מבחן לדוגמה: פונקציות לוגריתמיות בשילוב פונקציות אחרות - כיתה י"ב 5 יח"ל

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה-$x$.

הראו כי $f'(x)=1-\ln x$, ומצאו את שיעורי נקודת הקיצון של $f(x)$ וקבעו את סוגה.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$. (היעזרו בכך ש-$x\ln x\to0$ כאשר $x\to0^+$.)

נתונה הפונקציה: $g(x)=\frac{1}{f(x)}$.

מצאו את משוואות האסימפטוטות של $f'(x)$ המאונכות לצירים, ואת שיעורי נקודת הקיצון של $f'(x)$ וסוגה.

נתונה הפונקציה $g(x)=f(x)+ax$, $a$ הוא פרמטר. מצאו עבור אילו ערכים של $a$ יש לפונקציה $g(x)$ שתי נקודות קיצון. נמקו.

מצאו את תחום ההגדרה של $g(x)$.

מצאו את משוואות האסימפטוטות של $g(x)$ המאונכות לצירים.

נתון: $\frac12<a<1$. נסמן ב-$S$ את השטח המוגבל על ידי גרף $g(x)$, ציר ה-$x$ והישרים $x=4$ ו-$x=8$.

הביעו באמצעות $S$ את ערך האינטגרל $\int_4^8\ln\left(\frac{f(x)}{e}\right)dx$.

הביעו באמצעות $a$ את שיעורי נקודת הקיצון של $f(x)$, וקבעו את סוגה.

מצאו את כל ערכי $a$ שעבורם הפונקציה $g(x)$ יורדת בכל תחום ההגדרה שלה.

מצאו את הערך של $a$ שעבורו נקודת הפיתול של $g(x)$ נמצאת על ציר ה-$x$.

מצאו, באמצעות $a$, את תחום ההגדרה של $f(x)$ ואת נקודת הקיצון שלה, וקבעו את סוגה.

הראו כי לכל ערך של $a$ נקודת הקיצון של $f(x)$ נמצאת על ישר קבוע אחד, ומצאו את משוואתו.

מצאו, באמצעות $a$, את מספר הפתרונות של המשוואה $f(x)=m$ לכל ערך של $m$.

השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $g(x)=\frac{1}{f(x)}$, ציר ה-$x$ והישרים $x=e^{a+1}$ ו-$x=k$ ($k>e^{a+1}$) הוא 2. הביעו את $k$ באמצעות $a$.