מבחן לדוגמה: חקירת פונקציות לוגריתמיות - כיתה י"ב 5 יח"ל

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)$, את משוואות האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים ואת תחומי העלייה והירידה שלה.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$.

מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה $f(x)$ (אם יש כאלה).

הסבירו מדוע מתקיים: $0<a<1$.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $g(x)$.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה: $h(x)=e^{g(x)}$.

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה-$x$.

נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ בנקודה שבה $x=1$ הוא $-1$.

מצאו את הערך של $n$.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ וקבעו את סוגן.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$.

נתונה הפונקציה: $g(x)=\frac{1}{f(x)}$.

$a$ הוא פרמטר, $a>2$. נתון כי השטח המוגבל על-ידי גרף הפונקציה $g(x)$, על-ידי ציר ה-$x$ ועל-ידי הישרים $x=e^2$ ו-$x=e^a$ הוא $0.6$.

מצאו את הערך של $a$.

מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה $f(x)$.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה $f(x)$.

מהו הערך של $k$ שבעבורו יש למשוואה $f(x)=k$ פתרון יחיד? נמקו את תשובתכם.

הראו כי לכל $a>0$ יש לפונקציה $f(x)$ נקודת קיצון אחת בלבד.

נתון כי נקודת הקיצון של $f(x)$ היא בנקודה שבה $x=\frac1e$. $g(x)$ היא פונקציה שהנגזרת שלה מקיימת $g'(x)=f(x)$, תחום ההגדרה שלה זהה לתחום של $f(x)$, ויש לה נקודת פיתול על ציר ה-$x$.

מצאו את $a$ ופונקציה $g(x)$ המקיימת תנאים אלה.

נתונה הפונקציה $h(x)=\ln|g(x)|$.

מצאו את תחום ההגדרה של $h(x)$, והראו כי לכל מספר ממשי $m$ יש למשוואה $h(x)=m$ בדיוק ארבעה פתרונות.

הראו כי מכפלת ארבעת הפתרונות של המשוואה $h(x)=m$ אינה תלויה ב-$m$, ומצאו אותה.