מבחן לדוגמה: הערכה והשוואה של אינטגרלים בלי לחשב אותם - כיתה י"ב 5 יח"ל

קבעו אם הערך של $\int_0^3 f(x)\,dx$ גדול או קטן מ-6, והראו שהוא גדול מ-4.5.

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)$ ואת משוואת האסימפטוטה האופקית שלה.

הראו כי $f'(x)=2e^x\left(e^x-2\right)$, מצאו את נקודת הקיצון של $f(x)$ וקבעו את סוגה, והסבירו מדוע גרף $f(x)$ משיק לציר ה-$x$.

הראו כי $f(x)<4$ לכל $x<\ln2$, והסבירו מדוע $\int_{-2}^{-1}\ln\left(f(x)\right)dx<\ln4$.

הראו, בלי לחשב את האינטגרל, כי $-4<I<1$.

הראו, בלי לחשב את האינטגרל, כי $\frac12<I<1$.

נתונה הפונקציה $h(u)=e^{u}-1-u$, המוגדרת לכל $u$. הראו כי $h(u)\ge0$ לכל $u$, וכי $h(u)=0$ רק כאשר $u=0$.

הסיקו כי לכל $x\neq0$ מתקיים $1-x^{2}<e^{-x^{2}}<1$.

הראו כי $\frac23<I<\frac{1+e^{-0.25}}{2}$. (הדרכה לחסם העליון: חלקו את הקטע $[0,1]$ לשני חצאים, והיעזרו בכך שהפונקציה $e^{-x^{2}}$ יורדת בקטע.)

בעבור $a>0$ ובעבור $a<0$: מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)$, את משוואות האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים, ואת תחומי העלייה והירידה.

מצאו, בעבור $a>0$ ובעבור $a<0$, את כל ערכי $m$ שבעבורם למשוואה $f(x)=m$ אין פתרון.

הביעו באמצעות $a$ את תחום ההגדרה של $g(x)$ ואת משוואות האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים.

לפניכם טענה: לכל $a>0$ מתקיים $\int_{\ln a-3}^{\ln a-2}g(x)\,dx>\int_{\ln a+1}^{\ln a+3}g(x)\,dx$. האם הטענה נכונה? נמקו את תשובתכם.