דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

שאלות פתוחות: הלוגריתם: הגדרה ומעבר בין הצגה מעריכית ללוגריתמית - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על הגדרת הלוגריתם ומעבר בין הצגה מעריכית ללוגריתמית, לכיתה י"ב, 5 יחידות. יש כאן כתיבת פתרון של משוואה מעריכית בעזרת לוגריתם, משוואה שבה הבסיס הוא הנעלם, חישוב לוגריתם של מספר כמו 125 כפול שורש 5, קשרים בין לוגריתמים בבסיסים שונים, ותחום הגדרה של פונקציות עם ln. רוב השאלות ברמה קלה ובינונית, ויש גם קשות. השאלות הקלות מתאימות לחזרה בתחילת הפרק והקשות לבוחן; לכל שאלה פתרון מלא, ואת הבחירה אפשר לייצא לוורד.

66 שאלותקלה: 39בינונית: 22קשה: 5

שאלה 1 · הלוגריתם: הגדרה ומעבר בין הצגה מעריכית ללוגריתמיתשאלה קצרה · קלה

נתונה המשוואה 32x=a3^{2x}=a, כאשר aa פרמטר.

א.

עבור אילו ערכים של aa יש למשוואה פתרון? הביעו את הפתרון באמצעות aa.

ב.

עבור אילו ערכים של aa הפתרון של המשוואה שלילי?

שאלה 2 · הלוגריתם: הגדרה ומעבר בין הצגה מעריכית ללוגריתמיתשאלה קצרה · בינונית

נתונה המשוואה log⁡ax=2\log_a x=2, כאשר aa הוא בסיס הלוגריתם. ידוע כי המספר x=a+6x=a+6 הוא פתרון של המשוואה.

מצאו את aa.

שאלה 3 · פונקציה לוגריתמית עם פרמטר: קיצון יחיד, בעיה הפוכה ומספר פתרונותשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x+ln⁡(x2−k)f(x)=x+\ln(x^2-k), כאשר k>0k>0 הוא פרמטר.

א.

הביעו באמצעות kk את תחום ההגדרה של f(x)f(x) ואת משוואות האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים.

ב.

הוכיחו כי לכל k>0k>0 יש לפונקציה f(x)f(x) בדיוק נקודת קיצון אחת. הביעו באמצעות kk את שיעור ה-xx שלה, וקבעו את סוגה.

ג.

נתונה הפונקציה g(x)=ef(x)g(x)=e^{f(x)} המוגדרת באותו התחום כמו f(x)f(x). שיעור ה-xx של נקודת הקיצון של g(x)g(x) הוא −6-6.

מצאו את kk ואת שיעורי נקודת הקיצון של g(x)g(x).

ד.

הציבו k=24k=24.

מצאו את כל ערכי mm שעבורם למשוואה f(x)=mf(x)=m יש שלושה פתרונות.

שאלה 4 · הלוגריתם: הגדרה ומעבר בין הצגה מעריכית ללוגריתמיתשאלה קצרה · קלה

נתון המספר N=1255N=125\sqrt5.

א.

חשבו את log⁡5(1N)\log_{\sqrt5}\left(\frac{1}{N}\right).

ב.

מצאו את הבסיס xx שעבורו log⁡xN=−72\log_x N=-\frac72.

שאלה 5 · הלוגריתם: הגדרה ומעבר בין הצגה מעריכית ללוגריתמיתשאלה קצרה · בינונית

המספרים a,b,ca,b,c גדולים מ-11 ומקיימים log⁡ab=2\log_a b=2 ו-log⁡bc=34\log_b c=\frac34.

א.

הביעו את bb ואת cc כחזקות של aa.

ב.

חשבו את log⁡c(ab)\log_c\left(a\sqrt b\right).

שאלה 6 · משוואה שבה הנעלם הוא גם בסיס וגם מספרשאלה קצרה · קשה

נתונה המשוואה log⁡x16=log⁡2x\log_x 16=\log_2 x.

פתרו את המשוואה.

שאלה 7 · פונקציה לוגריתמית ו-e בחזקתה: קיצון ושטחשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=x+ln⁡(x2−3)f(x)=x+\ln(x^2-3).

א.
(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x).

(2)

הראו כי f′(x)=(x+3)(x−1)x2−3f'(x)=\frac{(x+3)(x-1)}{x^2-3}.

(3)

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x), וקבעו את סוגה.

ב.

נתונה הפונקציה: g(x)=ef(x)g(x)=e^{f(x)} המוגדרת באותו התחום כמו הפונקציה f(x)f(x).

(1)

הראו כי g(x)=(x2−3)exg(x)=(x^2-3)e^x.

(2)

הסבירו מדוע ל-g(x)g(x) יש נקודת קיצון באותו xx ומאותו סוג כמו ל-f(x)f(x), ומצאו את שיעוריה.

ג.

חשבו את השטח המוגבל על ידי הפונקציה y=f′(x)⋅g(x)y=f'(x)\cdot g(x), על ידי ציר ה-xx ועל ידי הישרים x=−4x=-4 ו-x=−3x=-3. היעזרו בכך ש-g′(x)=f′(x)⋅g(x)g'(x)=f'(x)\cdot g(x).

שאלה 8 · חקירת פונקציה לוגריתמית, גרף הנגזרת ו-e בחזקת הפונקציהשאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה: f(x)=−x+ln⁡(x2−8)f(x)=-x+\ln(x^2-8).

א.
(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x).

(2)

מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x)f(x) המאונכות לצירים (אם יש כאלה).

(3)

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x), וקבעו את סוגה.

(4)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x).

ב.

f′(x)f'(x) היא פונקציית הנגזרת של הפונקציה f(x)f(x).

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x).

(2)

מצאו את משוואות האסימפטוטות של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) המאונכות לצירים.

(3)

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) עם הצירים (אם יש כאלה).

(4)

סרטטו סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) אם ידוע כי אין לה נקודות קיצון.

ג.

נתונה הפונקציה: g(x)=ef(x)g(x)=e^{f(x)} המוגדרת באותו התחום כמו הפונקציה f(x)f(x).

(1)

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה g(x)g(x), וקבעו את סוגה.

(2)

מצאו את תחומי העלייה ואת תחומי הירידה של הפונקציה g(x)g(x).

ד.

חשבו את השטח המוגבל על ידי הפונקציה: y=f′(x)⋅g(x)y=f'(x)\cdot g(x), על ידי ציר ה-xx ועל ידי הישרים: x=4x=4 ו-x=5x=5.

שאלה 9 · המספר log₂3: חסמים ואי-רציונליותשאלת ביניים · קשה

בשאלה זו נחקור את המספר p=log⁡23p=\log_2 3. אין להשתמש במחשבון.

א.

הראו כי 2p=32^p=3, והסבירו מדוע 1<p<21<p<2.

ב.

הוכיחו כי pp אינו מספר רציונלי. (הדרכה: הניחו כי p=mnp=\frac mn, כאשר mm ו-nn מספרים טבעיים, והגיעו לסתירה.)

ג.

הראו כי 32<p<53\frac32<p<\frac53. (הדרכה: השוו את 232^3 ל-323^2 ואת 252^5 ל-333^3.)

שאלה 10 · חקירת פונקציה לוגריתמית, פונקציה קדומה וזיהוי גרףשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=1+ln⁡(x)xf(x)=\frac{1+\ln(x)}{x}, המוגדרת בתחום x>0x>0.

בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים I-IV:

גרף I
גרף II
גרף III
גרף IV

(הגרפים I-IV הם סקיצות איכותיות, ואינם בקנה מידה.)

א.
(1)

מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה f(x)f(x).

(2)

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה-xx.

(3)

הראו כי f′(x)=−ln⁡xx2f'(x)=-\frac{\ln x}{x^2}, ומצאו את שיעורי נקודת הקיצון של f(x)f(x) וקבעו את סוגה.

ב.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x).

ג.

נתונה הפונקציה g(x)=1xg(x)=\frac1x.

הראו כי f(x)−g(x)=ln⁡xxf(x)-g(x)=\frac{\ln x}{x}.

ד.

נתונה הפונקציה h(x)h(x), המוגדרת בתחום x>0x>0. גרף הפונקציה h(x)h(x) עובר בנקודה (e2,3)(e^2,3). נגזרת הפונקציה h(x)h(x) מקיימת h′(x)=f(x)−g(x)h'(x)=f(x)-g(x).

מצאו את h(x)h(x).

ה.

קבעו איזה גרף מבין הגרפים I-IV מייצג את הפונקציה h(x)h(x). היעזרו בנקודת הקיצון של h(x)h(x), ונמקו.

עוד 7 שאלות על הלוגריתם: הגדרה ומעבר בין הצגה מעריכית ללוגריתמית

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

  1. פונקציה לוגריתמית: חקירה, גרף הנגזרת ושטחים (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה: f(x)=x((ln⁡(x))2−4ln⁡(x)+5)f(x)=x\left((\ln(x))^2-4\ln(x)+5\right), המוגדרת בתחום: x>0x>0.

  2. מתי פתרון של משוואה מעריכית שלילי (שאלה קצרה · קלה)

    נתונה המשוואה 32x=a3^{2x}=a, כאשר aa פרמטר. ידוע כי למשוואה יש פתרון אם ורק אם a>0a>0, ואז הפתרון הוא x=12log⁡3ax=\frac12\log_3 a.

  3. חקירת פונקציה לוגריתמית עם פרמטר וזיהוי גרף של ערך מוחלט (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה f(x)=a−ln⁡(x)xf(x)=\frac{a-\ln(x)}{x}, המוגדרת בתחום x>0x>0, aa הוא פרמטר. בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים I-IV: גרף I: גרף II: גרף III:…

  4. חקירת עם פרמטר, פונקציה קדומה וזיהוי גרף של ערך מוחלט (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה הפונקציה f(x)=(a+ln⁡x)2xf(x)=\frac{(a+\ln x)^2}{x}, המוגדרת בתחום x>0x>0, aa הוא פרמטר חיובי. בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים I-IV: גרף I: גרף II:…

  5. הפונקציה g=ef·f': סימן, אסימפטוטות, קיצון ושטח עם פרמטר (שאלה מלאה · בינונית)

    f′(x)f'(x) היא פונקציית הנגזרת של הפונקציה f(x)f(x). g(x)g(x) היא פונקציה המקיימת g(x)=ef(x)⋅f′(x)g(x)=e^{f(x)}\cdot f'(x). הפונקציות f(x)f(x), f′(x)f'(x) ו-g(x)g(x)…

  6. הפונקציה עבור : סימן, אסימפטוטות, קיצון ושטח עם פרמטר (שאלה מלאה · בינונית)

    f′(x)f'(x) היא פונקציית הנגזרת של הפונקציה f(x)f(x). g(x)g(x) היא פונקציה המקיימת g(x)=ef(x)⋅f′(x)g(x)=e^{f(x)}\cdot f'(x). הפונקציות f(x)f(x), f′(x)f'(x) ו-g(x)g(x)…

  7. שני לוגריתמים שווים בבסיסים 2 ו-8 (שאלת ביניים · בינונית)

    המספרים החיוביים xx ו-yy מקיימים log⁡2x=a\log_2 x=a וגם log⁡8y=a\log_8 y=a, כאשר a≠0a\ne0.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (45)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.