מבחן לדוגמה: שטחים ובעיות הצטברות עם פונקציות מעריכיות - כיתה י"ב 5 יח"ל

חשבו את השטח המסומן.

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של הגרפים של $f(x)$ ו-$g(x)$.

היעזרו בסעיף ג(1) וחשבו את השטח הכלוא בין הגרפים של $f(x)$ ו-$g(x)$ ובין הישרים $x=\ln6$ ו-$x=\ln10$.

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרפים של $f(x)$ ושל $g(x)$. האם הוא תלוי ב-$a$? נמקו.

נתונה הפונקציה $g(x)$ המקיימת: $g(x)=\frac{1}{f(x)}$. הפונקציות $g(x)$ ו-$f(x)$ מוגדרות באותו התחום.

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם גרף הפונקציה $g(x)$.

נתונה הפונקציה: $s(x)=\int_x^{\ln2}\big(f(t)-g(t)\big)dt$, המוגדרת בתחום: $x<\ln2$.

מצאו את שיעור ה-$x$ של נקודת הקיצון של הפונקציה $s(x)$ וקבעו את סוגה.

הביעו באמצעות $a$ את שיעורי נקודת החיתוך של הגרפים של $f(x)$ ו-$g(x)$, והסבירו מדוע היא נמצאת מימין לציר ה-$y$.

הביעו באמצעות $a$ את השטח המוגבל על ידי שני הצירים והגרפים של שתי הפונקציות.

הישר האנכי העובר דרך נקודת החיתוך של הגרפים מחלק את התחום מסעיף ב לשני חלקים. מצאו את $a$ שעבורו שטחי שני החלקים שווים.

מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ וקבעו את סוגן (הביעו באמצעות $a$ במידת הצורך).

מצאו את תחום הערכים של $a$ שבעבורו למשוואה $f(x)=1$ יש בדיוק שלושה פתרונות.

הפונקציה $f(x)$ היא נגזרת של הפונקציה $g(x)$. נסמן ב-B וב-D את נקודות הפיתול של $g(x)$, כאשר הערך של $g$ ב-B גבוה מהערך שלה ב-D. נתון כי ההפרש בין שיעור ה-$y$ של B לשיעור ה-$y$ של D הוא $\frac{e-\sqrt[3]{e}}{3}$.

מצאו את $a$.

הציבו את הערך של $a$ שמצאתם. נתון כי הישר $y=1$ הוא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה $g(x)$.

מצאו את $g(x)$ ואת נקודת החיתוך של הגרף שלה עם ציר ה-$y$.