מבחן לדוגמה: הלוגריתם: הגדרה ומעבר בין הצגה מעריכית ללוגריתמית - כיתה י"ב 5 יח"ל

עבור אילו ערכים של $a$ יש למשוואה פתרון? הביעו את הפתרון באמצעות $a$.

עבור אילו ערכים של $a$ הפתרון של המשוואה שלילי?

עבור אילו ערכים של $a$ הפתרון של המשוואה שלילי?

הביעו את $x$ ואת $y$ כחזקות של $2$ באמצעות $a$.

הראו כי $y=x^3$, וחשבו את $\log_x y$ ואת $\log_y x$.

נתון גם כי $\frac xy=8$. מצאו את $a$, את $x$ ואת $y$, וחשבו את $\log_x\frac18$.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה $f(x)$ (אם יש כאלה).

מצאו את שיעורי נקודת הפיתול של הפונקציה $f(x)$.

מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה $f(x)$ (אם יש כאלה).

נתונות הפונקציות: $g(x)=(\ln(x)-1)^2-4$, $h(x)=\frac{f(x)}{x^2}$ המוגדרות בתחום: $x>0$.

מצאו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $g(x)$ ועל ידי ציר ה-$x$.

דרך נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $g(x)$ עם ציר ה-$x$ העבירו אנכים לציר ה-$x$.

מצאו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $g(x)$, על ידי גרף הפונקציה $h(x)$ ועל ידי האנכים.

הראו כי $2^p=3$, והסבירו מדוע $1<p<2$.

הוכיחו כי $p$ אינו מספר רציונלי. (הדרכה: הניחו כי $p=\frac mn$, כאשר $m$ ו-$n$ מספרים טבעיים, והגיעו לסתירה.)

הראו כי $\frac32<p<\frac53$. (הדרכה: השוו את $2^3$ ל-$3^2$ ואת $2^5$ ל-$3^3$.)

הביעו באמצעות $k$ את תחום ההגדרה של $f(x)$ ואת משוואות האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים.

הוכיחו כי לכל $k>0$ יש לפונקציה $f(x)$ בדיוק נקודת קיצון אחת. הביעו באמצעות $k$ את שיעור ה-$x$ שלה, וקבעו את סוגה.

נתונה הפונקציה $g(x)=e^{f(x)}$ המוגדרת באותו התחום כמו $f(x)$. שיעור ה-$x$ של נקודת הקיצון של $g(x)$ הוא $-6$.

מצאו את $k$ ואת שיעורי נקודת הקיצון של $g(x)$.

הציבו $k=24$.

מצאו את כל ערכי $m$ שעבורם למשוואה $f(x)=m$ יש שלושה פתרונות.