שאלות פתוחות: משיק לפונקציה לוגריתמית - כיתה י"ב 5 יח"ל

שאלות פתוחות על משיק לפונקציה לוגריתמית לכיתה י"ב, 5 יחידות. השאלות כוללות מציאת ישר בשיפוע נתון שמשיק לגרף ln(2x), משיק לגרף ln x שעובר דרך ראשית הצירים, משולש שהמשיק יוצר עם הצירים, פונקציה x(k-ln x) עם פרמטר, ושני גרפים - ln x ושורש - שמשיקים זה לזה. רוב השאלות ברמה קלה ובינונית, ויש גם קשות. אפשר לבחור מהן לבוחן או למבחן, עם פתרון מלא וייצוא לוורד.

43 שאלותקלה: 17בינונית: 22קשה: 4

שאלה 1 · משיק לפונקציה לוגריתמיתשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(2x)f(x)=\ln(2x)f(x)=ln(2x). הישר y=4x+by=4x+by=4x+b משיק לגרף הפונקציה.
y=f(x)

מצאו את שיעורי נקודת ההשקה ואת bbb.

שאלה 2 · משיק לפונקציה לוגריתמיתשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=a−ln⁡xxf(x)=\dfrac{a-\ln x}{x}f(x)=xa−lnx​, המוגדרת עבור x>0x>0x>0, כאשר aaa הוא פרמטר. המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-xxx עובר דרך הנקודה (0,1e)\left(0,\frac1e\right)(0,e1​).

א.

מצאו את aaa.

ב.

עבור ערך aaa שמצאתם, מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה.

שאלה 3 · משפחת פונקציות לוגריתמיות: משיק מהראשית, מקסימום קבוע ומספר פתרונותשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x)f(x)=\ln(x)f(x)=ln(x) (x>0x>0x>0) והישרים y=kxy=kxy=kx ו-y=−kxy=-kxy=−kx, כאשר k>0k>0k>0 הוא פרמטר. נתונה הפונקציה: g(x)=ln⁡(x)−kxln⁡(x)+kxg(x)=\frac{\ln(x)-kx}{\ln(x)+kx}g(x)=ln(x)+kxln(x)−kx​.

א.

מצאו את כל הערכים של kkk שבעבורם הישר y=kxy=kxy=kx אינו חותך את גרף f(x)f(x)f(x) ואינו משיק לו.

בסעיפים ב-ד k>1ek>\frac1ek>e1​.

ב.

הוכיחו כי למשוואה ln⁡x=−kx\ln x=-kxlnx=−kx יש פתרון יחיד x=ax=ax=a, וכי 0<a<10<a<10<a<1. מצאו את תחום ההגדרה ואת האסימפטוטות של g(x)g(x)g(x).

ג.

הראו כי לכל k>1ek>\frac1ek>e1​ נקודת הקיצון של g(x)g(x)g(x) נמצאת באותו ערך של xxx, ומצאו את kkk שבעבורו ערך המקסימום של g(x)g(x)g(x) הוא −12-\frac12−21​.

ד.

עבור kkk שמצאתם בסעיף ג, מצאו את כל הערכים של mmm שבעבורם למשוואה g(x)=mg(x)=mg(x)=m יש בדיוק שני פתרונות.

שאלה 4 · חקירת $x (2 - ln x)$ והפונקציה $\frac{1}{f}$ (מודרך)שאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=x⋅(2−ln⁡x)f(x)=x\cdot(2-\ln x)f(x)=x⋅(2−lnx) המוגדרת בתחום x>0x>0x>0.

א.

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם ציר ה-xxx.

ב.

הראו כי f′(x)=1−ln⁡xf'(x)=1-\ln xf′(x)=1−lnx, ומצאו את שיעורי נקודת הקיצון של f(x)f(x)f(x) וקבעו את סוגה.

ג.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x). (היעזרו בכך ש-xln⁡x→0x\ln x\to0xlnx→0 כאשר x→0+x\to0^+x→0+.)

ד.

נתונה הפונקציה: g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}g(x)=f(x)1​.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x)g(x)g(x).

(2)

מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה g(x)g(x)g(x).

(3)

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה g(x)g(x)g(x) וקבעו את סוגה.

ה.

(1)

הראו כי [ln⁡(2−ln⁡x)]′=−1x(2−ln⁡x)\left[\ln(2-\ln x)\right]'=-\frac{1}{x(2-\ln x)}[ln(2−lnx)]′=−x(2−lnx)1​.

(2)

חשבו את השטח המוגבל על-ידי גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x), על-ידי ציר ה-xxx ועל-ידי הישרים x=1x=1x=1 ו-x=e1.5x=e^{1.5}x=e1.5.

שאלה 5 · משיק לפונקציה לוגריתמיתשאלה קצרה · בינונית

מעבירים משיק לגרף הפונקציה f(x)=ln⁡xf(x)=\ln xf(x)=lnx בנקודה שבה x=tx=tx=t, כאשר 0<t<e0<t<e0<t<e. המשיק חותך את ציר ה-yyy בנקודה BBB ואת ציר ה-xxx בנקודה CCC. OOO היא ראשית הצירים (ראו איור).
-11234-2-112OBC

א.

הביעו באמצעות ttt את שטח המשולש OBCOBCOBC.

ב.

מצאו את ערך ttt שעבורו שטח המשולש OBCOBCOBC הוא הגדול ביותר, וחשבו שטח זה.

שאלה 6 · חקירת $x (k - ln x)$ עם פרמטר: $\frac{1}{f}$ ושטחיםשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=x⋅(k−ln⁡x)f(x)=x\cdot(k-\ln x)f(x)=x⋅(k−lnx) המוגדרת בתחום x>0x>0x>0. kkk הוא פרמטר, k>2k>2k>2.

א.

(1)

הביעו באמצעות kkk את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם ציר ה-xxx.

(2)

הביעו באמצעות kkk את שיעורי נקודת הקיצון של f(x)f(x)f(x) וקבעו את סוגה.

ב.

נתונה הפונקציה: g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}g(x)=f(x)1​.

(1)

הביעו באמצעות kkk את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x)g(x)g(x).

(2)

מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה g(x)g(x)g(x).

ג.

האם השטח המוגבל על-ידי גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x), על-ידי ציר ה-xxx ועל-ידי הישרים x=ek−2x=e^{k-2}x=ek−2 ו-x=ek−0.5x=e^{k-0.5}x=ek−0.5 תלוי בערך של kkk? נמקו וחשבו את השטח.

ד.

נתון כי השטח המוגבל על-ידי גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x), על-ידי ציר ה-xxx ועל-ידי הישרים x=ex=ex=e ו-x=e2x=e^2x=e2 הוא ln⁡3\ln3ln3. מצאו את הערך של kkk.

שאלה 7 · משיק לפונקציה לוגריתמיתשאלה קצרה · בינונית

נתונות הפונקציות f(x)=ln⁡xf(x)=\ln xf(x)=lnx ו-g(x)=axg(x)=a\sqrt xg(x)=ax​, כאשר a>0a>0a>0 הוא פרמטר. ידוע כי הגרפים של שתי הפונקציות משיקים זה לזה, כלומר יש להם נקודה משותפת שבה משיק משותף.

מצאו את aaa ואת שיעורי נקודת ההשקה.

שאלה 8 · ישרים דרך הראשית שאינם פוגשים את גרף ln xשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x)f(x)=\ln(x)f(x)=ln(x) (x>0x>0x>0) והישר y=kxy=kxy=kx, כאשר k>0k>0k>0 הוא פרמטר.

מצאו את כל הערכים של kkk שבעבורם הישר y=kxy=kxy=kx אינו חותך את גרף f(x)f(x)f(x) ואינו משיק לו.

שאלה 9 · משיק לפונקציה לוגריתמיתשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x4)f(x)=\ln\left(x^4\right)f(x)=ln(x4), המוגדרת עבור x≠0x\ne0x=0. המשיקים לגרף הפונקציה בנקודות שבהן x=ax=ax=a ו-x=−ax=-ax=−a (כאשר a>0a>0a>0) מאונכים זה לזה.

א.

מצאו את aaa.

ב.

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של שני המשיקים.

שאלה 10 · משיקים לגרף (ln x)² העוברים דרך נקודה על ציר ה-yשאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=(ln⁡x)2f(x)=(\ln x)^2f(x)=(lnx)2, המוגדרת בתחום x>0x>0x>0.

א.

הראו כי משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=tx=tx=t (t>0t>0t>0) היא y=2ln⁡tt⋅x+(ln⁡t)2−2ln⁡ty=\frac{2\ln t}{t}\cdot x+(\ln t)^2-2\ln ty=t2lnt​⋅x+(lnt)2−2lnt.

ב.

מצאו את משוואות כל המשיקים לגרף הפונקציה העוברים דרך ראשית הצירים, ואת נקודות ההשקה שלהם.

ג.

הראו כי דרך הנקודה (0,−1)(0,-1)(0,−1) עובר משיק אחד בלבד לגרף הפונקציה, ומצאו את משוואתו.

עוד 5 שאלות על משיק לפונקציה לוגריתמית

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

חקירת $x^{n} (4 - ln x)$ , הפונקציה $\frac{1}{f}$ ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^n\cdot(4-\ln x)$ המוגדרת בתחום $x>0$ . $n$ הוא פרמטר טבעי.
משיק לפונקציה לוגריתמית (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^n\cdot(2-\ln x)$ המוגדרת בתחום $x>0$ . $n$ הוא פרמטר טבעי. נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה $x=1$ הוא 5.
חקירת $x^{n} (ln x - 1)^{2}$ , הפונקציה $\frac{1}{f}$ ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^n\cdot(\ln x-1)^2$ המוגדרת בתחום $x>0$ . $n$ הוא פרמטר טבעי.
נקודת החיתוך של שני משיקים לגרף ln(x⁴) (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\ln\left(x^4\right)$ , המוגדרת עבור $x\ne0$ . מעבירים משיקים לגרף הפונקציה בנקודות שבהן $x=4$ ו- $x=-4$ .
משיק מקביל לישר נתון, משיק המאונך לו והמשולש שהם יוצרים עם ציר ה-y (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=3\ln x-x$ , המוגדרת בתחום $x>0$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

חקירת $x^{n} (3 - ln x)$ , הפונקציה $\frac{1}{f}$ ושטח בעזרת $\frac{f ^{'}}{f}$ · בגרות 572 קיץ 2026 מועד א', שאלה 4
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^n\cdot(3-\ln x)$ המוגדרת בתחום $x>0$ . $n$ הוא פרמטר טבעי.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (27)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

משוואת משיק לגרף פונקציה לוגריתמית (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ . מראשית הצירים מעבירים משיק לגרף הפונקציה.
משוואת משיק לגרף פונקציה לוגריתמית (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^2-3x+\ln x$ .
נגזרת של ln x ושל ln(f(x)) (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=(\ln x)^{2}+a\ln x$ , כאשר $a$ הוא פרמטר. שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה $x=e$ הוא…
משוואת משיק לגרף פונקציה לוגריתמית (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\ln x+2$ . הישר $y=ax$ , העובר דרך ראשית הצירים, משיק לגרף הפונקציה $f(x)$ .
משוואת משיק לגרף פונקציה לוגריתמית (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a-\ln x}{x}$ , המוגדרת עבור $x>0$ , כאשר $a$ הוא פרמטר.
משוואת משיק לגרף פונקציה לוגריתמית (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\ln(ax-1)$ , כאשר $a>1$ פרמטר. שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה $x=1$ הוא $2$ .
משוואת משיק לגרף פונקציה לוגריתמית (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\ln x$ .
הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\ln(x^2+bx+8)$ , כאשר $b$ פרמטר, והיא מוגדרת לכל $x$ . לפניכם גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ :…
זוגיות ואי-זוגיות של ln(f(x)) (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\ln(x^2+(a-4)x+a)$ , כאשר $a$ הוא פרמטר. ידוע ש- $f(x)$ זוגית.
זוגיות ואי-זוגיות של ln(f(x)) (שאלה קצרה · קלה)
לפניכם גרף הפונקציה $f(x)=\ln(x^2+1)$ .
הגרפים של $a + (ln x)^{2}$ ו- $1 + ln x$ : מתי הם נחתכים ומתי נושקים (שאלה מלאה · קלה)
נתונות הפונקציות $f(x)=a+(\ln x)^2$ ו- $g(x)=1+\ln x$ , כאשר $a>0$ הוא פרמטר.
חקירת פונקציה לוגריתמית עם פרמטר והזזה אופקית (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=2\ln(x^2-a)$ , $a$ פרמטר חיובי. נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ בנקודה $x=5$ שווה…
חקירת פונקציה לוגריתמית עם פרמטר והזזה שמאלה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=3\ln(x^2-a)$ , $a$ פרמטר חיובי. נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ בנקודה $x=3$ שווה…
פונקציה לוגריתמית: פרמטר ממשיקים והזזה עם נעלם (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=2\ln(x^2-a)$ , $a$ פרמטר חיובי.
מציאת פרמטר על סמך נתון (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\ln(x^2+ax)$ , $a$ פרמטר. נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה $x=2$ הוא $0.75$ .
חקירת פונקציה לוגריתמית, שיקוף ושטח שנשמר (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{(\ln x)^2}{4x}$ .
חקירת פונקציה לוגריתמית ושיקוף (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{(\ln x)^2}{2x^2}$ .
חקירת פונקציה לוגריתמית ושיקוף (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{(\ln x)^2}{x}$ .
פונקציה לוגריתמית עם פרמטר: מספר פתרונות ושיקוף עם הזזה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{(\ln x)^2}{ax}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי. ידוע כי כאשר $x$ שואף לאינסוף, $f(x)$ שואפת…
משוואת משיק לגרף פונקציה לוגריתמית (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\ln x\cdot(2-\ln x)$ .
חקירת מכפלה של x ו-ln: פרמטר משיפוע, זיהוי גרפים ושטח מתחת לנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=ax\cdot\ln(2x)$ , $a$ הוא פרמטר. בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים I-IV: גרף I: גרף II: גרף…
חקירת מכפלה של x ו-ln: פרמטר משיפוע, זיהוי גרפים ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=ax\cdot\ln\frac x3$ , $a$ הוא פרמטר. בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים I-IV: גרף I: גרף II:…
הפונקציה 2x·ln x: קיצון, זיהוי גרף ושטח מתחת לנגזרת (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=2x\cdot\ln x$ . בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים I-IV: גרף I: גרף II: גרף III: גרף IV:
מציאת פרמטר על סמך נתון (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=x\cdot(a-\ln x)$ , $a$ הוא פרמטר. המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה $x=e$ מקביל לישר…
חקירת פונקציה לוגריתמית עם פרמטר: זיהוי גרף וטרנספורמציה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=ax\cdot(2-\ln x)$ , $a$ הוא פרמטר שונה מ-0. גרף I: גרף II: גרף III: גרף IV:
חקירת פונקציה לוגריתמית עם פרמטר: זיהוי גרף וחיתוך (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=ax\cdot(\ln x-3)$ , $a$ הוא פרמטר שונה מ-0. גרף I: גרף II: גרף III: גרף IV:
מציאת פרמטר על סמך נתון (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=ax^2\cdot(1-\ln x)$ , $a$ הוא פרמטר שונה מ-0. נתון כי בנקודה שבה $x=e$ , שיפוע המשיק לגרף…