מבחן לדוגמה: ישרים מצטלבים ומתלכדים - כיתה י"ב 5 יח"ל

נתון הישר $\ell_1:\ \underline{x}=(1,0,2)+t(3,-2,1)$ והישר $\ell_2$ העובר דרך הנקודות $A(4,-2,3)$ ו-$B(7,-4,4)$.

נתונים שני הישרים $\ell_1:\ \underline{x}=(1,2,k)+t(a,2,-4)$ ו-$\ell_2:\ \underline{x}=(m,0,5)+s(-1,-1,2)$, כאשר $a$, $k$ ו-$m$ פרמטרים. ידוע כי שני הישרים מתלכדים.

נתון הישר $\ell:\ \underline{x}=(1,2,3)+t(2,-1,3)$ והנקודות $P(5,0,b)$ ו-$Q(-3,c,-3)$, כאשר $b$ ו-$c$ פרמטרים.

בפירמידה $ABCD$, המקצוע $DC$ מאונך למישור $ABC$. הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $AD$. הנקודה $F$ מקיימת: $\overrightarrow{DF}=k\cdot\overrightarrow{DB}+k\cdot\overrightarrow{DC}$, $k$ הוא פרמטר. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$, $\overrightarrow{AC}=\underline v$, $\overrightarrow{CD}=\underline w$. נתון: $\overrightarrow{EF}=k\underline u+\left(\frac12-k\right)\underline v+\left(\frac12-2k\right)\underline w$.

נתונה קובייה שקודקודיה $A(0,0,0)$, $B(3,0,0)$, $C(3,3,0)$, $D(0,3,0)$, $A'(0,0,3)$, $B'(3,0,3)$, $C'(3,3,3)$ ו-$D'(0,3,3)$. הנקודה $M(2,0,0)$ נמצאת על המקצוע $AB$, והנקודה $N(3,0,n)$ נמצאת על המקצוע $BB'$ ($0\le n\le3$).

בפירמידה $ABCD$, המקצוע $DC$ מאונך למישור $ABC$. הנקודה $E$ נמצאת על המקצוע $AD$ כך ש-$\overrightarrow{AE}=t\cdot\overrightarrow{AD}$, $0<t<1$. הנקודה $F$ מקיימת: $\overrightarrow{DF}=k\cdot\overrightarrow{DB}+k\cdot\overrightarrow{DC}$. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$, $\overrightarrow{AC}=\underline v$, $\overrightarrow{CD}=\underline w$.