שאלות פתוחות: שטחים ובעיות הצטברות עם פונקציות מעריכיות - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על שטחים ובעיות הצטברות עם פונקציות מעריכיות, לכיתה י"ב, 5 יחידות. יש כאן שטח בין eˣ ל-e^(-x), שטח בין גרף למשיק בנקודת המינימום, שטחים שתלויים בפרמטר, ובעיית הצטברות שבה תרופה נספגת בגוף בקצב מעריכי. השיעור גדול, עם שאלות ברמה קלה ובינונית ומעט קשות. אפשר להרכיב ממנו מבחן, בוחן או דף עבודה בשטחים, עם פתרון מלא לכל שאלה וייצוא לוורד.

123 שאלותקלה: 67בינונית: 47קשה: 9

שאלה 1 · שטחים ובעיות הצטברות עם פונקציות מעריכיותשאלה קצרה · קלה

נתונות הפונקציות f(x)=exf(x)=e^{x}f(x)=ex ו-g(x)=e−xg(x)=e^{-x}g(x)=e−x. בשרטוט מסומן השטח המוגבל על ידי הגרפים של שתי הפונקציות ועל ידי הישר x=ln⁡3x=\ln3x=ln3.
y=exy=e−x
-1.0-0.50.51.01.51234

חשבו את השטח המסומן.

שאלה 2 · שטחים ובעיות הצטברות עם פונקציות מעריכיותשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=e2x−4exf(x)=e^{2x}-4e^{x}f(x)=e2x−4ex. מעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודת המינימום שלה (ראו שרטוט).
y=f(x)

א.

מצאו את נקודת המינימום של הפונקציה ואת משוואת המשיק בנקודה זו.

ב.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, המשיק וציר ה-yyy (השטח המסומן בשרטוט).

שאלה 3 · הפרמטר ב- $x^{2} e^{a - x^{3}}$ : מספר פתרונות, נקודות פיתול של קדומה ואסימפטוטהשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=x2ea−x3f(x)=x^2e^{a-x^3}f(x)=x2ea−x3 המוגדרת לכל xxx, aaa הוא פרמטר.

א.

מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x) וקבעו את סוגן (הביעו באמצעות aaa במידת הצורך).

ב.

מצאו את תחום הערכים של aaa שבעבורו למשוואה f(x)=1f(x)=1f(x)=1 יש בדיוק שלושה פתרונות.

ג.

הפונקציה f(x)f(x)f(x) היא נגזרת של הפונקציה g(x)g(x)g(x). נסמן ב-B וב-D את נקודות הפיתול של g(x)g(x)g(x), כאשר הערך של ggg ב-B גבוה מהערך שלה ב-D. נתון כי ההפרש בין שיעור ה-yyy של B לשיעור ה-yyy של D הוא e−e33\frac{e-\sqrt[3]{e}}{3}3e−3e​​.

מצאו את aaa.

ד.

הציבו את הערך של aaa שמצאתם. נתון כי הישר y=1y=1y=1 הוא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה g(x)g(x)g(x).

מצאו את g(x)g(x)g(x) ואת נקודת החיתוך של הגרף שלה עם ציר ה-yyy.

שאלה 4 · חקירת $x^{2} e^{- x^{3}}$ , שטח מתחת לגרף הנגזרת ופונקציה קדומהשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=x2e−x3f(x)=x^2e^{-x^3}f(x)=x2e−x3 המוגדרת לכל xxx.

א.

הראו כי f′(x)=x(2−3x3)e−x3f'(x)=x\left(2-3x^3\right)e^{-x^3}f′(x)=x(2−3x3)e−x3, ומצאו את נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) וקבעו את סוגן.

ב.

f(x)f(x)f(x) היא פונקציה קדומה של f′(x)f'(x)f′(x). היעזרו בכך וחשבו את השטח הכלוא בין הגרף של f′(x)f'(x)f′(x) לבין ציר ה-xxx.

ג.

הפונקציה g(x)g(x)g(x) מקיימת g′(x)=f(x)g'(x)=f(x)g′(x)=f(x) ו-g(0)=0g(0)=0g(0)=0.

מצאו את g(x)g(x)g(x).

ד.

מצאו את שיעורי ה-xxx של נקודות הפיתול של g(x)g(x)g(x). נמקו.

שאלה 5 · שטחים ובעיות הצטברות עם פונקציות מעריכיותשאלה קצרה · בינונית

נתונות הפונקציות f(x)=exf(x)=e^{x}f(x)=ex ו-g(x)=4e−xg(x)=4e^{-x}g(x)=4e−x. בשרטוט מסומן השטח המוגבל על ידי הגרפים של שתי הפונקציות, ציר ה-yyy והישר x=ln⁡4x=\ln4x=ln4.
y=exy=4e−x
-0.50.51.01.52.012345

חשבו את השטח המסומן.

שאלה 6 · פונקציה מעריכית עם פרמטר: שטח שאינו תלוי בפרמטר ומספר פתרונותשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=(ex−1)n−af(x)=(e^x-1)^n-af(x)=(ex−1)n−a, המוגדרת לכל xxx. nnn הוא מספר טבעי גדול או שווה ל-2, ו-a>1a>1a>1 הוא פרמטר.

א.

עבור nnn זוגי ועבור nnn אי-זוגי: מצאו את האסימפטוטות האופקיות ואת נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) (אם יש), והביעו אותן באמצעות aaa.

בסעיפים ב-ד n=2n=2n=2. נתונה הפונקציה g(x)=2ex−2−ag(x)=2e^x-2-ag(x)=2ex−2−a.

ב.

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרפים של f(x)f(x)f(x) ושל g(x)g(x)g(x). האם הוא תלוי ב-aaa? נמקו.

ג.

נתונה הפונקציה h(x)=∣f(x)∣h(x)=|f(x)|h(x)=∣f(x)∣.

קבעו, בעבור כל ערך של k>0k>0k>0, כמה פתרונות יש למשוואה h(x)=kh(x)=kh(x)=k. הביעו את התחומים באמצעות aaa.

ד.

מצאו את כל ערכי aaa שעבורם הישר y=3y=3y=3 חותך את גרף הפונקציה h(x)h(x)h(x) בשלוש נקודות בדיוק.

שאלה 7 · פונקציה מעריכית ריבועית: קיצון, שטח וערך מוחלטשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=(ex−2)2−9f(x)=(e^x-2)^2-9f(x)=(ex−2)2−9, המוגדרת לכל xxx.

א.

(1)

מצאו את משוואת האסימפטוטה האופקית של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

(2)

הראו כי f′(x)=2ex(ex−2)f'(x)=2e^x(e^x-2)f′(x)=2ex(ex−2), ומצאו את שיעורי נקודת הקיצון של f(x)f(x)f(x) וקבעו את סוגה.

(3)

מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים, וסרטטו סקיצה של הגרף.

ב.

נתונה הפונקציה g(x)=4ex−17g(x)=4e^x-17g(x)=4ex−17, המוגדרת לכל xxx.

(1)

הראו כי שיעורי ה-xxx של נקודות החיתוך בין הגרפים של fff ושל ggg מקיימים e2x−8ex+12=0e^{2x}-8e^x+12=0e2x−8ex+12=0, ומצאו את נקודות החיתוך.

(2)

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרפים של f(x)f(x)f(x) ושל g(x)g(x)g(x).

ג.

נתונה הפונקציה h(x)=∣f(x)∣h(x)=|f(x)|h(x)=∣f(x)∣.

(1)

היעזרו בסקיצה של fff ומצאו את נקודות הקיצון של h(x)h(x)h(x) ואת האסימפטוטה האופקית שלה.

(2)

כמה נקודות חיתוך יש לגרף הפונקציה h(x)h(x)h(x) עם הישר y=7y=7y=7? ועם הישר y=3y=3y=3?

שאלה 8 · שטחים ובעיות הצטברות עם פונקציות מעריכיותשאלה קצרה · בינונית

תרופה נספגת בגוף בקצב של r(t)=k⋅e−0.5tr(t)=k\cdot e^{-0.5t}r(t)=k⋅e−0.5t מיליגרם לשעה, כאשר ttt הוא הזמן בשעות מרגע נטילת התרופה ו-kkk קבוע חיובי. נסמן ב-Q(T)Q(T)Q(T) את הכמות (במ"ג) שנספגה בגוף מרגע הנטילה ועד הזמן TTT (T>0T>0T>0). ידוע כי לגרף הפונקציה QQQ יש אסימפטוטה אופקית y=50y=50y=50 כאשר T→∞T\to\inftyT→∞.

א.

הביעו את Q(T)Q(T)Q(T) באמצעות kkk ו-TTT, ומצאו את kkk.

ב.

התרופה פעילה כל עוד קצב הספיגה הוא לפחות 2.52.52.5 מ"ג לשעה. חשבו כמה מ"ג נספגו מרגע הנטילה ועד שהתרופה הפסיקה להיות פעילה.

שאלה 9 · פונקציה מעריכית עם פרמטר: טווח, שטח קבוע וקיום קיצוןשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=exex−af(x)=\frac{e^x}{e^x-a}f(x)=ex−aex​, aaa הוא פרמטר חיובי.

א.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x) ואת משוואות האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים (הביעו באמצעות aaa).

(2)

מצאו את תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x)f(x).

(3)

מצאו את כל הערכים של mmm שעבורם למשוואה f(x)=mf(x)=mf(x)=m אין פתרון.

ב.

נתונה הפונקציה g(x)g(x)g(x) המקיימת: g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}g(x)=f(x)1​. הפונקציות g(x)g(x)g(x) ו-f(x)f(x)f(x) מוגדרות באותו התחום.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף g(x)g(x)g(x), האסימפטוטה האופקית שלה והישרים x=ln⁡(2a)x=\ln(2a)x=ln(2a) ו-x=ln⁡(4a)x=\ln(4a)x=ln(4a). האם השטח תלוי ב-aaa? נמקו.

ג.

נתון: a>1a>1a>1. נתונה הפונקציה s(x)=∫x0(f(t)−g(t))dts(x)=\int_x^{0}\big(f(t)-g(t)\big)dts(x)=∫x0​(f(t)−g(t))dt, המוגדרת בתחום x<0x<0x<0.

לאילו ערכים של aaa יש לפונקציה s(x)s(x)s(x) נקודת קיצון? מצאו את שיעור ה-xxx שלה (באמצעות aaa) וקבעו את סוגה.

שאלה 10 · פונקציה מעריכית ופונקציית ההופכי שלה: חקירה, שטח ופונקציה צוברתשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=exex−2f(x)=\frac{e^x}{e^x-2}f(x)=ex−2ex​.

א.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

(2)

מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

(3)

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x)f(x)f(x) (אם יש כאלה).

(4)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ב.

נתונה הפונקציה g(x)g(x)g(x) המקיימת: g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}g(x)=f(x)1​. הפונקציות g(x)g(x)g(x) ו-f(x)f(x)f(x) מוגדרות באותו התחום.

(1)

הראו כי g(x)=1−2e−xg(x)=1-2e^{-x}g(x)=1−2e−x (בתחום ההגדרה), ומצאו את משוואות האסימפטוטות של g(x)g(x)g(x) המאונכות לצירים.

(2)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x).

(3)

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף g(x)g(x)g(x), האסימפטוטה האופקית שלה והישרים x=ln⁡4x=\ln4x=ln4 ו-x=ln⁡8x=\ln8x=ln8.

ג.

הראו כי בנקודת חיתוך של הגרפים של f(x)f(x)f(x) ו-g(x)g(x)g(x) מתקיים f2(x)=1f^2(x)=1f2(x)=1, ומצאו את נקודת החיתוך.

ד.

נתונה הפונקציה s(x)=∫xln⁡1.5(f(t)−g(t))dts(x)=\int_x^{\ln1.5}\big(f(t)-g(t)\big)dts(x)=∫xln1.5​(f(t)−g(t))dt, המוגדרת בתחום x<ln⁡1.5x<\ln1.5x<ln1.5.

הראו כי s′(x)=g(x)−f(x)s'(x)=g(x)-f(x)s′(x)=g(x)−f(x), ומצאו את שיעור ה-xxx של נקודת הקיצון של s(x)s(x)s(x) וקבעו את סוגה.

עוד 29 שאלות על שטחים ובעיות הצטברות עם פונקציות מעריכיות

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

שטחים ובעיות הצטברות עם פונקציות מעריכיות (שאלה קצרה · בינונית)
בשרטוט מסומן השטח המוגבל על ידי הגרפים של $y=2^{x}$ ו- $y=4^{x}$ ועל ידי הישר $y=4$ .
פונקציה מעריכית עם שתי אסימפטוטות: מספר פתרונות ושטח הפוך (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{2e^{2x}}{e^{2x}-6e^x+8}$ .
שתי פונקציות מעריכיות: חקירה, זיהוי גרפים ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונות הפונקציות $f(x)=\frac{2e^{2x}}{e^{2x}-6e^x+5}$ ו- $g(x)=\frac{6e^x}{e^{2x}-6e^x+5}$ .
חקירת פונקציה לוגריתמית, גרף הנגזרת ו-e בחזקת הפונקציה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=-x+\ln(x^2-8)$ .
משפחת פונקציות מעריכיות: מקום המקסימום, מספר פתרונות ושטח הנגזרת (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{(x+k)^2}{e^x}$ המוגדרת לכל $x$ . $k$ הוא פרמטר.
פונקציה ופונקציה קדומה נתונה: קיצון, שטח ואינטגרל (שאלה מלאה · קלה)
נתונות הפונקציות: $f(x)=\frac{4-x^2}{e^x}$ , $g(x)=\frac{x^2+2x-2}{e^x}$ המוגדרות לכל $x$ .
חקירת $x^{2} e^{a + 2 x^{3}}$ : פרמטר משטח מתחת לגרף הנגזרת, ופונקציה קדומה ונקודות הפיתול שלה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^2e^{a+2x^3}$ המוגדרת לכל $x$ , $a$ הוא פרמטר.
פונקציה מעריכית עם פרמטר: קיצון נסתר וחיתוכים (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^x-\frac{k}{1-e^x}$ , המוגדרת לכל $x\neq0$ . $k>0$ הוא פרמטר.
חקירת פונקציה מעריכית ושטח בעזרת קדומה נתונה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^x-\frac{9}{1-e^x}$ , המוגדרת לכל $x\neq0$ .
שטחים ובעיות הצטברות עם פונקציות מעריכיות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^2e^{-x}$ .
הפונקציה g=e^f·f': מספר פתרונות של g(x)=m ושטח בגבולות משתנים (שאלה מלאה · קשה)
$g(x)$ היא פונקציה המקיימת $g(x)=e^{f(x)}\cdot f'(x)$ , כאשר $f'(x)$ היא הנגזרת של $f(x)$ . הפונקציות מוגדרות בתחום $x\neq0$ . נתון כי $f(x)$ …
הפונקציה g=e^f·f' עם f=2/x: נגזרת, קיצון ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac2x$ , ו- $g(x)=e^{f(x)}\cdot f'(x)$ , $x\ne0$ .
פונקציה מעריכית יורדת עם חזקה n: אסימפטוטות, שטח וערך מוחלט (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=(e^{-x}-1)^n-9$ , המוגדרת לכל $x$ . $n$ הוא מספר טבעי גדול או שווה ל-2.
שטח מתחת לגרף $e^{f (x)} \cdot f^{'} (x)$ בקטע $[t, 2 t]$ (שאלה קצרה · קשה)
$g(x)$ היא פונקציה המקיימת $g(x)=e^{f(x)}\cdot f'(x)$ , כאשר $f'(x)$ היא הנגזרת של $f(x)$ . הפונקציות מוגדרות בתחום $x\neq0$ . נתון כי…
שטחים ובעיות הצטברות עם פונקציות מעריכיות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הפונקציות $f(x)=e^{2x}+1$ ו- $g(x)=6e^x-7$ , המוגדרות לכל $x$ .
שטח בין $e^{x}$ , $a - 2 e^{x}$ והצירים וחלוקתו לשני חלקים שווים (שאלת ביניים · קשה)
נתונות הפונקציות $f(x)=e^x$ ו- $g(x)=a-2e^x$ , כאשר $a>3$ הוא פרמטר. גרף הפונקציה $g(x)$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה…
פונקציה מעריכית ופונקציית ההופכי שלה: חקירה, שטח ופונקציה צוברת (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{3e^x}{e^x-4}$ .
שטחים ובעיות הצטברות עם פונקציות מעריכיות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הפונקציות $f(x)=\frac{2e^x}{e^x-9}$ ו- $g(x)=\frac{1}{f(x)}$ , באותו תחום הגדרה.
פונקציה מעריכית מנגזרתה: פעמון הפוך וגרפים של 1/f' ושל e^h (שאלה מלאה · בינונית)
$f(x)$ היא פונקציה המוגדרת לכל $x$ , ו- $f'(x)$ היא פונקציית הנגזרת שלה, המוגדרת גם היא לכל $x$ . נתון: $f'(x)=4x\cdot e^{-\frac{x^2}{a}}$ , $a$ …
שתי פונקציות מעריכיות עם מכנה משותף: חקירה, זיהוי גרפים ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{2e^{2x}}{e^{2x}-7e^x+6}$ .
פונקציה מעריכית עם פרמטר והפונקציה 1/f (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^x-b}{(e^x-2)^2}$ , $b$ הוא פרמטר חיובי, $b\neq2$ .
פונקציה ונגזרתה: $f = g^{'}$ , חקירה, שטח ואינטגרל (שאלה מלאה · בינונית)
נתונות הפונקציות: $f(x)=\frac{a-x^2}{e^x}$ , $g(x)=\frac{x^2+2x-7}{e^x}$ המוגדרות לכל $x$ . $a$ הוא פרמטר.
שטחים ובעיות הצטברות עם פונקציות מעריכיות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הפונקציות: $f(x)=\frac{2x-x^2}{e^x}$ ו- $F(x)=\frac{x^2}{e^x}$ .
חקירת פונקציה מעריכית ושטח עם פרמטר (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=e^x-\frac{4}{1-e^x}$ . הפונקציה $f(x)$ מוגדרת לכל $x\neq0$ .
חקירת $e^{2 x} + \frac{4 e ^{x}}{e ^{x} - 1}$ , פונקציה קדומה דרך נגזרת נתונה ושטח עם פרמטר (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=e^{2x}+\frac{4e^x}{e^x-1}$ . הפונקציה $f(x)$ מוגדרת לכל $x\neq0$ .
הפונקציה g=e^f·f': סימן, אסימפטוטות, קיצון ושטח עם פרמטר (שאלה מלאה · בינונית)
$f'(x)$ היא פונקציית הנגזרת של הפונקציה $f(x)$ . $g(x)$ היא פונקציה המקיימת $g(x)=e^{f(x)}\cdot f'(x)$ . הפונקציות $f(x)$ , $f'(x)$ ו- $g(x)$ …
הפונקציה $g = e^{f} \cdot f^{'}$ עבור $f = - \frac{6}{x ^{2}}$ : סימן, אסימפטוטות, קיצון ושטח עם פרמטר (שאלה מלאה · בינונית)
$f'(x)$ היא פונקציית הנגזרת של הפונקציה $f(x)$ . $g(x)$ היא פונקציה המקיימת $g(x)=e^{f(x)}\cdot f'(x)$ . הפונקציות $f(x)$ , $f'(x)$ ו- $g(x)$ …
שטח בין שני גרפים מעריכיים שאינו תלוי בפרמטר (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הפונקציות $f(x)=(e^x-1)^2-a$ ו- $g(x)=2e^x-2-a$ , המוגדרות לכל $x$ . $a>1$ הוא פרמטר.
כמות זהב שהופקה ממכרה לפי קצב הפקה דועך (שאלת ביניים · בינונית)
קצב ההפקה של זהב ממכרה (בקילוגרמים לשנה), $t$ שנים אחרי פתיחתו, הוא $r(t)=400e^{-0.2t}$ . נסמן ב- $Q(T)$ את כמות הזהב (בקילוגרמים) שהופקה…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

חקירת פונקציה לוגריתמית, גרף הנגזרת ו-e בחזקת הפונקציה · בגרות 572 קיץ 2022 מועד א', שאלה 5
נתונה הפונקציה: $f(x)=x+\ln(x^2-15)$ .
חקירת $x^{2} e^{a - x^{3}}$ : פרמטר משטח מתחת לגרף הנגזרת, ופונקציה קדומה ונקודות הפיתול שלה · בגרות 572 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 4
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^2e^{a-x^3}$ המוגדרת לכל $x$ , $a$ הוא פרמטר.
פונקציה מעריכית עם חזקה n: אסימפטוטות, קיצון, שטח וערך מוחלט · בגרות 572 קיץ 2023 מועד א', שאלה 4
נתונה הפונקציה $f(x)=(e^x-1)^n-4$ , המוגדרת לכל $x$ . $n$ הוא מספר טבעי גדול או שווה ל-2.
פונקציה מעריכית ופונקציית ההופכי שלה: חקירה, שטח ופונקציה צוברת · בגרות 572 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 5
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^x}{e^x-6}$ .
פונקציה מעריכית מנגזרתה: פרמטר מנקודת פיתול, חקירה וגרפים של 1/f' ושל e^h · בגרות 572 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 4
$f(x)$ היא פונקציה המוגדרת לכל $x$ , ו- $f'(x)$ היא פונקציית הנגזרת שלה, המוגדרת גם היא לכל $x$ . נתון: $f'(x)=-2x\cdot e^{-\frac{x^2}{a}}$ , $a$ הוא פרמטר.…
שתי פונקציות מעריכיות עם מכנה משותף: חקירה, זיהוי גרפים ושטח · בגרות 572 חורף 2023, שאלה 4
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{2e^{2x}}{e^{2x}-5e^x+4}$ .
פונקציה מעריכית עם פרמטר והפונקציה 1/f · בגרות 572 קיץ 2024 מועד א', שאלה 4
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^x-b}{(e^x-4)^2}$ , $b$ הוא פרמטר חיובי, $b\neq4$ .
פונקציה ונגזרתה: $f = g^{'}$ , חקירה, שטח ואינטגרל בעזרת פונקציה קדומה · בגרות 572 חורף 2024, שאלה 4
נתונות הפונקציות: $f(x)=\frac{a-x^2}{e^x}$ , $g(x)=\frac{(x+1)^2}{e^x}$ המוגדרות לכל $x$ . $a$ הוא פרמטר.
חקירת פונקציה מעריכית, פונקציה קדומה דרך נגזרת נתונה ושטח עם פרמטר · בגרות 572 חורף 2025, שאלה 4
נתונה הפונקציה: $f(x)=e^x-\frac{1}{1-e^x}$ . הפונקציה $f(x)$ מוגדרת לכל $x\neq0$ .
הפונקציה g=e^f·f': סימן, אסימפטוטות, קיצון ושטח עם פרמטר · בגרות 572 חורף 2026, שאלה 4
$f'(x)$ הוא פונקציית הנגזרת של הפונקציה $f(x)$ . $g(x)$ היא פונקציה המקיימת $g(x)=e^{f(x)}\cdot f'(x)$ . הפונקציות $f(x)$ , $f'(x)$ ו- $g(x)$ מוגדרות בתחום…

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (74)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

פונקציה מעריכית עם פרמטר: חקירה, הזזה ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^{2x}-ae^x-3$ , $a$ הוא פרמטר.
פונקציה מעריכית עם פרמטר: חקירה, הזזה ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^{2x}-ae^x-5$ , $a$ הוא פרמטר.
פונקציה מעריכית עם פרמטר: שטח נתון ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^{2x}-ae^x$ , כאשר $a>0$ הוא פרמטר.
חקירת מנה של $x^{2}$ ב- $e^{x}$ , שיקוף ומתיחה ושטח בין הגרפים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2}{e^x}$ .
חקירת מנה של $x^{2}$ ב- $e^{2 x}$ , שיקוף ומתיחה ושטח בין הגרפים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2}{e^{2x}}$ .
חקירת $\frac{x}{e ^{x}}$ , שיקוף ושטח בין הגרפים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac x{e^x}$ .
חקירת $\frac{x ^{2}}{e ^{x /2}}$ : מספר פתרונות ופרמטר מתוך שטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2}{e^{\frac x2}}$ .
גרף הנגזרת ופונקציה מעריכית עם מכנה: חקירה ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
הפונקציות $f(x)$ ו- $f'(x)$ מוגדרות בתחום $x\neq-2$ . לפניכם סרטוט של גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . גרף פונקציית…
גרף הנגזרת ופונקציה מעריכית עם מכנה: מקסימום ושטח (שאלה מלאה · קלה)
הפונקציות $f(x)$ ו- $f'(x)$ מוגדרות בתחום $x\neq3$ . לפניכם סרטוט של גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . גרף פונקציית…
פונקציה מעריכית עם מכנה: חקירה ושטח מתחת לנגזרת (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{2x}}{x+1}$ , המוגדרת בתחום $x\neq-1$ . לפניכם סרטוט של גרף פונקציית הנגזרת…
גרף הנגזרת ופונקציה מעריכית עם פרמטר: מספר פתרונות (שאלה מלאה · קלה)
הפונקציות $f(x)$ ו- $f'(x)$ מוגדרות בתחום $x\neq-b$ , כאשר $b>0.5$ פרמטר. לפניכם סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת…
חקירת פונקציה מעריכית עם פרמטר: חיתוכים, קיצון ושטחים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{8}{e^x}+\frac{e^x}{2}+c$ , $c$ הוא פרמטר.
חקירת פונקציה מעריכית עם פרמטר: חיתוכים, קיצון ושטחים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{9}{e^x}+\frac{e^x}{4}+c$ , $c$ הוא פרמטר.
פונקציה מעריכית עם פרמטר: מספר חיתוכים, בעיה הפוכה ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{4}{e^x}+e^x+c$ , $c$ הוא פרמטר.
חקירת פונקציה מעריכית, זיהוי גרף הנגזרת ושטח מתחת לגרף הנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=(2x^2-15x+27)\cdot e^{5-x}$ . גרף I: גרף II: גרף III:
חקירת פונקציה מעריכית וזיהוי גרף הנגזרת (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=(2x^2-13x+20)\cdot e^{4-x}$ . גרף I: גרף II: גרף III:
חקירת פונקציה מעריכית וגרף הנגזרת (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(2x^2-7x+5)\cdot e^{2-x}$ , המוגדרת לכל $x$ . גרף I: גרף II: גרף III:
פונקציה מעריכית עם פרמטר: מספר פתרונות ושטח לא חסום (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(2x^2+ax+27)\cdot e^{5-x}$ , המוגדרת לכל $x$ . $a$ הוא פרמטר. נתון כי לפונקציה יש נקודת…
גרף פונקציה וגרף נגזרת: זיהוי, חקירה ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתוארים שני גרפים: I, II. אחד מהם הוא גרף הפונקציה $f(x)$ , והאחר הוא גרף פונקציית הנגזרת…
גרף פונקציה וגרף נגזרת: זיהוי, חקירה ושטח (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מתוארים שני גרפים: I, II. אחד מהם הוא גרף הפונקציה $f(x)$ , והאחר הוא גרף פונקציית הנגזרת…
פונקציה מעריכית ונגזרתה: זיהוי ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x-2)\cdot e^x$ .
פונקציה ונגזרתה עם פרמטר: מי מעל מי ושטחים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x-a)\cdot e^x$ , כאשר $a>1$ פרמטר. בסרטוט שלפניכם מתוארים שני גרפים: I, II. אחד מהם הוא…
פונקציה מעריכית וגרף הנגזרת: קיצון ושטחים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מוצגים הגרפים I ו-II. אחד מן הגרפים הוא הגרף של פונקציה $f(x)$ , והאחר הוא הגרף של פונקציית…
פונקציה מעריכית וגרף הנגזרת: קיצון ושטחים (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מוצגים הגרפים I ו-II. אחד מן הגרפים הוא הגרף של פונקציה $f(x)$ , והאחר הוא הגרף של פונקציית…
פונקציה מעריכית: נגזרת, קיצון ושטח מתחת לגרף הנגזרת (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x-2)^2\cdot e^{x}$ . בסרטוט שלפניכם מוצגים הגרפים I ו-II. אחד מהם הוא הגרף של $f(x)$ ,…
פונקציה מעריכית עם פרמטר: שטח בין הנגזרת לשיקופה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x-a)^2\cdot e^{x-3}$ , ו- $a$ הוא פרמטר. בסרטוט שלפניכם מוצגים הגרפים I ו-II עבור ערך…
חקירת פונקציה מעריכית שהיא מנה, וגרף הנגזרת שלה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^{2x}}{e^x-4}$ .
חקירת פונקציה מעריכית שהיא מנה, וגרף הנגזרת שלה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^{3x}}{e^x-2}$ .
פונקציה מעריכית וגרף הנגזרת שלה: שטח מתחת לנגזרת (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=e^{2x}-4e^x$ .
פונקציה מעריכית עם פרמטר: שטח מתחת לנגזרת ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^{2x}}{e^x-a}$ , כאשר $a$ הוא פרמטר חיובי.
פונקציה מעריכית: גרף הנגזרת, חקירה, חיתוך עם פונקציה נוספת ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . לפונקציה $f(x)$ יש נקודת מקסימום אחת בלבד ושיעור…
פונקציה מעריכית: גרף הנגזרת, חקירה, חיתוך עם פונקציה נוספת ושטח (שאלה מלאה · קלה)
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . לפונקציה $f(x)$ יש נקודת מקסימום אחת בלבד ושיעור…
פונקציה מעריכית: חקירה, חיתוך ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x^2-8)\cdot e^{-x+1}$ המוגדרת לכל $x$ .
חקירת מכפלה של פונקציה קווית ומעריכית, ושטח מתחת לגרף (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=(a-4x)\cdot e^{2x-1}$ , המוגדרת לכל $x$ . $a$ הוא פרמטר. נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה…
חקירת מכפלה של פונקציה קווית ומעריכית, ושטח מתחת לגרף (מעריך 3x-2) (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(a-6x)\cdot e^{3x-2}$ , המוגדרת לכל $x$ . $a$ הוא פרמטר. נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה…
חקירת מכפלה של פונקציה קווית ומעריכית (בלי פרמטר) (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(6-2x)\cdot e^{x-1}$ , המוגדרת לכל $x$ .
חקירה עם פרמטר: מקום נקודות הקיצון ופרמטר משטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(a-2x)\cdot e^{2x}$ , המוגדרת לכל $x$ . $a$ הוא פרמטר, $a>2$ .
חקירת פונקציה מעריכית: גרף הנגזרת ושטח מתחתיו (שאלה מלאה · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . לפונקציה $f(x)$ יש רק נקודת מינימום אחת ושתי…
חקירת פונקציה מעריכית: גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · קלה)
הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרות לכל $x$ . לפונקציה $f(x)$ יש רק נקודת מינימום אחת ושתי…
חקירת פונקציה מעריכית: מהנגזרת לגרף ולשטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{8x^2}{e^{x^2}}$ , המוגדרת לכל $x$ . לפניכם שני גרפים, I-II. אחד מן הגרפים מתאר את…
חקירת פונקציה מעריכית עם פרמטר: גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2}{e^{ax^2}}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי. לפניכם שני גרפים, I-II. אחד מן הגרפים מתאר את…
מציאת פונקציה לפי נגזרתה ונקודה על הגרף (שאלה קצרה · קלה)
בשמורה חיות שתי אוכלוסיות. ברגע $t=0$ מנתה אוכלוסייה א' $100$ פרטים ואוכלוסייה ב' $600$ פרטים. קצב הגידול של…
אינטגרל של פונקציית הנגזרת: שטח מתחת לגרף f'(x) (שאלה קצרה · קלה)
תרופה נספגת בגוף בקצב של $r(t)=k\cdot e^{-0.5t}$ מיליגרם לשעה, כאשר $t$ הוא הזמן בשעות מנטילת התרופה ו- $k$ …
אינטגרל מסוים של פונקציה מעריכית (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^x$ . הישר $y=e$ חותך את גרף הפונקציה בנקודה $A$ .
חישובי שטחים עם פונקציה מעריכית (שאלה קצרה · קלה)
נתונות הפונקציות $f(x)=e^{x}-1$ ו- $g(x)=1-e^{-x}$ .
מציאת פרמטר מתוך שטח נתון (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^{x}-a$ , כאשר $a>1$ הוא פרמטר.
אינטגרל של פונקציית הנגזרת: שטח מתחת לגרף f'(x) (שאלה קצרה · קלה)
שני מכלים ריקים מתחילים להתמלא במים באותו רגע. קצב הכניסה של המים למכל א' הוא $20e^{-0.1t}$ ליטרים לדקה, וקצב…
חישובי שטחים עם פונקציה מעריכית (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(4x+4)\cdot e^{2x}$ . הפונקציה $F(x)=(2x+b)\cdot e^{2x}$ היא פונקציה קדומה של $f(x)$ , כאשר…
חישובי שטחים עם פונקציה מעריכית (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{(e^{x}-2)^{2}}{e^{x}}$ , המוגדרת לכל $x$ .
מציאת פרמטר מתוך שטח נתון (שאלה קצרה · קלה)
נתונות הפונקציות $f(x)=e^{2x}$ ו- $g(x)=e^{x}$ . $t$ הוא מספר חיובי. נסמן ב- $S_{1}$ את השטח המוגבל על ידי גרף…
חישובי שטחים עם פונקציה מעריכית (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^{2x}-4e^{x}$ . מעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודת המינימום שלה. בשרטוט מסומן השטח המוגבל…
חישובי שטחים עם פונקציה מעריכית (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=e^{x}$ . הנקודות $A$ ו- $B$ נמצאות על גרף הפונקציה. שיעור ה- $x$ של הנקודה $A$ הוא $0$ ,…
מציאת פרמטר מתוך שטח נתון (שאלה קצרה · קלה)
נתונות הפונקציות $f(x)=e^{x}$ ו- $g(x)=e^{2a-x}$ , כאשר $a>0$ הוא פרמטר.
מציאת פרמטר מתוך שטח נתון (שאלה קצרה · קלה)
נתונות הפונקציות $f(x)=e^{2x}$ ו- $g(x)=ke^{x}$ , כאשר $k>1$ הוא פרמטר. בשרטוט מקווקו השטח המוגבל על ידי שני…
מציאת פרמטר מתוך שטח נתון (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=ae^{x}+1$ , כאשר $a>0$ פרמטר. השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, על ידי ציר ה- $x$ , על ידי…
אינטגרל של פונקציית הנגזרת: שטח מתחת לגרף f'(x) (שאלה קצרה · קלה)
מים נכנסים למאגר בקצב של $100e^{-0.5t}$ מ"ק לשעה, ובמקביל נשאבים ממנו מים בקצב קבוע של $20$ מ"ק לשעה. $t$ הוא…
אינטגרל של פונקציית הנגזרת: שטח מתחת לגרף f'(x) (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x^2-3)e^x$ . בשרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ .
אינטגרל של פונקציית הנגזרת: שטח מתחת לגרף f'(x) (שאלה קצרה · קלה)
אוכלוסיית חיידקים גדלה כך שקצב הגידול שלה (בחיידקים לשעה) כעבור $t$ שעות הוא $P'(t)=500e^{0.5t}$ . ברגע $t=0$ …
אינטגרל של eˣ ושל e^ax+b (שאלה קצרה · קלה)
נתון כי הפונקציה $F(x)=\left(e^x+a\right)^2$ היא פונקציה קדומה של הפונקציה $f(x)=2e^{2x}-6e^x$ . $a$ הוא פרמטר.
חישובי שטחים עם פונקציה מעריכית (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $g(x)=e^{2x}-5e^x$ .

ועוד 14 שאלות במחולל המבחנים.