מבחן לדוגמה: הפונקציה הלוגריתמית כהפוכה למעריכית: תכונות וגרף - כיתה י"ב 5 יח"ל

מצאו את הפונקציה ההפוכה $f^{-1}(x)$ ואת תחום הגדרתה.

מצאו את נקודת החיתוך של גרף $f^{-1}$ עם ציר ה-$x$, והסבירו איזו נקודה על גרף $f$ מתאימה לה.

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)$, והראו כי $f(x)$ היא פונקציה זוגית.

נתונה הפונקציה $g(x)=\left(f(x)\right)^2-2f(x)$, $x\neq0$.

נתונה הפונקציה $k(x)=\frac{g'(x)}{g(x)}$ בתחום $x>e$.

הסבירו מדוע $\ln\left(g(x)\right)$ היא פונקציה קדומה של $k(x)$ בתחום $x>e$, וחשבו את השטח המוגבל על ידי גרף $k(x)$, ציר ה-$x$ והישרים $x=e^2$ ו-$x=e^3$.

הסבירו מדוע $1<b<2$.

נתונה הפונקציה $k(x)=\frac{1}{\ln(x)+x-2}$. מצאו את תחום ההגדרה שלה ואת התחום שבו $k(x)>0$. הביעו באמצעות $b$.

מצאו את הפונקציה ההפוכה $f^{-1}(x)$, ואת משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הגרף של $f$ ושל הגרף של $f^{-1}$.

הראו כי הנקודות $(0,0)$ ו-$(1,1)$ נמצאות על גרף $f^{-1}$, והסבירו מדוע הן נמצאות גם על גרף $f$.

היעזרו בנגזרת של $f^{-1}$ ובקשר בין השיפועים של גרף פונקציה ושל גרף הפונקציה ההפוכה לה, ומצאו את שיפועי המשיקים לגרף $f$ בנקודות $(0,0)$ ו-$(1,1)$.

מצאו את הפונקציה ההפוכה $f^{-1}(x)$.

מצאו את הערך של $k$ שעבורו הגרפים של $f$ ושל $f^{-1}$ משיקים זה לזה, ומצאו את נקודת ההשקה.

הראו כי הנקודה $B$ היא השיקוף של הנקודה $A$ ביחס לישר $y=x$, וכי $B$ נמצאת על גרף $g$.

נסמן $h(t)=e^t-t$. מצאו את הערך הקטן ביותר של $h(t)$, והראו כי $AB=\sqrt2\,(e^t-t)$ לכל $t$.

מצאו את $t$ שעבורו אורך הקטע $AB$ הוא הקטן ביותר, ואת האורך הזה. הראו כי המשיק לגרף $f$ בנקודה $A$ המתאימה והמשיק לגרף $g$ בנקודה $B$ המתאימה מקבילים שניהם לישר $y=x$.