מבחן לדוגמה: משיק לפונקציה לוגריתמית - כיתה י"ב 5 יח"ל

מצאו את שיעורי נקודת ההשקה ואת $b$.

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה-$x$.

הראו כי $f'(x)=1-\ln x$, ומצאו את שיעורי נקודת הקיצון של $f(x)$ וקבעו את סוגה.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$. (היעזרו בכך ש-$x\ln x\to0$ כאשר $x\to0^+$.)

נתונה הפונקציה: $g(x)=\frac{1}{f(x)}$.

הביעו באמצעות $t$ את שטח המשולש $OBC$.

מצאו את ערך $t$ שעבורו שטח המשולש $OBC$ הוא הגדול ביותר, וחשבו שטח זה.

מצאו את שיעורי הנקודה על גרף הפונקציה שבה המשיק לגרף מקביל לישר $y=2x$, ואת משוואת המשיק בנקודה זו.

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה המאונך למשיק מסעיף א.

המשיק מסעיף א, המשיק מסעיף ב וציר ה-$y$ יוצרים משולש. חשבו את שטח המשולש.

הראו כי משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה $x=t$ ($t>0$) היא $y=\frac{2\ln t}{t}\cdot x+(\ln t)^2-2\ln t$.

מצאו את משוואות כל המשיקים לגרף הפונקציה העוברים דרך ראשית הצירים, ואת נקודות ההשקה שלהם.

הראו כי דרך הנקודה $(0,-1)$ עובר משיק אחד בלבד לגרף הפונקציה, ומצאו את משוואתו.

מצאו את כל הערכים של $k$ שבעבורם הישר $y=kx$ אינו חותך את גרף $f(x)$ ואינו משיק לו.

הוכיחו כי למשוואה $\ln x=-kx$ יש פתרון יחיד $x=a$, וכי $0<a<1$. מצאו את תחום ההגדרה ואת האסימפטוטות של $g(x)$.

הראו כי לכל $k>\frac1e$ נקודת הקיצון של $g(x)$ נמצאת באותו ערך של $x$, ומצאו את $k$ שבעבורו ערך המקסימום של $g(x)$ הוא $-\frac12$.

עבור $k$ שמצאתם בסעיף ג, מצאו את כל הערכים של $m$ שבעבורם למשוואה $g(x)=m$ יש בדיוק שני פתרונות.