שאלות פתוחות: הערכה והשוואה של אינטגרלים בלי לחשב אותם - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על הערכה והשוואה של אינטגרלים בלי לחשב אותם, לכיתה י"ב, 5 יחידות. השאלות מבקשות לחסום אינטגרל של e^(x²) מלמעלה ומלמטה, להשוות שטח מתחת לגרף לשטח מתחת למיתר, לקבוע סימן של אינטגרל לפי מיקום הגרף, ולהשתמש בתכונות הפונקציה כדי להעריך אינטגרל של הפרש פונקציות. רוב השאלות ברמה בינונית, ויש גם קלות וקשות. אלה שאלות חשיבה טובות למבחן או לדף עבודה, וכל אחת מגיעה עם פתרון מלא וייצוא לוורד.

31 שאלותקלה: 4בינונית: 23קשה: 4

שאלה 1 · פונקציה מעריכית ו- $\frac{1}{f} + 1$ : חקירה מודרכתשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=e2x−4ex−55f(x)=\frac{e^{2x}-4e^x-5}{5}f(x)=5e2x−4ex−5​.

א.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x) ואת משוואת האסימפטוטה האופקית שלה.

(2)

הראו כי f(x)=(ex−5)(ex+1)5f(x)=\frac{(e^x-5)(e^x+1)}{5}f(x)=5(ex−5)(ex+1)​, ומצאו את נקודות החיתוך של גרף f(x)f(x)f(x) עם הצירים.

(3)

מצאו את נקודת הקיצון של f(x)f(x)f(x) וקבעו את סוגה.

ב.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ג.

נתונה הפונקציה: g(x)=1f(x)+1g(x)=\frac{1}{f(x)}+1g(x)=f(x)1​+1.

מצאו את תחום ההגדרה של g(x)g(x)g(x) ואת משוואות האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים.

ד.

הראו כי g(x)=0g(x)=0g(x)=0 רק עבור x=ln⁡4x=\ln4x=ln4. נתון שנקודת הקיצון של g(x)g(x)g(x) היא נקודת מקסימום (ln⁡2,49)\left(\ln2,\frac49\right)(ln2,94​). סרטטו סקיצה של גרף g(x)g(x)g(x).

ה.

נתון פרמטר ttt בתחום 0<t<ln⁡50<t<\ln50<t<ln5.

הסבירו מדוע ערך הביטוי ∫0tg(x) dx\int_0^t g(x)\,dx∫0t​g(x)dx הוא מקסימלי כאשר t=ln⁡4t=\ln4t=ln4. (היעזרו בכך שהנגזרת של הביטוי לפי ttt היא g(t)g(t)g(t).)

שאלה 2 · הערכה והשוואה של אינטגרלים בלי לחשב אותםשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x⋅e1−xf(x)=x\cdot e^{1-x}f(x)=x⋅e1−x. בסרטוט שלפניכם מוצגים הגרף של fff והמיתר המחבר את שתי הנקודות שעל הגרף שבהן x=0x=0x=0 ו-x=1x=1x=1.
נסמן I=∫01f(x) dxI=\int_{0}^{1}f(x)\,dxI=∫01​f(x)dx.

הראו, בלי לחשב את האינטגרל, כי 12<I<1\frac12<I<121​<I<1.

שאלה 3 · הערכה והשוואה של אינטגרלים בלי לחשב אותםשאלה קצרה · קשה

נתון כי ∫01ex2 dx=A\int_{0}^{1}e^{x^2}\,dx=A∫01​ex2dx=A.

הביעו באמצעות AAA את האינטגרל ∫02ex2−2x dx\int_{0}^{2}e^{x^2-2x}\,dx∫02​ex2−2xdx.

שאלה 4 · פונקציה מעריכית שמשיקה לציר ה- $x$ : גרף של $ln f$ וחסם לאינטגרלשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=e2x−4ex+4f(x)=e^{2x}-4e^{x}+4f(x)=e2x−4ex+4.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x) ואת משוואת האסימפטוטה האופקית שלה.

ב.

הראו כי f′(x)=2ex(ex−2)f'(x)=2e^x\left(e^x-2\right)f′(x)=2ex(ex−2), מצאו את נקודת הקיצון של f(x)f(x)f(x) וקבעו את סוגה, והסבירו מדוע גרף f(x)f(x)f(x) משיק לציר ה-xxx.

ג.

(1)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

(2)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה ln⁡(f(x))\ln\left(f(x)\right)ln(f(x)) ואת נקודות החיתוך של גרפה עם ציר ה-xxx, וסרטטו סקיצה של גרף ln⁡(f(x))\ln\left(f(x)\right)ln(f(x)).

ד.

הראו כי f(x)<4f(x)<4f(x)<4 לכל x<ln⁡2x<\ln2x<ln2, והסבירו מדוע ∫−2−1ln⁡(f(x))dx<ln⁡4\int_{-2}^{-1}\ln\left(f(x)\right)dx<\ln4∫−2−1​ln(f(x))dx<ln4.

שאלה 5 · הערכה והשוואה של אינטגרלים בלי לחשב אותםשאלה קצרה · בינונית

נתונות הפונקציות f(x)=3exex+1f(x)=\dfrac{3e^x}{e^x+1}f(x)=ex+13ex​ ו-g(x)=2ex+1g(x)=\dfrac{2}{e^x+1}g(x)=ex+12​.
נסמן I=∫−20(f(x)−g(x))dxI=\int_{-2}^{0}\left(f(x)-g(x)\right)dxI=∫−20​(f(x)−g(x))dx.

הראו, בלי לחשב את האינטגרל, כי −4<I<1-4<I<1−4<I<1.

שאלה 6 · פונקציה מעריכית עם פרמטר: קיצון ומספר נקודות חיתוך עם 1/fשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=ex−b(ex−4)2f(x)=\frac{e^x-b}{(e^x-4)^2}f(x)=(ex−4)2ex−b​, bbb הוא פרמטר חיובי, b≠4b\neq4b=4. נתונה גם הפונקציה g(x)=1f(x)g(x)=\frac1{f(x)}g(x)=f(x)1​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x) ואת האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים (הביעו באמצעות bbb אם יש צורך).

ב.

מצאו את כל ערכי bbb שבעבורם לפונקציה f(x)f(x)f(x) יש נקודת קיצון. הביעו את שיעורי נקודת הקיצון באמצעות bbb, וקבעו את סוגה בהתאם לערכי bbb.

ג.

מצאו את כל ערכי bbb שבעבורם לגרפים של f(x)f(x)f(x) ושל g(x)g(x)g(x) יש נקודת חיתוך אחת בלבד.

ד.

הציבו b=16b=16b=16.

קבעו אם הערך של ∫−2−1(f(x)−g(x)) dx\int_{-2}^{-1}(f(x)-g(x))\,dx∫−2−1​(f(x)−g(x))dx חיובי או שלילי. נמקו.

שאלה 7 · פונקציה מעריכית: אסימפטוטות, נקודה חסרה וחסם לאינטגרלשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=exex−4f(x)=\frac{e^x}{e^x-4}f(x)=ex−4ex​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x) ואת משוואות האסימפטוטות של f(x)f(x)f(x) המאונכות לצירים.

ב.

הראו כי f′(x)=−4ex(ex−4)2f'(x)=-\frac{4e^x}{(e^x-4)^2}f′(x)=−(ex−4)24ex​, וקבעו את תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x)f(x).

ג.

נתונה הפונקציה g(x)=1f(x)−2g(x)=\frac{1}{f(x)-2}g(x)=f(x)−21​.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של g(x)g(x)g(x).

(2)

מצאו את משוואות האסימפטוטות של g(x)g(x)g(x) המאונכות לצירים. האם יש ל-g(x)g(x)g(x) אסימפטוטה ב-x=ln⁡4x=\ln4x=ln4? נמקו.

ד.

הראו כי לכל x>ln⁡8x>\ln8x>ln8 מתקיים g(x)<−1g(x)<-1g(x)<−1, והסיקו כי ∫35g(x) dx<−2\int_{3}^{5}g(x)\,dx<-2∫35​g(x)dx<−2.

שאלה 8 · הערכה והשוואה של אינטגרלים בלי לחשב אותםשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x⋅e−xf(x)=x\cdot e^{-x}f(x)=x⋅e−x.

א.

מצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה fff וקבעו את סוגה.

ב.

נסמן I=∫02f(x) dxI=\int_{0}^{2}f(x)\,dxI=∫02​f(x)dx. הראו, בלי לחשב את האינטגרל, כי 2e2<I<2e\dfrac{2}{e^2}<I<\dfrac{2}{e}e22​<I<e2​.

שאלה 9 · פונקציה מעריכית עם פרמטר: טווח, נקודה חסרה ואינטגרלים לכל aשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=aex−af(x)=\frac{a}{e^x-a}f(x)=ex−aa​, aaa הוא פרמטר שונה מ-0.

א.

בעבור a>0a>0a>0 ובעבור a<0a<0a<0: מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x), את משוואות האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים, ואת תחומי העלייה והירידה.

ב.

מצאו, בעבור a>0a>0a>0 ובעבור a<0a<0a<0, את כל ערכי mmm שבעבורם למשוואה f(x)=mf(x)=mf(x)=m אין פתרון.

בסעיפים ג-ד a>0a>0a>0. נתונה הפונקציה g(x)=1f(x)+2g(x)=\frac{1}{f(x)+2}g(x)=f(x)+21​.

ג.

הביעו באמצעות aaa את תחום ההגדרה של g(x)g(x)g(x) ואת משוואות האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים.

ד.

לפניכם טענה: לכל a>0a>0a>0 מתקיים ∫ln⁡a−3ln⁡a−2g(x) dx>∫ln⁡a+1ln⁡a+3g(x) dx\int_{\ln a-3}^{\ln a-2}g(x)\,dx>\int_{\ln a+1}^{\ln a+3}g(x)\,dx∫lna−3lna−2​g(x)dx>∫lna+1lna+3​g(x)dx. האם הטענה נכונה? נמקו את תשובתכם.

שאלה 10 · חסימת אינטגרל של פונקציה עולה בין שני מלבניםשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=2ex+1ex+1f(x)=\frac{2e^x+1}{e^x+1}f(x)=ex+12ex+1​. ידוע כי f(x)f(x)f(x) עולה לכל xxx, וכי האסימפטוטות שלה המקבילות לציר ה-xxx הן y=1y=1y=1 (כאשר x→−∞x\to-\inftyx→−∞) ו-y=2y=2y=2 (כאשר x→∞x\to\inftyx→∞).

קבעו אם הערך של ∫03f(x) dx\int_0^3 f(x)\,dx∫03​f(x)dx גדול או קטן מ-6, והראו שהוא גדול מ-4.5.

עוד 12 שאלות על הערכה והשוואה של אינטגרלים בלי לחשב אותם

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

פונקציה מעריכית עם פרמטר, הפונקציה $\frac{1}{f} + \frac{1}{2}$ ומקסימום של אינטגרל (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^{2x}-4e^x+m}{6}$ . $m$ הוא פרמטר. ידוע כי הישר $y=-2$ הוא אסימפטוטה של הפונקציה $f(x)$ .
חסמים לאינטגרל של $e^{- x^{2}}$ בעזרת אי-השוויון $e^{u} \geq 1 + u$ (שאלת ביניים · קשה)
נסמן $I=\int_{0}^{1}e^{-x^{2}}\,dx$ . לפונקציה $e^{-x^{2}}$ לא נמצא פונקציה קדומה, ולכן נחסום את $I$ בדרכים אחרות.
הערכה והשוואה של אינטגרלים בלי לחשב אותם (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $g(x)=(e^x-1)(5-e^x)$ . נתון פרמטר $t$ בתחום $0<t<3$ .
פונקציה מעריכית עם פרמטר: קיצון, השקה לציר ה- $x$ , גרף של $ln f$ וחסם לאינטגרל (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=8^{-x}-12\cdot2^{-x}+m$ , $m$ הוא פרמטר.
הערכה והשוואה של אינטגרלים בלי לחשב אותם (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $h(x)=\ln\left(4-3^{-x}\right)$ בתחום $x\ge0$ .
פונקציה מעריכית עם פרמטר והפונקציה 1/f (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^x-b}{(e^x-2)^2}$ , $b$ הוא פרמטר חיובי, $b\neq2$ .
הערכה והשוואה של אינטגרלים בלי לחשב אותם (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{2e^x+1}{e^x+1}$ .
פונקציה מעריכית עם פרמטר: זיהוי גרפים, נקודה חסרה והשוואת אינטגרלים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^x}{e^x+a}$ , $a$ הוא פרמטר שונה מ-0. בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים I-IV: גרף I: גרף II: גרף III: גרף IV:
הערכה והשוואה של אינטגרלים בלי לחשב אותם (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{e^x+1}{e^x+3}$ .
$\frac{e ^{x}}{e ^{2 x} - a}$ לפי סימן הפרמטר: זיהוי גרפים, נקודה חסרה והשוואת אינטגרלים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^x}{e^{2x}-a}$ , $a$ הוא פרמטר שונה מ-0. בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים I-IV: גרף I: גרף II: גרף III: גרף IV:
הגבול העליון שבעבורו אינטגרל הוא מקסימלי, לפי סימן האינטגרנד (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $g(x)=(e^x-1)(5-e^x)$ . נתון פרמטר $t$ בתחום $0<t<3$ .
סימטריה של $\frac{4}{e ^{x} + 1}$ וחישוב אינטגרלים בלי פונקציה קדומה (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{4}{e^{x}+1}$ , המוגדרת לכל $x$ . $f(x)>0$ לכל $x$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

פונקציה מעריכית עם פרמטר, הפונקציה $\frac{1}{f} + 1$ ומקסימום של אינטגרל · בגרות 572 חורף 2022, שאלה 4
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^{2x}-3e^x+m}{4}$ . $m$ הוא פרמטר. ידוע כי הישר $y=-1$ הוא אסימפטוטה של הפונקציה $f(x)$ .
פונקציה מעריכית עם פרמטר: קיצון, השקה לציר ה- $x$ , גרף של $ln f$ וחסם לאינטגרל · בגרות 572 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 5
נתונה הפונקציה: $f(x)=9^{-x}-6\cdot3^{-x}+m$ , $m$ הוא פרמטר.
פונקציה מעריכית עם פרמטר והפונקציה 1/f · בגרות 572 קיץ 2024 מועד א', שאלה 4
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{e^x-b}{(e^x-4)^2}$ , $b$ הוא פרמטר חיובי, $b\neq4$ .
פונקציה מעריכית עם פרמטר: זיהוי גרפים, נקודה חסרה והשוואת אינטגרלים · בגרות 572 קיץ 2025 מועד א', שאלה 4
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{e^x}{a-e^x}$ , $a$ הוא פרמטר שונה מ-0. בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים I-IV: גרף I: גרף II: גרף III: גרף IV:

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (5)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

פונקציית ההצטברות: הגדרה, תכונות והסימון ∫ (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם: גרף של פונקציה זוגית $g(x)$ בתחום $-2\le x\le2$ והישר $y=1$ . בתחום זה $0\le g(x)\le1$ . קבעו…
פונקציית ההצטברות: הגדרה, תכונות והסימון ∫ (שאלה קצרה · בינונית)
לפניכם גרף של פונקציה $f(x)$ המוגדרת עבור $x>0$ . הישרים $x=0$ ו- $y=3$ הם אסימפטוטות של $f(x)$ . הפונקציה עולה…
פונקציית ההצטברות: הגדרה, תכונות והסימון ∫ (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $k(x)=\sqrt{x^2+7}$ .
שטח בין גרף לציר x כשהפונקציה חיובית (שאלה קצרה · בינונית)
ידוע כי הפונקציה $h(x)=\sqrt{\sin x}$ קעורה כלפי מטה בתחום $0\le x\le\pi$ .
פונקציית ההצטברות: הגדרה, תכונות והסימון ∫ (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{4x}{x^2+4}$ .