקציה g(x)g(x)g(x). נסמן ב-B וב-D את נקודות הפיתול של g(x)g(x)g(x), כאשר הערך של ggg ב-B גבוה מהערך שלה ב-D. נתון כי ההפרש בין שיעור ה-yyy של B לשיעור ה-yyy של D הוא e−e33\frac{e-\sqrt[3]{e}}{3}3e−3e​​.

מצאו את aaa.

ד.

הציבו את הערך של aaa שמצאתם. נתון כי הישר y=1y=1y=1 הוא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה g(x)g(x)g(x).

מצאו את g(x)g(x)g(x) ואת נקודת החיתוך של הגרף שלה עם ציר ה-yyy.

שאלה 4 · פונקציה לוגריתמית ו-e בחזקתה: קיצון ושטחשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=x+ln⁡(x2−3)f(x)=x+\ln(x^2-3)f(x)=x+ln(x2−3).

א.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

(2)

הראו כי f′(x)=(x+3)(x−1)x2−3f'(x)=\frac{(x+3)(x-1)}{x^2-3}f′(x)=x2−3(x+3)(x−1)​.

(3)

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגה.

ב.

נתונה הפונקציה: g(x)=ef(x)g(x)=e^{f(x)}g(x)=ef(x) המוגדרת באותו התחום כמו הפונקציה f(x)f(x)f(x).

(1)

הראו כי g(x)=(x2−3)exg(x)=(x^2-3)e^xg(x)=(x2−3)ex.

(2)

הסבירו מדוע ל-g(x)g(x)g(x) יש נקודת קיצון באותו xxx ומאותו סוג כמו ל-f(x)f(x)f(x), ומצאו את שיעוריה.

ג.

חשבו את השטח המוגבל על ידי הפונקציה y=f′(x)⋅g(x)y=f'(x)\cdot g(x)y=f′(x)⋅g(x), על ידי ציר ה-xxx ועל ידי הישרים x=−4x=-4x=−4 ו-x=−3x=-3x=−3. היעזרו בכך ש-g′(x)=f′(x)⋅g(x)g'(x)=f'(x)\cdot g(x)g′(x)=f′(x)⋅g(x).

שאלה 5 · אינטגרל של f'(x)·e^f(x)שאלה קצרה · בינונית

נתונות הפונקציות f(x)=2x⋅ex2f(x)=2x\cdot e^{x^{2}}f(x)=2x⋅ex2 ו-g(x)=2x⋅e4−x2g(x)=2x\cdot e^{4-x^{2}}g(x)=2x⋅e4−x2.

חשבו את השטח הכלוא בין הגרפים של fff ו-ggg ברביע הראשון (התחום הסגור שבין שתי נקודות החיתוך של הגרפים). (הדרכה: הנגזרת של x2x^{2}x2 היא 2x2x2x, והנגזרת של 4−x24-x^{2}4−x2 היא −2x-2x−2x.)

שאלה 6 · פונקציה מעריכית עם פרמטר: מסלול נקודות הפיתול ומספר פתרונותשאלה מלאה · קשה

f(x)f(x)f(x) היא פונקציה המוגדרת לכל xxx, ונתון: f′(x)=−2x⋅e−x2af'(x)=-2x\cdot e^{-\frac{x^2}{a}}f′(x)=−2x⋅e−ax2​, f(0)=af(0)=af(0)=a, כאשר a>0a>0a>0 הוא פרמטר.

א.

מצאו את f(x)f(x)f(x) (הביעו באמצעות aaa).

ב.

מצאו באמצעות aaa את שיעורי נקודות הפיתול של f(x)f(x)f(x).

ג.

כאשר aaa מקבל את כל הערכים החיוביים, נקודות הפיתול של f(x)f(x)f(x) נמצאות על עקום אחד. מצאו את משוואתו.

ד.

נתונות הפונקציות h(x)=1f′(x)h(x)=\frac1{f'(x)}h(x)=f′(x)1​ ו-m(x)=eh(x)m(x)=e^{h(x)}m(x)=eh(x).

מצאו באמצעות aaa את תחומי העלייה והירידה של m(x)m(x)m(x).

ה.

(1)

מצאו את aaa שעבורו הערך הגדול ביותר של m(x)m(x)m(x) בתחום x>0x>0x>0 הוא e−1e^{-1}e−1.

(2)

עבור aaa שמצאתם, קבעו לכל מספר ממשי kkk כמה פתרונות יש למשוואה m(x)=km(x)=km(x)=k.

שאלה 7 · חקירת $x^{2} e^{- x^{3}}$ , שטח מתחת לגרף הנגזרת ופונקציה קדומהשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=x2e−x3f(x)=x^2e^{-x^3}f(x)=x2e−x3 המוגדרת לכל xxx.

א.

הראו כי f′(x)=x(2−3x3)e−x3f'(x)=x\left(2-3x^3\right)e^{-x^3}f′(x)=x(2−3x3)e−x3, ומצאו את נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) וקבעו את סוגן.

ב.

f(x)f(x)f(x) היא פונקציה קדומה של f′(x)f'(x)f′(x). היעזרו בכך וחשבו את השטח הכלוא בין הגרף של f′(x)f'(x)f′(x) לבין ציר ה-xxx.

ג.

הפונקציה g(x)g(x)g(x) מקיימת g′(x)=f(x)g'(x)=f(x)g′(x)=f(x) ו-g(0)=0g(0)=0g(0)=0.

מצאו את g(x)g(x)g(x).

ד.

מצאו את שיעורי ה-xxx של נקודות הפיתול של g(x)g(x)g(x). נמקו.

שאלה 8 · אינטגרל של f'(x)·e^f(x)שאלה קצרה · בינונית

F(x)F(x)F(x) היא פונקציה קדומה של f(x)=(2x+a)⋅ex2+axf(x)=(2x+a)\cdot e^{x^{2}+ax}f(x)=(2x+a)⋅ex2+ax, כאשר aaa פרמטר. לפונקציה FFF יש נקודת קיצון שבה x=1x=1x=1, ונתון F(1)=0F(1)=0F(1)=0.

א.

מצאו את aaa.

ב.

מצאו את F(x)F(x)F(x). (הדרכה: הנגזרת של x2+axx^{2}+axx2+ax היא 2x+a2x+a2x+a.)

שאלה 9 · הפונקציה g=e^f·f': מספר פתרונות של g(x)=m ושטח בגבולות משתניםשאלה מלאה · קשה

g(x)g(x)g(x) היא פונקציה המקיימת g(x)=ef(x)⋅f′(x)g(x)=e^{f(x)}\cdot f'(x)g(x)=ef(x)⋅f′(x), כאשר f′(x)f'(x)f′(x) היא הנגזרת של f(x)f(x)f(x). הפונקציות מוגדרות בתחום x≠0x\neq0x=0. נתון כי f(x)f(x)f(x) יורדת בתחום x>0x>0x>0 ובתחום x<0x<0x<0, וכי f′(x)≠0f'(x)\neq0f′(x)=0 בכל תחום הגדרתה.

א.

קבעו את תחומי החיוביות והשליליות של g(x)g(x)g(x). נמקו.

ב.

נתון כי f(x)=2xf(x)=\frac2xf(x)=x2​.

מצאו את האסימפטוטות המאונכות לצירים של g(x)g(x)g(x) ואת נקודת הקיצון שלה, וקבעו את סוגה.

ג.

קבעו, לכל ערך של mmm, כמה פתרונות יש למשוואה g(x)=mg(x)=mg(x)=m.

ד.

לכל t>0t>0t>0, S(t)S(t)S(t) הוא השטח המוגבל על ידי גרף g(x)g(x)g(x), ציר ה-xxx והישרים x=tx=tx=t ו-x=2tx=2tx=2t. מצאו את ttt שבעבורו S(t)=2S(t)=2S(t)=2.

שאלה 10 · פונקציה מעריכית מנגזרתה וגרף של 1/f'שאלה מלאה · קלה

f(x)f(x)f(x) היא פונקציה המוגדרת לכל xxx, ונתון: f′(x)=−x⋅e−x22f'(x)=-x\cdot e^{-\frac{x^2}{2}}f′(x)=−x⋅e−2x2​.
הגרפים I ו-II (לסעיף ד):
גרף I
גרף II

א.

הראו כי f′′(x)=(x2−1)e−x22f''(x)=(x^2-1)e^{-\frac{x^2}2}f′′(x)=(x2−1)e−2x2​, ומצאו את שיעורי ה-xxx של נקודות הפיתול של f(x)f(x)f(x).

ב.

נתון: f(0)=1f(0)=1f(0)=1. מצאו את הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ג.

מצאו את האסימפטוטה האופקית של f(x)f(x)f(x) ואת שיעורי נקודת הקיצון שלה, וקבעו את סוגה.

ד.

נתונה הפונקציה h(x)=1f′(x)h(x)=\frac1{f'(x)}h(x)=f′(x)1​.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של h(x)h(x)h(x) ואת תחומי החיוביות והשליליות שלה.

(2)

אחד מהגרפים I ו-II שבראש השאלה הוא הגרף של h(x)h(x)h(x). קבעו איזה, ונמקו.

ה.

(1)

מצאו את תחומי העלייה והירידה של h(x)h(x)h(x).

(2)

קבעו אם הביטוי ∫−2−1h(x)dx\int_{-2}^{-1}h(x)dx∫−2−1​h(x)dx חיובי או שלילי. נמקו.

עוד 13 שאלות על אינטגרל של f'(x)·e^(f(x))

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

חקירת פונקציה לוגריתמית, גרף הנגזרת ו-e בחזקת הפונקציה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=-x+\ln(x^2-8)$ .
אינטגרל של $f^{'} (x) \cdot e^{f (x)}$ כאשר $f$ נתונה רק דרך ערכיה (שאלה קצרה · קשה)
$f(x)$ היא פונקציה גזירה, והנגזרת שלה $f'(x)$ רציפה. נתון: $f(1)=0$ ו- $f(3)=\ln5$ .
הפונקציה g=e^f·f' עם f=2/x: נגזרת, קיצון ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac2x$ , ו- $g(x)=e^{f(x)}\cdot f'(x)$ , $x\ne0$ .
חקירת $x^{2} e^{a + 2 x^{3}}$ : פרמטר משטח מתחת לגרף הנגזרת, ופונקציה קדומה ונקודות הפיתול שלה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^2e^{a+2x^3}$ המוגדרת לכל $x$ , $a$ הוא פרמטר.
פונקציה קדומה של $x^{2} e^{a - x^{3}}$ : פרמטר מהפרש ערכים בנקודות פיתול (שאלת ביניים · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^2e^{a-x^3}$ המוגדרת לכל $x$ , $a$ הוא פרמטר. (הדרכה: הנגזרת של $a-x^3$ היא $-3x^2$ .)
אינטגרל של f'(x)·e^f(x) (שאלה קצרה · בינונית)
הפונקציה $g(x)$ מקיימת $g'(x)=6x^2e^{x^3-1}$ ו- $g(1)=3$ .
פונקציה מעריכית מנגזרתה: פעמון הפוך וגרפים של 1/f' ושל e^h (שאלה מלאה · בינונית)
$f(x)$ היא פונקציה המוגדרת לכל $x$ , ו- $f'(x)$ היא פונקציית הנגזרת שלה, המוגדרת גם היא לכל $x$ . נתון: $f'(x)=4x\cdot e^{-\frac{x^2}{a}}$ , $a$ …
אינטגרל של f'(x)·e^f(x) (שאלה קצרה · בינונית)
$f(x)$ היא פונקציה המוגדרת לכל $x$ . נתון: $f'(x)=3x\cdot e^{-\frac{x^2}{8}}$ , ו- $f(0)=-2$ .
הפונקציה g=e^f·f': סימן, אסימפטוטות, קיצון ושטח עם פרמטר (שאלה מלאה · בינונית)
$f'(x)$ היא פונקציית הנגזרת של הפונקציה $f(x)$ . $g(x)$ היא פונקציה המקיימת $g(x)=e^{f(x)}\cdot f'(x)$ . הפונקציות $f(x)$ , $f'(x)$ ו- $g(x)$ …
אינטגרל של f'(x)·e^f(x) (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $g(x)=2x\cdot e^{x^2}$ . $a$ הוא פרמטר גדול מ-1. השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $g(x)$ , על ידי ציר ה- $x$ ועל ידי הישרים $x=0$ …
הפונקציה $g = e^{f} \cdot f^{'}$ עבור $f = - \frac{6}{x ^{2}}$ : סימן, אסימפטוטות, קיצון ושטח עם פרמטר (שאלה מלאה · בינונית)
$f'(x)$ היא פונקציית הנגזרת של הפונקציה $f(x)$ . $g(x)$ היא פונקציה המקיימת $g(x)=e^{f(x)}\cdot f'(x)$ . הפונקציות $f(x)$ , $f'(x)$ ו- $g(x)$ …
מציאת $f$ מנגזרת מהצורה $x \cdot e^{- \frac{x ^{2}}{2}}$ ומערך נתון (שאלה קצרה · בינונית)
$f(x)$ היא פונקציה המוגדרת לכל $x$ , ו- $f'(x)$ היא פונקציית הנגזרת שלה, המוגדרת גם היא לכל $x$ . נתון: $f'(x)=4x\cdot e^{-\frac{x^2}{a}}$ ,…
פונקציה קדומה של $(2 x + a) e^{x^{2} + a x}$ : פרמטר מנקודת קיצון ופתרון משוואה (שאלת ביניים · בינונית)
$F(x)$ היא פונקציה קדומה של $f(x)=(2x+a)\cdot e^{x^{2}+ax}$ , כאשר $a$ פרמטר. לפונקציה $F$ יש נקודת קיצון שבה $x=1$ , ונתון $F(1)=0$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

חקירת פונקציה לוגריתמית, גרף הנגזרת ו-e בחזקת הפונקציה · בגרות 572 קיץ 2022 מועד א', שאלה 5
נתונה הפונקציה: $f(x)=x+\ln(x^2-15)$ .
חקירת $x^{2} e^{a - x^{3}}$ : פרמטר משטח מתחת לגרף הנגזרת, ופונקציה קדומה ונקודות הפיתול שלה · בגרות 572 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 4
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^2e^{a-x^3}$ המוגדרת לכל $x$ , $a$ הוא פרמטר.
פונקציה מעריכית מנגזרתה: פרמטר מנקודת פיתול, חקירה וגרפים של 1/f' ושל e^h · בגרות 572 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 4
$f(x)$ היא פונקציה המוגדרת לכל $x$ , ו- $f'(x)$ היא פונקציית הנגזרת שלה, המוגדרת גם היא לכל $x$ . נתון: $f'(x)=-2x\cdot e^{-\frac{x^2}{a}}$ , $a$ הוא פרמטר.…
הפונקציה g=e^f·f': סימן, אסימפטוטות, קיצון ושטח עם פרמטר · בגרות 572 חורף 2026, שאלה 4
$f'(x)$ הוא פונקציית הנגזרת של הפונקציה $f(x)$ . $g(x)$ היא פונקציה המקיימת $g(x)=e^{f(x)}\cdot f'(x)$ . הפונקציות $f(x)$ , $f'(x)$ ו- $g(x)$ מוגדרות בתחום…

שאלה 1 · אינטגרל של f'(x)·ef(x)שאלה קצרה · קלה

שאלה 2 · אינטגרל של f'(x)·ef(x)שאלה קצרה · בינונית

שאלה 3 · הפרמטר ב-x2ea−x3: מספר פתרונות, נקודות פיתול של קדומה ואסימפטוטהשאלה מלאה · קשה

שאלה 4 · פונקציה לוגריתמית ו-e בחזקתה: קיצון ושטחשאלה מלאה · קלה

שאלה 5 · אינטגרל של f'(x)·ef(x)שאלה קצרה · בינונית

שאלה 6 · פונקציה מעריכית עם פרמטר: מסלול נקודות הפיתול ומספר פתרונותשאלה מלאה · קשה

שאלה 7 · חקירת x2e−x3, שטח מתחת לגרף הנגזרת ופונקציה קדומהשאלה מלאה · קלה

שאלה 8 · אינטגרל של f'(x)·ef(x)שאלה קצרה · בינונית

שאלה 9 · הפונקציה g=ef·f': מספר פתרונות של g(x)=m ושטח בגבולות משתניםשאלה מלאה · קשה