מבחן לדוגמה: גרף של 1/f, ln f ו-e^f מתוך גרף f - כיתה י"ב 5 יח"ל

נתונה הפונקציה: $g(x)=\frac{1}{f(x)}$.

מצאו את תחום ההגדרה של $g(x)$ ואת נקודת הקיצון שלה, וקבעו את סוגה.

הראו כי $G(x)=\frac{\left(\ln(x)-1\right)^2}{2}$ היא פונקציה קדומה של $g(x)$ בתחום $x>e$, וחשבו את השטח המוגבל על ידי גרף $g(x)$, ציר ה-$x$ והישרים $x=e^2$ ו-$x=e^3$.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$.

נתונה הפונקציה: $g(x)=\frac{1}{f(x)}+1$.

מצאו את תחום ההגדרה של $g(x)$ ואת משוואות האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים.

הראו כי $g(x)=0$ רק עבור $x=\ln4$. נתון שנקודת הקיצון של $g(x)$ היא נקודת מקסימום $\left(\ln2,\frac49\right)$. סרטטו סקיצה של גרף $g(x)$.

נתון פרמטר $t$ בתחום $0<t<\ln5$.

הסבירו מדוע ערך הביטוי $\int_0^t g(x)\,dx$ הוא מקסימלי כאשר $t=\ln4$. (היעזרו בכך שהנגזרת של הביטוי לפי $t$ היא $g(t)$.)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $\ln\left(f(x)\right)$ ואת משוואות האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף $\ln\left(f(x)\right)$ עם הצירים, וסרטטו סקיצה של הגרף.

הסבירו מדוע מתקיים: $0<a<1$.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $g(x)$.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה: $h(x)=e^{g(x)}$.

מצאו את האסימפטוטות של $h(x)$ המאונכות לצירים.

מצאו את כל ערכי $k$ שעבורם למשוואה $h(x)=k$ אין אף פתרון.

הביעו באמצעות $m$ את משוואות האסימפטוטות של $g(x)$ המאונכות לצירים.

מצאו את נקודת הקיצון של $g(x)$ וקבעו את סוגה. מצאו את $m$ שבעבורו ערך הקיצון הוא $-\frac14$.

עבור $m$ שמצאתם בסעיף ב, מצאו את כל ערכי $k$ שבעבורם למשוואה $g(x)=k$ יש בדיוק שני פתרונות.